2020年全國(guó)統(tǒng)一【高考】數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅲ）（含答案）

2020年全國(guó)統(tǒng)一【高考】數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅲ）（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一【高考】數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅲ）（含答案）PAGE2020年全國(guó)統(tǒng)一【高考】數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅲ）（含答案）2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查集合交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.2.若，則z=（）A.1–i B.1+i C.–i D.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法運(yùn)算求得，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到共軛復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)式展開(kāi)變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.6.在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（，0） B.（，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.8.點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即為.故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)a=log32，b=log53，c=，則（）A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】分別將a,b改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A【點(diǎn)晴】本題考查對(duì)數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與回歸的思想，是一道中檔題.11.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A. B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A.f(x)的最小值為2 B.f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對(duì)稱性判斷C,D.【詳解】可以為負(fù)，所以A錯(cuò)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故B錯(cuò)；關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)，D對(duì)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對(duì)稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_(kāi)________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因?yàn)?，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，，所以.故答案為：7.【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.14.設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)槠湟粭l漸近線為，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點(diǎn)所在位置，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【解析】【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.16.已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)椋?，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點(diǎn)使得,再通過(guò)平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以平面,因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以四邊形為正方形因?yàn)槠矫?因此平面,因?yàn)槠矫?所以；（2）在上取點(diǎn)使得,連,因?yàn)?所以所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅?，因此在平面?nèi)【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】（1），對(duì)分和兩種情況討論即可；（2）有三個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說(shuō)明即可.【詳解】（1）由題，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且即，解得，當(dāng)時(shí)，，且，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理，，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知的取值范圍為.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.21.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因?yàn)?，可得，，根?jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為，可得，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心