大學(xué)物理第五冊清華大學(xué)dxwl602

薛定諤方程（Schrodingerequation）第二章1本章目錄§2.1薛定諤方程的建立§2.2無限深方勢阱中的粒子§2.3勢壘穿透§2.4一維諧振子*§2.5力學(xué)量算符的本征值問題2德拜指出：幾周后薛定諤找到（提出）了波函數(shù)滿足的微薛定諤方程是描述微觀粒子的基本方程，它最初只是一個(gè)假定，§2.1薜定諤方程的建立“對于波，應(yīng)該有一個(gè)波動(dòng)方程?！睆亩⒘嗣枋鑫⒂^粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科—量子力學(xué)。它是不能夠由其它基本原理推導(dǎo)出來的，后來通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了它的正確性。1925年薛定諤在介紹德布羅意波的報(bào)告后，分方程—薛定諤方程，同牛頓定律一樣，3ErwinSchrodinger奧地利人1887-1961創(chuàng)立量子力學(xué)1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者——薛定諤4一.薛定諤方程（1926）尋找粒子滿足的微分方程的思路：在非相對論情況下，有：由一維自由粒子的波函數(shù)又比較上兩式得：這就是一維自由粒子波函數(shù)

滿足的微分方程。5若粒子在勢場中，勢能函數(shù)為U(x,t)，則粒子總能量于是有：又比較上兩式得：這就是一維勢場中粒子

滿足的微分方程。6三維情形：令引入算符—非定態(tài)薛定諤方程以上是非相對論、不發(fā)生實(shí)物粒子產(chǎn)生和淹滅（可發(fā)射、吸收）時(shí)粒子波函數(shù)滿足的方程，它是非相對論量子力學(xué)的基本方程。(Hamiltonianoperator)—哈密頓算符若則稱為能量算符（反映粒子總能量）引入后，有7的一個(gè)“基本假定”。二.關(guān)于薛定諤方程的討論1.薛定諤方程是線性偏微分方程，若和是薛定諤方程的解，則也是薛定諤方程的解。2.薛定諤方程關(guān)于時(shí)間是一階的，經(jīng)典波動(dòng)方程：（時(shí)間二階）薛定諤方程是量子力學(xué)解滿足態(tài)疊加原理。所以它的這不同于8則薛定諤方程可分離變量。三.定態(tài)薛定諤方程則有：若與t無關(guān)，設(shè)雙方同除—必須為常量則分別有：和9——振動(dòng)因子稱為定態(tài)薛定諤方程，方程解為式中E具有能量量綱，A0

可以是復(fù)數(shù)。方程其解依賴于的形式。對自由粒子，

U=0，其一維定態(tài)薛定諤方程：10該方程的解為若令則E正是粒子的能量，p正是粒子的動(dòng)量?！杂闪Ｗ拥牟ê瘮?shù)令一般情況下：這種E取定值的狀態(tài)稱定態(tài)（stationarystate），以后我們將只研究定態(tài)。11海森伯（Heisenberg，德，1932Nob)，海森伯狄拉克泡利（19011976）（19021984）（19001958）狄拉克（Dirac，英，1933Nob），泡利（Pauli，美，1945Nob），都對量子力學(xué)做出了重要的貢獻(xiàn)。12§2.2無限深方勢阱中的粒子從數(shù)學(xué)上來講：E不論為何值該方程都有解。連續(xù)和歸一，從物理上來講：特定的E值稱為能量本征值。本節(jié)我們將在一種具體情況下，求解定態(tài)薛定諤方程

E只有取某些特定值，該方程的解才能滿足波函數(shù)的條件單值、有限、特定的E值所對應(yīng)的方程稱為能量本征方程，相應(yīng)波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。13一.一維無限深方形勢阱中的波函數(shù)與能量極限a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x0U=0EU→∞U→∞U(x)x0

無限深方勢阱（potentialwell）14∵E>0，∴可令通解：待定常數(shù)A、

由

應(yīng)滿足的物理?xiàng)l件決定。以上的解已自然滿足單值，有限的條件。15連續(xù)條件：由于邊界外

=0，所以有：由此得：其中l(wèi)1和

l2是整數(shù)。將上兩式相加得：令即l也是整數(shù)

l取0或1時(shí)

(x)有以下兩種表示：16

是奇函數(shù)(oddfunction)

是偶函數(shù)(evenfunction)1.能量E▲

l=0時(shí)，

=0，▲

l=1時(shí)，

=

/2，

l為其他整數(shù)值時(shí)，所得解與

o(x)、

e(x)形式相同（可能差正、負(fù)號(hào)，但不影響|

|2）。

從能量的意義看，應(yīng)有E

0，但能否E=0呢？在限定粒子的位置范圍的情況下（在勢阱中），由不確定關(guān)系知，動(dòng)量的不確定量應(yīng)不為零，所以動(dòng)量P>0，

