2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學學科知識與教學能力》(初級中學)真題

2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學學科知識與教學能力》(初級中學)

真題

1［單選題］(江南博哥)單選題在空間直角坐標系下，直線

x-2r-11二+1

丁二一1=丁與平面3x-2y-z+15=0的位置關(guān)系是()

A.相交且垂直

B.相交不垂直

C.平行

D.直線在平面上

正確答案：D

參考解析：

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系。由題可知，直線的方向向量為n=(3,4,1),平面的法向量

為m=(3,-2,-1)E^n.m=3x3+4*(-2)+1*(-1)=0,所源哪方向向量與平面的法向垂直。

、=3+2

x-1v-11:+1［3+11

設鼓靡為，-?，則代入平的程中，可得酸在平面上

故本題選D。

2［單選題］使得函數(shù)”一致連續(xù)的x取值范圍是()

A.(0.1)

B.(0.1］

3jL-

C.

D.(-°0,+8)

正確答案：C

參考解析：

本題考查閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)一致連續(xù)性定理,如果函數(shù)在閉區(qū)間［南上遛娜么

V1U二J

爾)=-［3］［2

它在該區(qū)間上一致連續(xù)。可知，使得函數(shù),'一致連續(xù)的x的取值范圍,「故

本艇以

3［單選題］單選題方程+6、-4=0的整數(shù)解的個數(shù)是()

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

參考解析:

丫"一彳-4-0Y-

本酵H妨瞰鍛解對’-兩醞聘以得:.

，2

\__=0x+—―3=0「

可得'或'，解得匚川或X=1或x=2。所以琬讖懈有2個。故本

題選Q

4［單選題］

v=/(.v)X)Ar,olAr).

單選題設函數(shù)在的自變量的改變量為“A，相應的函數(shù)改變量為表示你的

高階無窮小。若函數(shù)‘""”在’可微則下列表述不正確的是()

AAr=/'(.r0)d.r

Bd】=/'(.")&

C/=/'(.”心+o(Nr)

0At,=仃+o(Av)

正確答案：A

參考解析：

本題考查微分的概念。根據(jù)微分的定義可得:打=/'%"函數(shù)的增量

為="+74)=/'(.鈔?，3)可知A選項鐲吳。古體雕A。

5［單選題］拋擲兩粒正方體骰子(每個面上的點數(shù)分別為1,2,....6),

假定每個面朝上的可能性相同,觀察向上的點數(shù),則點數(shù)之和等于5的概

率為()

A.5/36

B.1/9

C.1/12

D.1/18

正確答案：B

參考解析：

(.V.r)

本鵬璧怖廨。設第一冽螂螺子點觸:X,第二欠的為y,用.表示拋艇次

的結(jié)果。其中此'"6,卬W6脂36種結(jié)果。其中點姐和為5的(叫網(wǎng)(共

269

4種結(jié)果，根跚鞭俎故本題選B。

6［單選題］

B（B土0）

單選題對于蟲延矩陣A,存在n*.矩陣使得AB=O成立的充要條件懿陣A的秩

rank(A)

滿足0

Arank(J|<z/

Brank(J)<//

「rank(H)>〃

L/.

Drank(J)>//

正確答案：A

參考解析：

本題考查矩陣的運算。必要性，由條件可設為"）

則43=川內(nèi)A-r4)=(/?」』區(qū)r)

小，小,…,p45=0

由題意可知B為m黑向量，故‘中至少有一華E零向量若，則

第=0（六L2,,s）#』）＜〃（4）＜〃

因此出二°,有修解，故充淵:若

一八n.為外…，夕M，=0（j=1.2..s）

則方程組&=°有三藩解，設非零解為即，

3=(4,外，A)JR-01fix01I

令則”-°述I。蟒齷&

7［單選題］一個五邊形與其經(jīng)過位似變換后的對應圖形之間不滿足下

列關(guān)系的是（）。

A.對應線段成比例

B.對應點連線共點

C.對應角不相等

D.面積的比等于對應線段的比的平方

正確答案：C

參考解析：本題考查位似圖形的性質(zhì)。兩個圖形位似，那么任意一對

對應點到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應邊都互相平

行(或在一條直線上)。位似圖形面積的比等于相似比的平方。位似圖形

對應點連線的交點是位似中心，位似圖形對應線段的比等于相似比。位

似圖形高、周長的比都等于相似比。位似圖形的對應角都相等。c選項

不正確，故本題選C。

8［單選題］設二百一F-求當有時，T的值”。主要考查學生的()

A.空間觀念

B.運算能力

C.數(shù)據(jù)分析觀念

D.應用意識

正確答案：B

參考解析：本題考查數(shù)學教學論的基本概念。帶入具體數(shù)值求解代數(shù)

