2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)405803反比例函數(shù)（提高）知識(shí)講解

2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)反比例函數(shù)（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解反比例函數(shù)的概念和意義，能根據(jù)問(wèn)題的反比例關(guān)系確定函數(shù)解析式．2.能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，初步掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3.會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．4.會(huì)解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂反比例函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定義一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無(wú)交點(diǎn).（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.要點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與軸、軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸.要點(diǎn)詮釋：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個(gè)分支都無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號(hào)決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減小；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；要點(diǎn)詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號(hào)決定的；反過(guò)來(lái)，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號(hào).要點(diǎn)四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過(guò)雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過(guò)雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、反比例函數(shù)定義【高清課堂反比例函數(shù)例1】1、當(dāng)為何值時(shí)是反比例函數(shù)？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)反比例函數(shù)解析式，也可以寫成的形式，后一種表達(dá)方法中的次數(shù)為-1，由此可知函數(shù)是反比例函數(shù)，要具備的兩個(gè)條件為且，二者必須同時(shí)滿足，缺一不可．【答案與解析】解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．綜上，＝－1，即＝－1時(shí)，是反比例函數(shù)．【總結(jié)升華】反比例函數(shù)解析式的三種形式：①；②；③．類型二、確定反比例函數(shù)解析式【高清課堂反比例函數(shù)例2】2、正比例函數(shù)y=2x與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，m）．（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求反比例函數(shù)關(guān)系式．【答案與解析】解：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，則A（2，4）；（2）將A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，則反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=．【總結(jié)升華】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂反比例函數(shù)例3】【變式】已知，與成正比例，與成反比例，且當(dāng)＝1時(shí)，＝7；當(dāng)＝2時(shí)，＝8．(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)自變量的取值范圍；(3)當(dāng)＝4時(shí)，的值．【答案】解：(1)∵與成正比例，∴設(shè)．∵與成反比例，∴設(shè)．∴．把與分別代入上式，得∴所以與的函數(shù)解析式為．(2)自變量的取值范圍是≠0．(3)當(dāng)＝4時(shí)，．類型三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、（2016?寧夏）正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【思路點(diǎn)撥】由正、反比例函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，根據(jù)正、反比例的對(duì)稱性求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出不等式的解集．舉一反三：【變式】已知四個(gè)函數(shù)y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y隨x的增大而減小的有（）個(gè)．A.4B.3C.2D.1【答案】D；提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y隨x的增大而減小，正確；y=2x﹣1中k=2＞0，所以y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)，錯(cuò)誤；y=﹣是反比例函數(shù)，其增減性必須強(qiáng)調(diào)在雙曲線的每一支上，故錯(cuò)誤；y=是反比例函數(shù)，其增減性必須強(qiáng)調(diào)在雙曲線的每一支上，故錯(cuò)誤．故選D．類型四、反比例函數(shù)綜合4、如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于M(2，)，N(－1，－4)兩點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值的的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】(1)由點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，－4)，根據(jù)待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的關(guān)系式．從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．再根據(jù)M、N的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)結(jié)合圖象位置和兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到使反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的值的的取值范圍．【答案與解析】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．∵點(diǎn)M(2，)在雙曲線上，∴．∴點(diǎn)M(2，2)．設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．(2)由圖象可知，當(dāng)＜－1或0＜＜2時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．舉一反三：【變式】如圖所示，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(3，2)．（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）M()是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0＜＜3，過(guò)點(diǎn)M作直線MB∥軸，交軸于點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥軸交軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】解：（1）將A(3，2)分別代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，正比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）觀察圖象，在第一象限內(nèi)，當(dāng)0＜＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值．