新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)簡(jiǎn)單的三角恒等變換(二)

簡(jiǎn)單的三角恒等變換(二)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+d5sin2x+a(a為實(shí)常數(shù))在區(qū)間0,上的最小值為-4,那么a的值為()

A.4B.16C.一4D.13

c什作八c、

2-右tan(廠。)=3,則rh[c不os2同0=z()

33

A.3B.—3C.D.-4

3.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+1)+cos(2x+$，貝！|()

A.y=f(x)在(0,到上單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x=p寸稱

B.y=f(x)在(0,3上單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x專對(duì)稱

C.y=f(x)在(0,野上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x="寸稱

D.y=f(x)在(0,習(xí)上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x專對(duì)稱

577

4.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸是x=-,則函數(shù)g(x)=asinx+cosx的最大值是

()

2^22^342^6

ZAx?3_o?3.3u?3

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.若:+：ana則+2a=

1—tanacos2a------------

6.北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖由四個(gè)全等直

角三角形與一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形(如圖所示).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為

25,直角三角形中較小的銳角為貝!Jcos20=________.

三、解答題(每小題10分，共20分)

71

cos0cos2

anai2ailai2

7.形如的符號(hào)叫二階行列式，現(xiàn)規(guī)定a“a22—a21al2，如果f(0)=

H21a22a21a22.7兀

sin0sinT

_3，0<0<71,求0的值.

1

~2

8.已知函數(shù)f(x)=4coscox-sin(3x+J?>0)的最小正周期為

71.

(1)求3的值;

jr

⑵討論f(x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性.

能力過(guò)關(guān)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.已知不等式3色sin/cos/+#cos.一坐一mWO對(duì)于任意的xG一知，g恒成立，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

A.[^3,+oo)B.(-00,4)

C.(-00,一小]D.[-V3,4]

2.(多選題)已知cos住+0)-cos住一0)=?，蚱傳，則()

A.sin20=^B.sin20=一

C.sinO+cosO=一坐D.sin9+cos

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.如圖所示，有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個(gè)角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板

EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二，則應(yīng)按角度x=來(lái)截.

4.已知A+B=牛，那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值

是_______

三、解答題(每小題10分，共20分)

5.如圖，某工匠要將一塊圓心角為120。，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊面積最大的矩形，現(xiàn)有兩種

裁法：①讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(如圖①),②讓矩形一邊與弦AB平行(如圖②)，請(qǐng)問(wèn)該工匠

應(yīng)采用哪種裁法？并求出這個(gè)面積的最大值.

6.己知fguZcos21,g(x)=(sin,+COS,)2.

⑴求證：f=g(x)；

(2)求函數(shù)h(x)=f(x)—g(x)(xG［0,兀］)的單調(diào)區(qū)間，并求使h(x)取到最小值時(shí)x的值.

、選擇題(每小題5分，共20分)

1.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+gsin2x+a(a為實(shí)常數(shù))在區(qū)間［。，會(huì)上的最小值為一4,那么a的值為()

A.4B.16C.—4D.—3

分析選C.f(x)=2COS2X+A/3sin2x+a

=1+cos2x+小sin2x+a

=2sin(2x+%)+a+l,

,「八兀1,71「兀7兀

當(dāng)xe[0,51時(shí)，2x+%e[不yj,

所以f(x)min=2(—y+a+l=-4,

所以a=—4.

2-右tan1—01=3,則)

33

A.3B.—3C.aD.—a

分x析.,選A.因小為，tan/|7ji-0jA=巾1-ta彘n0=3,

所以tan0=-3-

cos26_________cos?。一side

k1+sin20sin20+2sin0cos0+cos20

1

1-

±-4

1—tan2G

1

2-T+

tan0+2tan0+l4

3.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+￡+cos(2x+*貝U()

A.y=f(x)在(0,上單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x=今對(duì)稱

B.y=f(x)在(0,3上單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線*=胃對(duì)稱

C.y=f(x)在(0,3上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x=￡對(duì)稱

D.y=f(x)在(0,方上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x專對(duì)稱

分析選D.f(x)=psin(2X+￡+；)

=也sin(2x+^)=^/2cos2x,

所以y=f(x)在(0,5上單調(diào)遞減，

又f(3=也COSTI=-也，是最小值，

jr

所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

4.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸是x=^~,則函數(shù)g(x)=asinx+cosx的最大值是

()

A至R2^342^6

r\?3D?3?3\-J?3

5IT

分析選B.由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=g■對(duì)稱，

則f(0)=f段5,所以a=一坐-1,

y[3

所以a=一手，

V3

所以g(x)=—sinx+cosx

=^sin(x+用，

所以g(X)max=3.

二、填空題(每小題5分，共10分)

廿1+tana=2021，則士+tan2a=

5.