式，主要考查學生的運算能力。故本題選B。

9［簡答題］

已知平面上一橢圓，長半軸長為a,短半軸長為b,0<b<a,求該橢圓繞

著長軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。

參考解析：

本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積計算。由題意知，無論長軸在x軸或y軸旋轉(zhuǎn)體

?、、二工

的體積不變；不妨設長軸在X軸上，將橢圓"b繞X軸旋轉(zhuǎn)一周，所

得的旋轉(zhuǎn)體的體積為J°?小3

10［簡答題］

設顧客在某銀行窗口等待服務的時間X(min)的概率密度為

［1c

3)=J「CO

［o.其他

用變量Y表示顧客對銀行服務質(zhì)量的評價值若顧客等待時間不超過5

(min)

u［-1,X>5

/=］X5

則評價值為Y=1;否則，評價值為y=T,即

(1)求X的分布函數(shù)。(2)求Y的分布律。

參考解析：（1）

Z?A.r>0

0.其他

其他是龍員從參數(shù)1/（.V）=

o,的指數(shù)分布，懶分布.的分

1-eA.r>01-e2,*>0

尸（、）=1尸（工）=

0.K他=_0,其他

2時,

布函數(shù)為,則當

(2)

P25)=尸(5)=1-eW1-e--

答案：〃-5則、，，，所以Y的

5

l-e-2,

呻叫=；4=1

e2,

分布律為

11［簡答題］

%小/

已知方程組：I鏟f%:叫有惟一解當且僅當行列式:；：：；：不等于

零

請回答下列問題：

（1）行列式②的幾何意義是什么？

（2）上述結(jié)論的集合意義是什么？

參考解析：（1）

ax+ay+a，:=b,Fli（ai<a）rii

由解析幾何知：n2是空間內(nèi)的fp面、而"是平n面"

的枷量"""""+好也"向內(nèi)K"個平面”而心心心）是￥?"的法^

量，"磔間砸一呼面“，而⑸,卷’如）是平面內(nèi)的法向量,

%q：%

%］電2。23

%七?

這樣系數(shù)矩陣33的每一行就是三個平面的法向量，他們可以構(gòu)成一個三維空間。

(2)

n）與兩平面相交的充要條件是。：電93=61：令：63

答案:即相交的充要條件是

qi?4

［q,&%）_,rank的a22a2i=3

心a~&.,同理得三個平面相交于一點的充要條件是&%

，即線性方程系數(shù)矩陣的行列式的值不為零的幾何意義為3個平面相交于一點。

12［簡答題］

某教師在引領(lǐng)學生探究〃圓周角定理”時一，首先進行畫圖、測量等探究

活動，獲得對圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進一步尋找證明猜想的

思路并進行嚴格的證明；最后，教師又通過幾何軟件對兩類角的大小關(guān)

