2024屆河南省TOP二十名校高三下學(xué)期4月沖刺（一）數(shù)學(xué)試題

河南省TOP二十名校2024屆高三下學(xué)期沖刺二數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。4．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1．樣本數(shù)據(jù)45，50，51，53，53，57，60的下四分位數(shù)為A．50 B．53 C．57 D．452．已知，則A． B． C． D．3．已知，則A． B． C． D．24．“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復(fù)雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為A． B． C． D．6．在教育部和各省份教育廳組織的九省聯(lián)考后，預(yù)計(jì)在4月份左右完全按照高考模式進(jìn)行高考志愿模擬填報(bào)，對于某校的甲、乙、丙、丁4名同學(xué)，現(xiàn)有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、信息安全與密碼管理三個(gè)專業(yè)可供選擇，每名同學(xué)只能填報(bào)其中一個(gè)專業(yè)，每個(gè)專業(yè)至少有一名同學(xué)填報(bào)，則甲同學(xué)不填報(bào)數(shù)學(xué)與應(yīng)川數(shù)學(xué)專業(yè)的方案種數(shù)為A．8 13，16 C．12 D．247．已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，則的離心率為A． B． C． D．8．已知圓臺的上、下底面中心分別為，且，上、下底面半徑分別為2，12，在圓臺容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動的球，則該球表面積的最大值為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列正確的是A． B． C． D．10．過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為為拋物線的焦點(diǎn)，則A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則A．的對稱軸為 B．的最小正周期為C．的最大值為1，最小值為 D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在題中的橫線上．12．已知集合，則______.13．在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個(gè)長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時(shí)間為______s．（注意：位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，重力加速度取）______.14．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面，且．（1）求點(diǎn)到平面PBC的距離；（2）求直線CM與平面PBC所成角的正弦值.17．（本小題滿分15分）Matlab是一種數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖象處理與計(jì)算機(jī)視覺、信號處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、人工智能機(jī)器人和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，推動了人類基礎(chǔ)教育和基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展.某學(xué)校舉行了相關(guān)Matlab專業(yè)知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙同時(shí)答對的概率為，恰有一人答對的概率為．（1）求和的值；（2）試求兩人共答對3道題的概率．18．（本小題滿分17分）在以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)為直線上一點(diǎn)且．點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)．（1）求雙曲線的漸近線方程和焦距；（2）若線段AB上一動點(diǎn)滿足，求直線OM與ON的斜率之積.19．（本小題滿分17分）正整數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）判斷數(shù)列2，2，4，8是否是數(shù)列，并說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，且．探究和的值是否唯一；（3）是否存在等差數(shù)列是數(shù)列?請闡述理由．

2024屆高三年級TOP二十名校沖刺二?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號12345678答案ABBDADCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。題號91011答案BCDBCAD1．A 由這組數(shù)據(jù)共7個(gè)，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個(gè)數(shù)據(jù)，故選A．2．B ，所以，故選．3．B 因?yàn)椋裕蔬xB．4．D 若，則有，所以或，當(dāng)時(shí)，，故，重合；當(dāng)時(shí)，，滿足條件，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選D．5．A 由題意可知，對折后的等腰直角三角形的腰長成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，故對折6次后，得到腰長為的等腰直角三角形，斜邊長為，故選A．6．D 4名同學(xué)填報(bào)3個(gè)專業(yè)的方法共有種，其中甲同學(xué)填報(bào)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的方法有兩種情況，若數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)有2名同學(xué)報(bào)考，則從乙、丙、丁三人中選擇1人連同甲同學(xué)一起報(bào)考數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，則有種情況，若數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)只有甲這1名同學(xué)報(bào)考，則從乙、丙、丁中選擇2人報(bào)考其他兩個(gè)專業(yè)之一，則共有種情況，故甲同學(xué)不填報(bào)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的方案一共有種，故選D．7．C 設(shè)，由題意得，即，由橢圓定義得，則，且，則，所以，即，所以，故選C．8．B 如圖所示，根據(jù)題意可知．設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線AB分別切于兩點(diǎn)，所以可知球的半徑，此時(shí)球的直徑為，即此時(shí)球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的表面積，故選B．9． 對于，因?yàn)?，所以，所以錯誤；對于，因?yàn)?，所以正確；對于，因?yàn)?，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選BCD．10． 設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的方程為，即，設(shè)，則切線PA，PB的斜率分別為，切線方程分別為，將的坐標(biāo)及代入，并整理得，可得為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D錯誤，故選BC．11． 作出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線所示．方法一：對于，由圖可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對任意的所以函數(shù)的對稱軸為，A正確；對于，對任意的，結(jié)合圖象可知，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故B錯誤；對于C，由選項(xiàng)可知，函數(shù)的對稱軸為，且該函數(shù)的最小正周期為，要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因此的最大值為，最小值?1，故C錯誤；對于，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，正確，故選．方法二：分析圖象可知，選項(xiàng)正確，錯誤．故選AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．．13． 由已知得，木棒做自由落體運(yùn)動，設(shè)從開始下落到木棒的下端開始進(jìn)入電子眼的視線和木棒的上端開始離開電子眼的視線所需要的時(shí)間分別為，所以所以電子眼記錄到木棒通過的時(shí)間為．14． 由題意可得，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，可得，令，原題意等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以在上單調(diào)遞增，可得，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以在上單調(diào)遞減，可得，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于．故的大致圖象如圖所示．若與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即的取值范圍是．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。15．解：（1）由題意知時(shí)，，故曲線在（1，處的切線方程為．…………4分（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，……………………5分令，解得，令，解得，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；……………7分當(dāng)時(shí)，則有：若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；……………………9分若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞減．……………………11分綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．………………13分16．解：（1）取CD中點(diǎn)，連接AE，因?yàn)?，所以四邊形ABCE為平行四邊形，又，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，……………4分則，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，，所以，令，則，所以，……7分所以點(diǎn)到平面PBC的距離為．………………8分（2）由可得，由（1）知平面PBC的一個(gè)法向量為，所以，…………14分所以直線CM與平面PBC所成角的正弦值為．………15分17．解：（1）由題意可得………4分即解得或……………………6分由于，所以．……………8分（2）設(shè)甲同學(xué)答對了道題乙同學(xué)答對了道題．由題意得，，…………10分．…………11分設(shè)甲、乙二人共答對3道題，則．由于和相互獨(dú)立，與互斥，所以……………14分所以甲、乙兩人共答對3道題的概率為．………………15分18．解：（1）由題意可得雙曲線的漸近線方程為，……………2分，所以焦距為．………………5分（2）設(shè)，由，可得，則，所以．………………………7分因?yàn)橹本€與雙曲線交于軸上方的A、B兩點(diǎn)，所以，解得，所以，……10分所以，所以，由，可得，解得，………………14分所以，所以，所以，于是．………………17分19．解：（1）由題可知，此時(shí)有1234221128該數(shù)列滿足，所以數(shù)列2，2，4，8是