一元二次方程的解法全章課件

育英中學(xué)一元二次方程及其解法，求的值答案：小結(jié)：都可轉(zhuǎn)化為a=b=0，求的值已知兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與相加等于，那么a=,b=,x=.332想一想一、復(fù)習(xí)提問(wèn)、1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程分類一般形式缺一次項(xiàng)缺常數(shù)項(xiàng)缺一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)探究交流〔1〕判斷方程X〔X＋10〕=X2－3是否是一元二次方程？〔2〕方程3X2＋2X=1的常數(shù)項(xiàng)是1，方程3X2－2X＋6=0的一次項(xiàng)系數(shù)是2，這種說(shuō)法對(duì)嗎？答案：〔1〕化簡(jiǎn)后為10X＋3=0,所以它是一元一次方程?！?〕要將一元二次方程化為一般形式，且系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號(hào)。練習(xí)：〔1〕方程〔m＋2〕X|m|＋3mx＋1=0是關(guān)于X的一元二次方程，求m的值。答案：m=2〔2〕當(dāng)m=時(shí)，方程〔m2－1〕x2－〔m－1〕x＋1=0是關(guān)于x的一元一次方程。答案：m=－1〔3〕關(guān)于x的一元二次方程〔m－1〕x2＋3x＋㎡－1=0有一個(gè)解是0，求m的值。答案：m=－1〔4〕m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2＋m2x－1=x2＋x沒(méi)有一次項(xiàng)？答案：m=－1活動(dòng)1如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100cm，寬50cm．在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出的局部折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒．如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積是3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？(課件：制作盒子)問(wèn)題1活動(dòng)1要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程方案安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)該邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？〔課件：探索比賽場(chǎng)次〕問(wèn)題2例：關(guān)于x的方程(2m-1)x2-(m-1)x=5m是一元二次方程,求：m的取值范圍.解：∵原方程是一元二次方程，∴2m-1≠0，

∴m≠.方程的解的定義使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程X2－5X＋6=0的根。注意：一元二次方程可以無(wú)解，假設(shè)有解，就一定有兩個(gè)解?；顒?dòng)23．猜測(cè)以下方程的根是什么？方程的根：使一元二次方程等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解〔又叫做根〕.4.〔1〕以下哪些數(shù)是方程的根？從中你能體會(huì)根的作用嗎？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4

活動(dòng)2〔2〕假設(shè)x＝2是方程的一個(gè)根，你能求出a的值嗎？根的作用：可以使等號(hào)成立.活動(dòng)3穩(wěn)固練習(xí)1．你能根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)解出以下方程的解嗎？〔1〕；〔2〕.一元二次方程的解法(1)----開(kāi)平方法問(wèn)題1：一桶某種油漆可刷的面的為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷好完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外外表，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為X，那么一個(gè)正方體的外表積為6X2.根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程解由此可得根據(jù)平方根的意義，得即因?yàn)槔忾L(zhǎng)不能是負(fù)值，所以正方體的棱長(zhǎng)為5dm.思考對(duì)照上面解方程的過(guò)程，你認(rèn)為應(yīng)怎樣解方程及方程由方程得：即方程的兩根為解方程可化為得方程的兩根為當(dāng)ac<0時(shí)，形如〔a≠0，c≠0〕的一元二次方程的解法：當(dāng)ac＞0時(shí)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

x2=8.2x2=9.

解：-3x2+7=0.解：解：系數(shù)化1，得開(kāi)平方，得解這兩個(gè)一元一次方程，得或〔1〕方程〔m＋2〕X|m|＋3mx＋1=0是關(guān)于X的一元二次方程，求m的值?！?〕當(dāng)m=-------時(shí)，方程〔m2－1〕x2－〔m－1〕x＋1=0是關(guān)于x的一元一次方程?！?〕關(guān)于x的一元二次方程〔m－1〕x2＋3x＋㎡－1=0有一個(gè)解是0，求m的值〔4〕m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2＋m2x－1=x2＋x沒(méi)有一次項(xiàng)？練習(xí)：練習(xí)1、用直接開(kāi)平方法解以下方程〔1〕3x2-75=0〔2〕5y2-10=0〔3〕〔x-2)2-3=0一元二次方程的解法(2)----配方法

復(fù)習(xí)填空x2-2x+()=[x+()]2

x2+6x+()=[x-()]23)x2++()=[x+()]2

4)y2-y+()=[y-()]21-19-3(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－3x＋

=(x－

)2(3)x2－12x＋

=(x－

)2填空配方時(shí),假設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)為1，那么配上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.請(qǐng)同學(xué)們解以下方程〔1〕3x2-1=5〔2〕4〔x-1〕2-9=0〔3〕4x2+16x+16=9上面的方程都能化成x2=p或〔mx+n〕2=p〔p≥0〕的形式，那么可得如：4x2+16x+16=〔2x+4〕2x=±〔p≥0〕．或mx+n=

±用配方法解一元二次方程的步驟:移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)