（3）BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2.如圖所示的圖象上的函數(shù)關(guān)系式只能是()．A.B.C.D.3.已知，點(diǎn)P()在反比例函數(shù)的圖像上，則直線不經(jīng)過(guò)的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是（）.A．<<B．<<C．<<D．<<5.（2015?歷下區(qū)模擬）如圖，直線x=t（t＞0）與反比例函數(shù)y=（x＞0）、y=（x＞0）的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，A為y軸上任意一點(diǎn)，△ABC的面積為3，則k的值為（） A.2 B.3C.4 D.56.（2016?本溪）如圖，點(diǎn)A、C為反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B、D，連接OA、AC、OC，線段OC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn)，當(dāng)△AEC的面積為時(shí)，k的值為（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6二.填空題7.如圖所示是三個(gè)反比例函數(shù)、、的圖象，由此觀察得到、、的大小關(guān)系是____________________（用“＜”連接）.8.如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B與點(diǎn)D在反比例函數(shù)（＞0）的圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．9.已知y1與x成正比例（比例系數(shù)為k1），y2與x成反比例（比例系數(shù)為k2），若函數(shù)y=y1+y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），（2，），則8k1+5k2的值為．10.已知A（），B（）都在圖象上．若，則的值為_________．11.如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（＞0）的圖象交于點(diǎn)A，若取1，2，3…20，對(duì)應(yīng)的Rt△AOB的面積分別為，則＝________.12.如圖所示，點(diǎn)，，在x軸上，且，分別過(guò)點(diǎn)，，作軸的平行線，與反比例函數(shù)＝（＞0）的圖象分別交于點(diǎn)，，,分別過(guò)點(diǎn)，，作軸的平行線，分別于軸交于點(diǎn)，，,連接，，,那么圖中陰影部分的面積之和為____________.三.解答題13.（2016?泉州）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，﹣3）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）若將點(diǎn)P沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸方向平移n（n＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)P′，使點(diǎn)P′恰好在該函數(shù)的圖象上，求n的值和點(diǎn)P沿y軸平移的方向．14.如圖所示，已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M(，)(在A點(diǎn)左側(cè))是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作BD∥軸交于x軸于點(diǎn)D．過(guò)N(0，－)作NC∥軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．(1)若點(diǎn)D坐標(biāo)是(－8，0)，求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及的值．(2)若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．15.（2015春?耒陽(yáng)市校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積，（3）求方程kx+b﹣=0的解（請(qǐng)直接寫出答案）；（4）求不等式kx+b﹣＞0的解集（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】由題意畫出圖象，只能在一、三象限，故.2.【答案】D；【解析】畫出的圖象，再把軸下方的圖象翻折上去.3.【答案】C；【解析】由題意，故＞0，直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限.4.【答案】D；【解析】，故圖象在二、四象限，畫出圖象，比較大小得D答案.5.【答案】D；【解析】解：由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)（t，﹣），點(diǎn)B的坐標(biāo)（t，），BC=+，則（+）×t=3，解得k=5，故選：D．6.【答案】C．【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)E（m，），A（m，），∵S△AEC=BD?AE=（m﹣m）?（﹣）=﹣k=，∴k=﹣4．二.填空題7.【答案】；8.【答案】（3，6）；【解析】由題意B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），因?yàn)锳BCD是矩形，故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）.9.【答案】9；【解析】設(shè)y1=k1x，y2=，則y=y1+y2=k1x+，將（1，2）、（2，）代入得：，解得：∴8k1+5k2==9．故答案為9．10.【答案】－12；【解析】由題意所以，因?yàn)?，所以＝?2.11.【答案】105；【解析】△AOB的面積始終為，故＝.12.【答案】；【解析】（）第一個(gè)陰影部分面積等于4；（），用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），第二個(gè)陰影面積為＝1；（），求出直線的解析式，再求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），第三個(gè)陰影部分面積為，所以陰影部分面積之和為.三.解答題13.【解析】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，﹣3），∴k=2×（﹣3）=﹣6，∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣；（2）∵點(diǎn)P沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，∴點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)為2﹣3=﹣1，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣=6，∴∴n=6﹣（﹣3）=9，∴沿著y軸平移的方向?yàn)檎较颍?4.【解析】解：(1)∵D(－8，0)，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－8，代入中，得＝－2．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(－8，－2)．而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A(8，2)．從而＝8×2＝16．(2)∵N(0，－)，B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，∴，，C(－2，－)，E(－，－)．，，，∴．∴＝4．由直線及雙曲線，得A(4，1)，B(－4，－1)，∴C(－4，－2)，M(2，2)．設(shè)直線CM的解析式是，由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，得解得．∴直線CM的解析式是．15.【解析】解：（1）∵B（3，﹣8）在反比例函數(shù)圖象上，∴﹣8=，m=﹣24，反比例函數(shù)的解析式為y=﹣，把A（﹣8，n）代入y=﹣，n=3，設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，，解得，，一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣5．（2）﹣x﹣5=0，x=﹣5，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，0），△AOB的面積=△AOC的面積+△BOC的面積=×5×3+×5×8=．（3）點(diǎn)A（﹣8，3），B（3，﹣8）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，方程kx+b﹣=0的解是：x1=﹣8，x2=3，（4）由圖象可知，當(dāng)x＜﹣8或0＜x＜3時(shí)，kx+b＞，∴不等式kx+b﹣＞0的解集為：x＜﹣8或0＜x＜3．