E>017由由能量E能連續(xù)嗎？兩者合并在一起，可得得由18這表明，束縛在勢阱內(nèi)的粒子的能量只能取離散值En

——能量量子化，每一能量值對應(yīng)一個(gè)能級，En稱為能量本征值，n稱為量子數(shù)。最低能量——零點(diǎn)能能級間隔宏觀情況或量子數(shù)很大時(shí)，可認(rèn)為能量連續(xù)。192.波長

由能量、動(dòng)量關(guān)系和德布羅意關(guān)系，有德布羅意波長上式表明，德布羅意波具有駐波的形式每一個(gè)能量的本征態(tài)，由于勢阱中德布羅意波只有形成駐波才能穩(wěn)定，所以也可以反過來說，勢阱中的能量量子化是德布羅意波形成駐波的必然結(jié)果。（勢阱邊界為波節(jié)）。對應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長的駐波。203.波函數(shù)

（1）波函數(shù)的空間部分歸一化條件：由此得21所以有能量本征函數(shù)：（2）全部波函數(shù)考慮振動(dòng)因子有函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱粒子的“能量本征態(tài)”。該函數(shù)稱“能量本征波函數(shù)”，每個(gè)本征波（3）概率密度：（駐波解）22

n很大時(shí)，勢阱內(nèi)粒子概率分布趨于均勻。量子經(jīng)典|2

n|En|2

n|束縛態(tài)(boundstate)E1E2E3E4En

n0x勢阱內(nèi)粒子概率分布與經(jīng)典情況不同玻爾對應(yīng)原理23§2.3勢壘穿透（barrierpenetration）一.粒子進(jìn)入勢壘粒子從x=-

處以能量E入射，金屬或半導(dǎo)體接觸處勢能隆起，形成勢壘。勢壘的物理模型：入射能量E<U0xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)給定勢函數(shù)（一維勢壘）：1.勢函數(shù)反射入射透射？242.定態(tài)薛定諤方程I區(qū)（x

0）：有令I(lǐng)I區(qū)（x>0）：xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

1

2令有25入射波反射波透射3.通解當(dāng)x

時(shí)，

2(x)應(yīng)有限，得D=0，EU0

2透射

1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0于是有（波動(dòng)型解）（指數(shù)型解）26可見在（E<U0）的區(qū)域粒子出現(xiàn)的概率

04.概率密度（II區(qū)）

U0

、x

透入的概率

經(jīng)典：粒子不能進(jìn)入E<U的區(qū)域（動(dòng)能

0）。量子：粒子可透入勢壘。例如，電子可逸出金屬表面，在金屬表面形成一層電子氣。27二.有限寬勢壘和隧道效應(yīng)x=a隧道效應(yīng)E

1

2

0aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)

3振幅為

2(a)。波穿過后，將以平面波的形式繼續(xù)前進(jìn)(

3)，這稱為勢壘穿透或隧道效應(yīng)。281.穿透系數(shù)穿透系數(shù)會(huì)小6個(gè)數(shù)量級以上。當(dāng)勢壘寬度a約50nm以上時(shí)，穿透系數(shù)此時(shí)隧道效應(yīng)在實(shí)際上已沒有意義了，量子概念過渡到了經(jīng)典。29經(jīng)典物理：量子物理：

x=a很小時(shí)，

P很大，使E也很大，2.怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)?粒子能量就有不確定量

E。

E+

E>U0可以有：粒子穿過勢壘區(qū)和能量守恒并不矛盾。只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度

x=a不是無限大，粒子有波動(dòng)性，遵從不確定關(guān)系，從能量守恒的角度看是不可能的。以至30經(jīng)典量子隧道效應(yīng)31三.隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道二極管，金屬場致發(fā)射，核的

衰變，…1.核的

衰變U

Th+He2382344

是通過隧道效應(yīng)出來的。對不同的核，算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致。rRU35MeV4.25MeV

0核力勢能庫侖勢能322.掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明，原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986.Nob：魯斯卡（E.Ruska）1932發(fā)明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。用于觀察33U0U0U0A—常量

—樣品表面平均勢壘高度（~eV）d~1nm（10A）。d變

i變，反映表面情況。ABdE隧道電流iABUd探針樣品電子云重疊34豎直分辨本領(lǐng)可達(dá)約102

nm；橫向分辨本領(lǐng)與探針、樣品材料及絕緣物有關(guān)，技術(shù)關(guān)鍵：1.消震：多級彈簧，底部銅盤渦流阻尼。2.探針尖加工：電化學(xué)腐蝕，強(qiáng)電場去污，

