常微分方程的發(fā)展史

常微分方程的發(fā)展史常微分方程的發(fā)展史摘要：20世紀(jì)以來,隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動力氣象學(xué)、海洋動力學(xué)、地下水動力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展,也出現(xiàn)不少新型的微分方程（特別是方程組）.70年代隨著數(shù)學(xué)向化學(xué)和生物學(xué)的滲透,出現(xiàn)了大量的反應(yīng)擴散方程.從“求通解”到“求解定解問題”數(shù)學(xué)家們首先發(fā)現(xiàn)微分方程有無窮個解.常微分方程的解會含有一個或多個任意常數(shù),其個數(shù)就是方程的階數(shù).偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數(shù),其個數(shù)隨方程的階數(shù)而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）作盡可能的變化,人們就可能得到方程所有的解,于是數(shù)學(xué)家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”.在很長一段時間里,人們致力于“求通解”.關(guān)鍵詞：常微分方程，發(fā)展，起源正：常微分方程是由用微積分處理新問題而產(chǎn)生的，它主要經(jīng)歷了創(chuàng)立及解析理論階段、定性理論階段和深入發(fā)展階段。17世紀(jì)，牛頓(I.Newton，英國，1642-1727)和萊布尼茲(G.W.Leibniz，德國，1646-1716)發(fā)明了微積分，同時也開創(chuàng)了微分方程的研究最初，牛頓在他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理機(1687年)中，主要研究了微分方程在天文學(xué)中的應(yīng)用，隨后微積分在解決物理問題上逐步顯示出了巨大的威力。但是，隨著物理學(xué)提出日益復(fù)雜的問題，就需要更專門的技術(shù)，需要建立物理問題的數(shù)學(xué)模型，即建立反映該問題的微分方程。1690年，雅可比·伯努利(JakobBernouli，瑞士，1654-1705)40年代，一階常微分方程的初等方法都已清楚了，與此相聯(lián)系，通解與特解的問題也弄清楚了。

1734年，克萊羅在他的著作中處理了現(xiàn)在以他的名字命名的方程，他給出了一個新的解，從而提出了奇解的問題。奇解是不能通過給積分常數(shù)以一個確定的值由通解來求得。歐拉、拉普拉斯(P.S.Laplace，法國，1749-1827)、達朗貝爾(J.Alembert，法國，1717-1783)都涉及奇解這個問題，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813)對奇解與通解的聯(lián)系作了系統(tǒng)的研究，他給出了從通解消去常數(shù)項從而得到奇解的一般方法．但在奇解理論中，有些特殊的困難他并沒有認(rèn)識到。奇解的完整理論是19世紀(jì)發(fā)展起來的。其中黎曼(G.Riemann，德國，1826-1866)作出了突出的貢獻。

1728年，歐拉由于力學(xué)問題的推動，把一類二階微分方程用變量替換成一階微分方程組，這標(biāo)志著二階方程的系統(tǒng)研究的開始。此后，歐拉完整地解決了常系數(shù)線性齊次方程的求解問題和非齊次的n階線性常微分方程的求解問題。拉格朗日在1762年至1765年間又對變系數(shù)齊次線性微分方程進行了研究。

在18世紀(jì)前半葉，常微分方程的研究重點是對初等函數(shù)施行有限次代數(shù)運算、變量代換和不定積分把解表示出來：至18世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們又討論了求線性常微分方程解的常數(shù)變易法和無窮級數(shù)解法等方法：至18世紀(jì)末，常微分方程己發(fā)展成一個獨立的數(shù)學(xué)分支。

19世紀(jì)，柯西(A.L.Cauchy，法國，1789-185)、劉維爾(J.Liouville，法國，1809-1882)、維爾斯特拉斯(K.Weierstrass，德國，1815-1879)和皮卡(E.Picard，法國，1865-1941)對初值問題的存在唯一性理論作了一系列研究，建立了解的存在性的優(yōu)勢函數(shù)、逐次逼近等證明方法。這些方法又可應(yīng)用于高階常微分方程和復(fù)數(shù)域中的微分方程組法國數(shù)學(xué)家龐加萊(H.Poincare，1854-1912)和俄國的李雅普諾夫(Liapunov，1857-1918)共同奠定了穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)。自群論引入常微分方程后，使常微分方程的研究重點轉(zhuǎn)向解析理論和定性理論。19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家龐加萊連續(xù)發(fā)表了4篇文章，依賴幾何拓?fù)渲庇^對定性理論進行了研究，李雅普諾夫應(yīng)用十分嚴(yán)密的分析法又進行了研究，從而奠定了微分方程定性理論的基礎(chǔ)。由于行星或衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題，周期解的重要性提到日程上來。西格爾(L.Siegel，德國，1896-1981)創(chuàng)立了周期系統(tǒng)的線性齊次微分方程的數(shù)學(xué)理論。在1877年的論文中，他求出了對月球運動的諸微分方程確定一個近似于實際觀察到的運動的周期解，并證明了二階微分方程有周期解．

20世紀(jì)，微分方程進入了廣泛深入發(fā)展階段。隨著大量的邊緣學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了不少新型的微分方程(組)，微分方程在無線電、飛機飛行、導(dǎo)彈飛行、化學(xué)反應(yīng)等方面得到了廣泛的應(yīng)用，從而進一步促進了這一學(xué)科的發(fā)展，使之不斷完善，對它的研究也從定性上升到定量階段。像動力系統(tǒng)、泛函微分方程、奇異攝動方程以及復(fù)域上的定性理論等等都是在傳統(tǒng)微分方程的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新分支。參