系進行驗證。

從推理的角度，請談談你對教師這樣處理的看法。

參考解析：推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判

斷來確定一個新的判斷的思維過程。在初中數(shù)學中經(jīng)常使用的兩種推

理是:合情推理和演繹推理。合情推理是學生經(jīng)過觀察、分析、比較、

聯(lián)想，再進行歸納、類女比，然后提出猜想的推理，這位老師引領(lǐng)學生探

究“圓周角定理”時一，首先進行畫圖、測量等探究活動，獲得對圓周角

和圓心角大小關(guān)系的猜想；就是應用了合情推理。合情推理融合了學生

的各種思維和活動在中，對于培養(yǎng)學生的學習興趣，開發(fā)學生的智力，

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力都是非常重要的。演繹推理是從已有的實（包括定

義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則（包括邏輯和運算）證明結(jié)論。

蓋老師在學生給出猜想后，引導學生進一步尋找證明猜想的思路并進行

嚴格的證明；并通過幾何軟件對兩類角的大小關(guān)系進行驗證。應用演繹

推理體現(xiàn)是數(shù)學的嚴謹性。兩種方式相輔相成，更有利于學生掌握“圓

周角定理〃

13［簡答題］

數(shù)學課堂教學過程中，為了鼓勵學生獨立思考，深入理解問題，教師常

常在呈現(xiàn)任務后，不是立刻講解，而是留給學生足夠的思考時間，這種

教學方式可稱之為“課堂留白”請你談談課堂留白的必要性及其意義。

參考解析：課堂的精彩不僅要關(guān)注教師講的多么精彩，更加關(guān)注學生

學得多么主動，教師一個人講解的課堂不是精彩的課堂，只有當學生通

過自己的主動活動去建構(gòu)自己對知識的理解，從而展現(xiàn)自己的精彩時，

這樣的課堂提精彩的，因為課堂留白是十分有必要的。

“課堂留白”的意義：

①課堂留白可以激發(fā)學生的求知欲和潛能;課堂中給學生留下活動的時

間、思維的空間，使學生有所探索、有所思考，可放飛學生的思維。學

生在開動學生的腦筋、利肥學知識解決留白問題的同時順利進行知識遷

移、主動融合和構(gòu)建知識體系，容易激發(fā)學生的學習興趣、提高教學效

率。

②課堂留白能留給學生獨立思考的機會，有利于發(fā)揮學生的主體意識。

合理運用教學留白，給學生留下獨立思考的時間，讓學生積極參與，自主

體驗，真正成為學習的主人。

③課堂留白可以促進學生的個性發(fā)展。

④課堂留白激發(fā)學生的想象力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力。在教學中給學生留

下更多的空間，正如畫家留白的道理一樣，可以讓學生有足夠的空間去

充分地想想，可以自由自在地展開聯(lián)想或創(chuàng)造。

14［簡答題］

.Vj+2匕-4.Vj—5(——6

.Yi-Xj-=-2

2x1+5.t>-9$-12.r4=-14

I茁+3.r>-5.七+g=—8

已知非齊次線性方程組.

(1)a為何值時，其對應齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?

(2)對于⑴中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解。

參考解析：(1)齊次方程組的解空間維數(shù)為2,可以得出齊次方程組

的自由變量個數(shù)為2,對應的齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為2,可得系數(shù)

矩陣為

2)-Fj

01

「I,

01/?(.4)=2.a

所以得到

(2)當a=-7時得到增廣矩陣為

01-1-2-：

01-1-2-2

5-9-P-14I01-1-2

-'>[-itkMT)?〃

13-5-7-8,.01-1-2-：

,可得到

.Vj+-4叼-5XA--6

11

\-V3-2.r4=-2由此可得導出隨基礎解系0).2方程的通

解為會(即AwR)；〈=(-?"牖貝歸明次7猥組卻解為

〃=柘+於寅+二

15［簡答題］

數(shù)學運算能力是中學數(shù)學教學需要培養(yǎng)的基本能力。學生的數(shù)學運算能

力具體表現(xiàn)為哪些方面?請以整式運算為例予以說明。

參考解析：

教學運篁主要表現(xiàn)為理解運篁?qū)ο螅莆者\覲則；探究運箕思路，求得運爵果。

例：計篁整式篁式中的一道因式分解問題，T=?首先要理解運箕的篁式特點，觀察到要因

式分解題目彳導運用到平方差公式I'的逆過程;同時要掌握平方差公式的算

理，此處的a,b可以看成任何滿足該條件的傲式，而不僅僅是簡單的整位其次觀察題目夏

式，探究運篁思路可以發(fā)現(xiàn)/t可以變形得到〃7'“)t運用-次平方差公式的逆過程

a4-l=(trf-l=(<r+l)(tr-l)

得到此時發(fā)現(xiàn)還有可以提出因式的算式，繼續(xù)運用一次平方

a4-l=(a2+l)(a-l)(o+l)

差徵的逆過程得到得更撮終的運篁結(jié)懸

16［簡答題］

案例：

下面是初中〃三角形的內(nèi)角和定理”的教學案例片段。教師請學生回憶

小學學過的三角形內(nèi)角和是多少度？并讓學生用提前準備好的三角形

紙片進行翦拼并演示。下面是部分學生演示的圖形(如圖1、圖2):

AA

cDB

圖/圖2

在圖1中，三角形的三個內(nèi)角拼在一起后，B、C、D在一條直線上，看

似構(gòu)成一個平角。教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎？學生的回答

是“不一定"。接著，教師利用圖1啟發(fā)學生思考：

①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直線上(即組成平角)，可以換

個角度，先構(gòu)造一個平角，引導學生結(jié)合圖1思考如何作輔助線構(gòu)造平

角。學生想到了作BC的延長線BD,如圖3所示。

②圖1中，N1與NA是什么關(guān)系？啟發(fā)學生在NACD內(nèi)作N1=NA,或過

點C作CE〃AB,如圖4所示。

③現(xiàn)在只要證明什么？(證明N2=NB)

問題：

(1)該教師讓學生回憶并用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請簡述

其教學意圖。

(2)禾詞圖2設計問題串，使得這些問題能夠引導學生發(fā)現(xiàn)三角形的

內(nèi)角和定理的證法。

(3)請再給出其他2種三角形紙片的拼法，并畫圖表示

參考解析：(1)從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，利用物拼圖的方式引

導學生通過動手實踐，從而建立知識聯(lián)系，體現(xiàn)學生才是學習的主體。

(2)

問題1：有同學把三角形的兩個底角撕下來拼到頂角上，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題2：我們發(fā)現(xiàn)這樣可以把三角形的三個內(nèi)角湊到一起，可以湊成看

似是一個平角。怎么確定他就是一個平角呢？

問題3：根據(jù)圖1,想一想如何作輔助線構(gòu)造平角呢？

問題4：作出輔助線后，我們根據(jù)平行線的性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(3)

證明方法一:

BD

如圖，過BC的中點D作DF〃AC,DE//AB,這時NA=N4,又N4=N2,

即NA=