右"1i—Itana

11+sin2a

分析+tan2a=

cos2acos2a

sin2a+cos2(x+2sinacosa

cos2a—sin2a

tan2a+1+2tana(tana+1)21+tana

=iI2=i72-7=2021.

1—tana1-tana1—tana

答案：2021

6.北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖由四個(gè)全等直

角三角形與一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖所示）.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為

25,直角三角形中較小的銳角為仇貝ljcos20=

分析由題意5cos0—5sin。=1,J,

所以cos0—sin,

又(cos0+sin0)2+(cos0—sin0)2=2,

7

所以cos0+sin,

cC7

所以cos20=cos20—sin20=(cos0+sin0)(cos。-sin。)=芯.

、7

答案：25

三、解答題（每小題10分，共20分）

兀

cos0COS2

anai2anai2

7.形如的符號(hào)叫二階行列式，現(xiàn)規(guī)定a“a22—a21al2,如果f(0)=

H21322a2ia22.7兀

sin0sin三

y[2—2y[2

3,O<0<7i,求。的值.

1-2

—2y[2

分析因?yàn)開(kāi)3

1~23

所以f(9)=

jr

所以9=—.

8.已知函數(shù)f(x)=4coscox-sin(3x+J(3>0)的最小正周期為兀

⑴求3的值；

(2)討論f(x)在區(qū)間[0,或7T上的單調(diào)性.

分析(l)f(x)=4coscox-sin(3乂+習(xí)

=2"\[2sincox-coscox+2^/2COS2(DX=^/2(sin2cox+cos2(ox)+^/2

=2sin(23*+號(hào)+y[2.

因?yàn)閒(x)的最小正周期為71,且3>0,

2兀

從而有二=兀，故3=1.

⑵由⑴知,f(x)=2sin(2X+3+也,

若gx§,則22x+；爵,

當(dāng):<2x+1.,即0女蜷時(shí),f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)叁v2x+會(huì),，即1〈X場(chǎng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.

綜上可知，f(x)在區(qū)間0,0上單調(diào)遞增，在區(qū)間《，2上單調(diào)遞減.

能力過(guò)關(guān)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.已知不等式36si吟cos點(diǎn)+#cos2^—坐一mWO對(duì)于任意的xG一普，g恒成立，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是()

A.電,+oo)B.(-00,小)

C.(—8,一5]D.[-A/3，^3]

2

分析選A.f(x)=3陋sin/cos今+加cos^一坐-m=^sin|+^cos|-m

二#sin—m<0,

所以m>^6sin(^+工)-

“，71x,7171

所以一Wa+Z?

所以一審<\[6sin0+習(xí)S小，

所以m>^/3.

2.(多選題)已知cos仔+0)-cos仔一0)=?，吐序兀)，則()

A.sin20=3B.sin29=一；

C.sin0+cos0=D.sin0+cos

分析選BC.cos。+。).cos信一

=sin仔-e)cos仔-e)=2sin2。)

=3cos20=坐,

所以cos2。=坐.

因?yàn)槁?，?，所以2?！?芋，2兀)，

所以sin20=一；,且sin0+cos0<O.

所以(sin0+cos0)2=l+sin20=1—g=g.

歷

所以sin0+cose=-g.

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.如圖所示，有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個(gè)角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板

EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二，則應(yīng)按角度x=來(lái)截.

分析設(shè)正方形鋼板的邊長(zhǎng)為a,截后的正方形邊長(zhǎng)為b,則條=,，￡=爰，

又a=GC+CF=bsinx+bcosx,

所以sinx+cosx=^,

所以sin(x+習(xí)=坐.

因?yàn)镺VxV],所以HVx+^V乎,

、，?JC兀2兀JCw5兀

所以x+w=§■或W，X=~V2,

答案.—

口汆?12以4—12

4.已知A+B=,，那么COS2A+COS2B的最大值是,最小值

是.

2兀

分析因?yàn)锳+B=-,

所以COS2A+COS2B=2(1+cos2A+1+cos2B)=l+g(cos2A+cos2B)=1+

2兀1

cos(A+B)cos(A—B)=1+COS-^-COS(A—B)=l—2COS(A—B),所以當(dāng)

31

cos(A—B)=-1時(shí)，原式取得最大值,；當(dāng)cos(A—B)=l時(shí)，原式取得最小值].

,31

答'案?——

口木?22

三、解答題(每小題10分，共20分)

5.如圖，某工匠要將一塊圓心角為120。，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊面積最大的矩形，現(xiàn)有兩種

裁法：①讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(如圖①)，②讓矩形一邊與弦AB平行(如圖②)，請(qǐng)問(wèn)該工匠

應(yīng)采用哪種裁法？并求出這個(gè)面積的最大值.

分析在題圖①中，MN=20sin9,ON=20cos9,

所以Si=ONNM=400sinOcos0=200sin20,

2

所以當(dāng)sin20