反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；2．能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；3．能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】【高清課堂406878反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的概念一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：在中，自變量的取值范圍是，()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.要點(diǎn)二、反比例函數(shù)解析式的確定反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．要點(diǎn)詮釋：觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．①的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；②的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.2.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）位置，一、三象限；

，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增減性，隨的增大而增大

，隨的增大而減小，在每個(gè)象限，隨的增大而減小

，在每個(gè)象限，隨的增大而增大（4）反比例函數(shù)y＝中的意義①過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.②過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題須注意以下幾點(diǎn)

1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.【典型例題】類型一、確定反比例函數(shù)的解析式 1、已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值為.【答案】【解析】根據(jù)反比例函數(shù)概念，＝且，可確定的值.【總結(jié)升華】反比例函數(shù)要滿足以下兩點(diǎn)：一個(gè)是自變量的次數(shù)是－1，另一個(gè)是自變量的系數(shù)不等于0.舉一反三：【變式】反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），則的值是（）.A. B. C.0 D.1【答案】D；反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)（2，3）．．類型二、反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)2、已知，反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)分支中隨的增大而減小，試求的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】由反比例函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)＞0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小，由此可求出的取值范圍，進(jìn)一步可求出的取值范圍．【答案與解析】解：由題意得：，解得，所以，則＜3．【總結(jié)升華】熟記并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知反比例函數(shù)，其圖象位于第一、第三象限內(nèi)，則的值可為________（寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）．【答案】3（滿足＞2即可）.3、在函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)(－3，)、(－2，)、(4，)，則函數(shù)值的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】∵||＞0，∴－||＜0，∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，且在每一個(gè)象限里，隨增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴它們的大小關(guān)系是：．【總結(jié)升華】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小時(shí)，要注意相應(yīng)點(diǎn)所在的象限，不能一概而論，本題的點(diǎn)(－3，)、(－2，)在雙曲線的第二象限的分支上，因?yàn)椋?＜－2，所以，點(diǎn)(4，)在第四象限，其函數(shù)值小于其他兩個(gè)函數(shù)值．舉一反三：【變式1】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=和y=kx+3（k≠0）的圖象大致是（）.A.B.C.D.【答案】C；提示：分兩種情況討論：①當(dāng)k＞0時(shí)，y=kx+3與y軸的交點(diǎn)在正半軸，過(guò)一、二、三象限，y=的圖象在第一、三象限；②當(dāng)k＜0時(shí)，y=kx+3與y軸的交點(diǎn)在正半軸，過(guò)一、二、四象限，y=的圖象在第二、四象限．故選C．【高清課堂406878反比例函數(shù)全章復(fù)習(xí)例7】【變式2】已知,且則函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象不可能是().【答案】B；提示：因?yàn)閺腂的圖像上分析，對(duì)于直線來(lái)說(shuō)是，則，對(duì)于反比例函數(shù)來(lái)說(shuō)，，所以相互之間是矛盾的，不可能存在這樣的圖形.4、（2016?齊齊哈爾）如圖，已知點(diǎn)P（6，3），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，反比例函數(shù)y=的圖象交PM于點(diǎn)A，交PN于點(diǎn)B．若四邊形OAPB的面積為12，則k=．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)P（6，3），可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，代入函數(shù)解析式分別求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形OAPB的面積為12，列出方程求出k的值．【答案】6．【解析】解：∵點(diǎn)P（6，3），∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，代入反比例函數(shù)y=得，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，即AM=，NB=，∵S四邊形OAPB=12，即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，6×3﹣×6×﹣×3×=12，解得：k=6．故答案為：6．【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)A、B的縱橫坐標(biāo)，代入解析式表示出其坐標(biāo)，然后根據(jù)面積公式求解．舉一反三：【變式】如圖，過(guò)反比例函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B，分別作軸的垂線，垂足為，連接OA，OB，與OB的交點(diǎn)為P，記△AOP與梯形的面積分別為，試比較的大小.【答案】解：∵，且，∴.類型三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合5、已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，4)，且一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，分別確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)辄c(diǎn)(－3，4)是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式．欲求一次函數(shù)的表達(dá)式，有兩個(gè)待定未知數(shù)，已知一個(gè)點(diǎn)(－3，4)，只需再求一個(gè)一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)即可．由已知一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是5，則這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)或(5，0)，分類討論即可求得一次函數(shù)的解析式．【答案與解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，4)，所以，所以＝－12．所以反比例函數(shù)的表達(dá)式是．