一半的平方;開(kāi)方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開(kāi)平方;求解:解一元一次方程;定解:寫(xiě)出原方程的解.二、探索新知問(wèn)題1：印度古算中有這樣一首詩(shī)：“一群猴子分兩隊(duì)，高快樂(lè)興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹(shù)林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又淘氣，告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起”．

大意是說(shuō)：一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？問(wèn)題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：整理得：x2-64x+768=0

問(wèn)題2：如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個(gè)相同的局部作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？問(wèn)題2：設(shè)道路的寬為x，那么可列方程：〔20-x〕〔32-2x〕=5000整理，得：x2-36x-2180=0〔1〕列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有．〔2〕不能．既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來(lái)講如何轉(zhuǎn)化：

x2-64x+768=0

移項(xiàng)→

x2-64x=-768兩邊加〔〕2使左邊配成x2+2bx+b2

的形式

x2-64x+322=-768+1024

左邊寫(xiě)成平方形式→

〔x-32〕2=256降次→

x-32=±16

即x-32=16或x-32=-16

解一次方程→x1=48，x2=16

可以驗(yàn)證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．活動(dòng)21．要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6cm，并且面積為16cm2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是多少？

歸納：通過(guò)配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.練習(xí)1：1、2、

先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解.配方法3、

綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開(kāi)辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)應(yīng)是多少米？

活動(dòng)3用配方法解方程x2＋12x=－9你能總結(jié)出配方法的步驟嗎?鞏固練習(xí)1.在用配方法解時(shí),方程的兩邊應(yīng)同時(shí)加上()2.解方程:①3、說(shuō)明多項(xiàng)式的值恒大于04、先用配方法說(shuō)明：不論x取何值，代數(shù)式值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式的值最小？最小值是多少？做一做用配方法解以下方程:(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x(3)－x2＋4x－3=0設(shè)a≠0，a,b,c都是數(shù)，并且b2-4ac≥0，試用配方法解方程：ax2+bx+c=0.?b2-4ac≥0因?yàn)榻庖辉畏匠痰慕夥?3)----求根公式法一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=（b2-4ac≥0）活動(dòng)2利用公式法解以下方程，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？

解活動(dòng)2歸納：〔1〕一元二次方程的根是由一元二次方程的系數(shù)確定的；〔2〕在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在的前提下，把各個(gè)系數(shù)的值代入求根公式，可求得方程的兩個(gè)根；〔3〕由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.1．用公式法解以下方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？活動(dòng)3活動(dòng)3結(jié)論

〔1〕當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根活動(dòng)3結(jié)論

〔2〕當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根活動(dòng)3結(jié)論

〔3〕當(dāng)時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.活動(dòng)32．某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍長(zhǎng)靠墻，現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，假設(shè)欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長(zhǎng)和寬應(yīng)是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，假設(shè)可以求出長(zhǎng)和寬，假設(shè)不能說(shuō)明理由?！舱n件：圍矩形場(chǎng)地〕例：解方程

(1)3y2-2y=1

一般步驟：〔1〕先把方程化為一般形式〔2〕確定a,b,c〔3〕判定△=b2-4ac的值〔4〕代入求根公式

〔2〕一元二次方程的解法(4)----因式分解法例：解方程：x2=3x

解：移項(xiàng)，得x2-3x=0將方程左邊分解因式，得x(x-3)=0∴x=0或x-3=0∴原方程的解為：x1=0x2=-3這種解一元二次方程的方法叫因式分解法。

特點(diǎn)：在一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式分解法來(lái)解。例2解以下方程：〔1〕x2-3x-10=0〔2〕〔x+3〕·〔x-1〕=5方程25x2+3x-10=0-31、知識(shí)準(zhǔn)備(1)一元二次方程的一般式：〔2〕一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成以下表格問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？方程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01探究2：完成以下表格問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？①用語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②ax2+bx+c=0的兩根,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。3、利用求根公式推到根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕ax2+bx+c=0的兩根=

,

=========

練習(xí)1：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求以下方程的兩根和與兩根積：〔2〕〔3〕〔1〕一元二次方程應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程〔1〕例1：有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？分析：1、設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么患流感的這一個(gè)人在第一輪中傳染了_______人，第一輪后共有______人患了流感；2、第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。那么：列方程，解得即平均一個(gè)人傳染了個(gè)人。例2：有一個(gè)細(xì)胞，經(jīng)過(guò)兩輪分裂后共有144個(gè)細(xì)胞，那么每輪分裂中平均一個(gè)細(xì)胞分裂成多少個(gè)細(xì)胞？例3．某次會(huì)議中，參加的人員每?jī)扇宋找淮问郑参帐?90次，求參加會(huì)議共有多少人？練習(xí)1．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，如果全組有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是〔〕A．x〔x+1〕=182B．x〔x-1〕=182C．2x〔x+1〕=182D．x〔1-x〕=182×22．一個(gè)小組假設(shè)干人，新年互送賀卡，假設(shè)全組共送賀卡72張，那么這個(gè)小組共〔〕．A．12人B．18人C．9人D．10人3：某種植物的主干長(zhǎng)出假設(shè)干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？4.學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽〔每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行了一次比賽〕，共進(jìn)行了15場(chǎng)比賽，那么有幾個(gè)球隊(duì)參加了這次比賽？