針尖只有1~2個(gè)原子！3.驅(qū)動(dòng)和到位：利用壓電效應(yīng)的逆效應(yīng)—電致伸縮，一步步掃描，掃描一步0.04nm，掃描1(

m)2約0.7s。4.反饋：保持i不變

d不變（不撞壞針尖）。d變~0.1nm

i變幾十倍，非常靈敏。在真空中可達(dá)0.2nm。35隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖36中國科學(xué)院化學(xué)研究所研制的CSTM-9000型STM37用STM得到的神經(jīng)細(xì)胞象硅表面STM掃描圖象38用原子操縱寫出的“100”和“中國”391991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母IBM，每個(gè)字母長5納米401991年2月IBM的“原子書法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫”藝術(shù)

—

“CO

小人”圖中每個(gè)白團(tuán)是單個(gè)CO分子豎在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子

CO分子的間距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪稱世界上最小的“小人圖”移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構(gòu)成新分子的目標(biāo)又前進(jìn)了一步，其內(nèi)在意義目前尚無法估量。41鑲嵌了48個(gè)Fe原子的Cu表面的STM照片F(xiàn)e原子間距：0.95nm，圓圈平均半徑：7.13

nm48個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。42諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。如：黑體輻射、分子振動(dòng)，若選線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和勢能m

—

粒子的質(zhì)量k

—

諧振子勁度系數(shù)諧振子的角頻率§2.4一維諧振子零點(diǎn)，則一維線性諧振子的勢能可以表示為：晶格點(diǎn)陣振動(dòng)。1.勢能432.諧振子的定態(tài)薛定諤方程3.諧振子的能量n=0,1,2,…解定態(tài)薛定諤方程得由和有44

能量特點(diǎn)：(1)量子化，等間距：

符合不確定關(guān)系(3)有選擇定則：

(2)有零點(diǎn)能：所以室溫下分子可視為剛性。能級躍遷要滿足(4)當(dāng)n

時(shí)，符合玻爾對應(yīng)原理。能量量子化

能量連續(xù)（宏觀振子能量相應(yīng)n

1025，

E

10-33J

）分子振動(dòng)

E（102101eV）>kT

(室溫)，454.諧振子的波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項(xiàng)式，最高階是

465.概率密度波函數(shù)概率密度n=0xn=0xn=1xn=1xn=2xn=2x47線性諧振子n=11時(shí)的概率密度分布：經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，振子在兩端速度為零，粒子出現(xiàn)的概率小；出現(xiàn)的概率最大。虛線是經(jīng)典結(jié)果48xn很大EnE1E2E00U(x)概率密度的特點(diǎn)：(1)

概率在E<U區(qū)仍有分布

——隧道效應(yīng)49例如基態(tài)位置概率分布在x=0處最大，(3)當(dāng)n

時(shí)，經(jīng)典振子在x=0處概率最小。符合玻爾對應(yīng)原理。量子概率分布xn很大0n=1n=2n=3U(x)(2)n小時(shí)，概率分布與經(jīng)典諧振子完全不同

經(jīng)典概率分布，50以位矢為自變量的空間，稱“位置表象”。*§2.5力學(xué)量算符及其本征值問題“算符化”。由不確定關(guān)系知，在位置表象中動(dòng)量并不存在，否則“軌道”概念就成立了。在量子力學(xué)中，角動(dòng)量和能量等力學(xué)量問題時(shí)，處理諸如動(dòng)量、需要將這些力學(xué)量51一維自由粒子波函數(shù)對

求導(dǎo)，得到方程：一.力學(xué)量算符的引入52由以上對波函數(shù)的求導(dǎo)操作得到物理啟示：定義能量算符、動(dòng)量算符和坐標(biāo)算符分別為將它們作用到一維自由粒子波函數(shù)上，有53

坐標(biāo)函數(shù)的力學(xué)量，其量子力學(xué)所對應(yīng)的如勢能

和作用力。

與動(dòng)量有關(guān)的經(jīng)典力學(xué)量，其量子力學(xué)所例如，動(dòng)能算符的表達(dá)式：所以在位置表象中，算符化的規(guī)則是：（在直角坐標(biāo)中）算符形式不變。對應(yīng)的算符可用動(dòng)量的對應(yīng)關(guān)系得出。由給出54角動(dòng)量算符的表達(dá)式：在直角坐標(biāo)中：55在球極坐標(biāo)中：角動(dòng)量算符的模方為：（直角坐標(biāo)）（球極）56任一力學(xué)量

（經(jīng)典）

（量子）二.力學(xué)量算符的本征值和本征函數(shù)當(dāng)算符作用在函數(shù)上，若其結(jié)果是描述力學(xué)量A

取確定值時(shí)的本征態(tài)稱上式為算符的本征方程（eigenequation）

稱為力學(xué)量