由題意可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)或(－5，0)，則分兩種情況討論：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，4)和(5，0)時(shí)，有解得所以．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，4)和(－5，0)時(shí)，有解得所以．所以所求反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為或．【總結(jié)升華】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解答本題時(shí)要注意分兩種情況討論，不能漏解．舉一反三：【變式】如圖所示，A、B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）求的值及直線AB的解析式；（2）如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】解：（1）由圖象可知，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，6)，可得＝6．設(shè)直線AB的解析式為．∵A(1，6)，B(6，1)兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴解得∴直線AB的解析式為．（2）題圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3．類型四、反比例函數(shù)應(yīng)用6、（2015?興化市三模）一輛客車從甲地出發(fā)前往乙地，平均速度v（千米/小時(shí)）與所用時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中60≤v≤120．（1）直接寫出v與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）若一輛貨車同時(shí)從乙地出發(fā)前往甲地，客車比貨車平均每小時(shí)多行駛20千米，3小時(shí)后兩車相遇．①求兩車的平均速度；②甲、乙兩地間有兩個(gè)加油站A、B，它們相距200千米，當(dāng)客車進(jìn)入B加油站時(shí)，貨車恰好進(jìn)入A加油站（兩車加油的時(shí)間忽略不計(jì)），求甲地與B加油站的距離．【答案與解析】解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v與t的函數(shù)關(guān)系式為v=（5≤t≤10）；（2）①依題意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，經(jīng)檢驗(yàn)，v=110符合題意．當(dāng)v=110時(shí)，v﹣20=90．答：客車和貨車的平均速度分別為110千米/小時(shí)和90千米/小時(shí)；②當(dāng)A加油站在甲地和B加油站之間時(shí)，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此時(shí)110t=110×4=440；當(dāng)B加油站在甲地和A加油站之間時(shí)，110t+200+90t=600，解得t=2，此時(shí)110t=110×2=220．答：甲地與B加油站的距離為220或440千米．【總結(jié)升華】解決反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的問(wèn)題，要理解問(wèn)題的實(shí)際意義及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).反比例函數(shù)是解決現(xiàn)實(shí)世界反比例關(guān)系的有力工具.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.若一個(gè)正比例函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3），則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）2.函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）3.（2016?蘭州）反比例函數(shù)是y=的圖象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限4.數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是（）A．±1B．1C．D．－15.如圖所示，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，的值為（）．A．1B．2C．3D．46.點(diǎn)(－1，)，(2，)，(3，)在反比例函數(shù)的圖象上．下列結(jié)論中正確的是（）．A．B．C．D．7.已知、、是反比例函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，且，則、、的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．8.如圖所示，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為2．若將點(diǎn)P先向右平移兩個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位后所得的像為點(diǎn)，則在第一象限內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)圖象的解析式是（）．A．B．C．D．二.填空題9.（2016?徐州）若反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（3，﹣2），則其函數(shù)表達(dá)式為．10.若函數(shù)y=的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍___________.11.反比例函數(shù)的圖象叫做__________.當(dāng)時(shí)，圖象分居第__________象限，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而_______；當(dāng)時(shí)，圖象分居第________象限，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而__________.12.若點(diǎn)A(，－2)在反比例函數(shù)的圖像上，則當(dāng)函數(shù)值≥－2時(shí)，自變量的取值范圍是___________.13.若變量與成反比例，且時(shí)，，則與之間的函數(shù)關(guān)系式是________，在每個(gè)象限內(nèi)函數(shù)值隨的增大而_________.14.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式是__________.15．如圖，面積為3的矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，另三點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則.16.在一個(gè)可以改變?nèi)莘e的密閉容器內(nèi)，裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當(dāng)改變?nèi)莘eV時(shí)，氣體的密度ρ也隨之改變．在一定范圍內(nèi)，密度ρ是容積V的反比例函數(shù)．當(dāng)容積為5時(shí)，密度是1.4，則ρ與V的函數(shù)關(guān)系式為_______________．三.解答題17.一輛汽車勻速通過(guò)某段公路，所需時(shí)間t()與行駛速度v()滿足函數(shù)關(guān)系：，其圖象為如圖所示的一段曲線且端點(diǎn)為A(40，1)和B(，0.5)．（1）求和的值；（2）若行駛速度不得超過(guò)60，則汽車通過(guò)該路段最少需要多少時(shí)間？18.在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)P（Pa）是它的受力面積S（）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．(1)求P與S之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)S＝0.5時(shí)物體承受的壓強(qiáng)P．19.（2015?淄博模擬）如圖，直線y=x與雙曲線y=（x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y=x向下平移個(gè)6單位后，與雙曲線y=（x＞0）交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo).（2）若=2，則k的值為？20.如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(4，)和B(－8，－2)，與軸交于點(diǎn)C．(1)________，________；(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________