5.參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比賽〔雙循環(huán)比賽〕，共要比賽90場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？

實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程〔2〕例1.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率是多少?分析:2月份比一月份增產(chǎn)噸.2月份的產(chǎn)量是噸

3月份比2月份增產(chǎn)噸

3月份的產(chǎn)量是噸5000(1+x)5000x5000(1+x)x5000(1+x)2解:平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率為x

列方程5000(1+x)2=7200

化簡(jiǎn)(1+x)2=1.44x1=0.2x2=-2.2

檢驗(yàn):x2=-2.2(不合題意),x1=0.2=20%

答:平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率是20%.例2:某月餅原來(lái)每盒售價(jià)96元,由于賣(mài)不出去，結(jié)果兩次降價(jià),現(xiàn)在每盒售價(jià)54元,平均每次降價(jià)百分之幾?總結(jié):1.兩次增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量(1+增長(zhǎng)率)2假設(shè)原來(lái)量為a,平均增長(zhǎng)率是x,增長(zhǎng)后的量為A那么第1次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x)第2次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x)2……第n次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x)n這就是重要的增長(zhǎng)率公式.2.兩次降價(jià)后價(jià)格=原價(jià)格(1-降價(jià)率)2公式表示：A=a(1-x)2一.復(fù)習(xí)填空:1、某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個(gè)，二月份生產(chǎn)零件1200個(gè)，那么二月份比一月份增產(chǎn)

個(gè)？增長(zhǎng)率是多少

。2、銀行的某種儲(chǔ)蓄的年利率為6%，小民存

1000元，存滿一年，利息=

。存滿一年連本帶利的錢(qián)數(shù)是

。20020%1060元利息=

本金×利率

增長(zhǎng)量=原產(chǎn)量×增長(zhǎng)率60元4.康佳生產(chǎn)一種新彩霸,第一個(gè)月生產(chǎn)了5000臺(tái),第二個(gè)月增產(chǎn)了50%,那么:第二個(gè)月比第一個(gè)月增加了_______臺(tái),第二個(gè)月生產(chǎn)了___________臺(tái);5000×50%5000(1+50%)3.某產(chǎn)品，原來(lái)每件的本錢(qián)價(jià)是500元，假設(shè)每件售價(jià)625元，那么每件利潤(rùn)是.每件利潤(rùn)率是.利潤(rùn)=本錢(qián)價(jià)×利潤(rùn)率125元25%實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程〔3〕例3,某科技公司研制成功一種產(chǎn)品,決定向銀行貸款200萬(wàn)元資金用于這種產(chǎn)品,簽定的合同上約定兩年到期一次性還本付息,利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場(chǎng)后,由于產(chǎn)銷對(duì)路,使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬(wàn)元.該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同,求這個(gè)百分?jǐn)?shù)？解：設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x，依題意得：200(1+x)2=72+200(1+8%)(1+x)2=1.441+x=±1.2,那么x1=0.2,x2=-2.2(不合題意，舍去.〕利息為本金的8%,四川省中考題甲、乙兩人做某種機(jī)器零件，甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)零件所用的時(shí)間和乙做60個(gè)零件所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)零件？解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件那么乙每小時(shí)做〔x－6〕個(gè)零件，依題意,得經(jīng)檢驗(yàn)X=15是原方程的根。答：甲每小時(shí)做18個(gè)，乙每小時(shí)12個(gè)請(qǐng)審題分析題意設(shè)元我們所列的是一個(gè)分式方程，這是分式方程的應(yīng)用由x＝18得x－6=12等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間解這個(gè)方程,得1、甲、乙兩人練習(xí)騎自行車，甲每小時(shí)比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時(shí)間和乙起騎60千米所用時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各騎多少千米？2、甲、乙兩種商品，甲的價(jià)格每件比乙多6元，買(mǎi)甲90件所用的錢(qián)和買(mǎi)乙60件所用錢(qián)相等，求甲、乙每件商品的價(jià)格各多少元？試一試解：設(shè)自行車的速度為x千米/時(shí)，那么汽車的速度是3x千米/時(shí)，

依題意,得汽車所用的時(shí)間＝自行車所用時(shí)間－時(shí)設(shè)元時(shí)單位一定要準(zhǔn)確解這個(gè)方程,得x=15經(jīng)檢驗(yàn)，15是原方程的根由x＝15得3x=45答：自行車的速度是15千米/時(shí)，汽車的速度是45千米/時(shí)得到結(jié)果記住要檢驗(yàn)。例1：農(nóng)機(jī)廠到距工廠15千米的向陽(yáng)村檢修農(nóng)機(jī)，一局部人騎自行車先走，過(guò)了40分鐘，其余人乘汽車去，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度。行程問(wèn)題根本關(guān)系：S=vt1、元旦某公園的成人的門(mén)票每張8元，兒童門(mén)票半價(jià)〔即每張4元〕，全天共售出門(mén)票3000張，收入15600元。問(wèn)這天售出兒童門(mén)票多少?gòu)?/p>