專題03 AX型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題03AX字型【基本模型】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例題精講】例1.如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，_____．【解析】如圖，延長(zhǎng)BQ交射線EF于點(diǎn)M、分別是、的中點(diǎn)平分由得即故答案為：12．例2.如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【變式訓(xùn)練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)AE并延長(zhǎng)，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．如果CEBE=2【解答】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=3∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=2∴GE=25-2AE=23×83【變式訓(xùn)練2】已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點(diǎn)∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．【變式訓(xùn)練3】如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）2【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【課后訓(xùn)練】1．已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點(diǎn)F在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．2.如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．3．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．4．如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【詳解】解：（1）是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．5．如圖，為平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接．交于，交于．求證：．【答案】見解析．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴∴，即．6．如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因?yàn)锽1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個(gè)等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴7．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析【詳解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②過C作CN⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC．8．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）當(dāng)CF＝BM時(shí)，，此時(shí)△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時(shí)，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如圖3，當(dāng)3＜x＜4.5時(shí)，由得，