2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)-知識(shí)講解

2024年初二下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)--知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)的概念將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn).定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.要點(diǎn)詮釋：旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小.要點(diǎn)二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中：(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.要點(diǎn)詮釋：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

要點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)的作圖在畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．要點(diǎn)詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；

(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)1.（2016春?內(nèi)江期末）如圖所示，△ABC直角三角形，延長(zhǎng)AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，連接DE．△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，那么：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)角是多少度？（2）AC與DE的關(guān)系怎樣？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由條件易得BC和BD，BA和BE為對(duì)應(yīng)邊，而△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，于是可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE等于旋轉(zhuǎn)角，從而得到旋轉(zhuǎn)角度；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷AC=DE，AC⊥DE．【答案與解析】解：（1）∵BC=BD，BA=BE，∴BC和BD，BA和BE為對(duì)應(yīng)邊，∵△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，∴旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)B；∵∠ABC=90°，而△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，∴∠ABE等于旋轉(zhuǎn)角，∴旋轉(zhuǎn)角是90度；（2）AC=DE，AC⊥DE．理由如下：∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后能與△EBD重合，∴DE=AC，DE與AC成90°的角，即AC⊥DE．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．舉一反三【變式】如圖所示：O為正三角形ABC的中心．你能用旋轉(zhuǎn)的方法將△ABC分成面積相等的三部分嗎？如果能，設(shè)計(jì)出分割方案，并畫(huà)出示意圖．【答案】下面給出幾種解法：

解法一：連接OA、OB、OC即可．如圖甲所示；

解法二：在AB邊上任取一點(diǎn)D，將D分別繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°和240°得到D1、D2，連接OD、OD1、OD2即得，如圖乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲線連結(jié)OD、OD1、OD2即得如圖丙所示2.如圖，將圖(1)中的正方形圖案繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖案是()

【答案】C.【解析】抓住圖形特征，觀察圖中的每個(gè)小的圖形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能否與自身重合.【總結(jié)升華】在解題的過(guò)程中，可看出如果選取的基本圖形不同，可得到不同的形成過(guò)程，甚至所選取的基本圖形相同，也有不同的形成過(guò)程，因此分析圖案的形成過(guò)程旨在了解圖形的變化規(guī)律，而不必強(qiáng)求分析的一致性．類型二、旋轉(zhuǎn)的作圖3.我們學(xué)習(xí)過(guò)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿著某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心．

（1）如圖①，△ABC≌△DEF．△DEF能否由△ABC通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（2）如圖②，△ABC≌△MNK．△MNK能否由△ABC通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（保留必要的作圖痕跡）

【答案與解析】解：（1）能．點(diǎn)O1就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心；

（2）能．點(diǎn)O2就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心．【總結(jié)升華】考查了旋轉(zhuǎn)變換的作圖．關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的所連線段相等的性質(zhì)，故作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線．4.（2015?南寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△A2BC2，并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積（結(jié)果保留π）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為扇形BCC2的面積，即圓的面積，求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖所示，畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）如圖所示，畫(huà)出△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，由勾股定理得，BC=，線段BC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)得面積S=π=．【總結(jié)升華】此題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)稱軸變換，以及扇形面積，作出正確的圖形是解本題的關(guān)鍵．舉一反三【高清課堂：高清ID號(hào)：388634關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題5-6】【變式1】如圖，畫(huà)出繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得到的圖形．【答案】(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)【變式2】閱讀材料：如圖（一），在已建立直角坐標(biāo)系的方格紙中，圖形①的頂點(diǎn)為A、B、C，要將它變換到圖④（變換過(guò)程中圖形的頂點(diǎn)必須在格點(diǎn)上，且不能超出方格紙的邊界）．例如：將圖形①作如下變換（如圖二）．第一步：平移，使點(diǎn)C（6，6）移至點(diǎn)（4，3），得圖②；第二步：旋轉(zhuǎn)，繞著點(diǎn)（4，3）旋轉(zhuǎn)180°，得圖③；第三步：平移，使點(diǎn)（4，3）移至點(diǎn)O（0，0），得圖④．則圖形①被變換到了圖④．解決問(wèn)題：（1）在上述變化過(guò)程中A點(diǎn)的坐標(biāo)依次為：（4，6）→（，）→（，）→（，）（2）如圖（三），仿照例題格式，在直角坐標(biāo)系的方格紙中將△DEF經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換得到△OPQ．（寫出變換步驟，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形）【答案】解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），（2）第一步：翻折，沿DE所在直線翻折180°，得圖2；第二步：旋轉(zhuǎn)，繞著點(diǎn)（5，4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得圖3；第三步：平移，使點(diǎn)（3，4）移至點(diǎn)O（0，0），得圖4．圖形的旋轉(zhuǎn)--鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.下圖中，不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是()．2.下列圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，不能與原來(lái)圖形重合的是().

3.有下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()．①圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，位置保持不變的點(diǎn)只有旋轉(zhuǎn)中心；②圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；③圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；④圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4.如圖，4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是()．A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D5．如圖，△ADE繞點(diǎn)D的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()．A．DE平分∠ADBB．AD＝DCC．AE∥BDD．AE＝BC6.（2015?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且點(diǎn)B剛好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，則∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°二.填空題7.（2016?白銀二模）如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，則∠α的度數(shù)是．8.針表的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘，則經(jīng)過(guò)15分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了__________度.9．正三角形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)__________ 度，可與其自身重合.10.（2015?福州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長(zhǎng)是．11.（2015?吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F，則△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和為cm．12.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為_(kāi)____，∠APB=_______°．

三．綜合題13.如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在點(diǎn)處，并將紙板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其半徑分別交、于點(diǎn)，求證：正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值14.（2016春?平南縣期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn)三角形ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．（1）在圖中作出三角形ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形A1B1C1；（2）作出三角形ABC的格點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的三角形A2B2C2．15.（2015?黃岡中學(xué)自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，連接A′A，當(dāng)點(diǎn)A落在A′C上時(shí)，此題可解（如圖2）．請(qǐng)你回答：AP的最大值是．參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是．（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B.2．【答案】B.3．【答案】D.4．【答案】B；【解析】連接對(duì)應(yīng)點(diǎn),做三條線段的垂直平分線，交點(diǎn)即是旋轉(zhuǎn)中心.5．【答案】C；【解析】因?yàn)樾D(zhuǎn)，△ADE≌△CDB,即可證得A,B,D成立.6．【答案】C;【解析】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故選：C．二、填空題7.【答案】50°；【解析】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，而∠B=100°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，∴∠α=80°﹣30°=50°．故答案為：50°．8.【答案】90°.【解析】°.9.【答案】120°.10.【答案】1+；11.【答案】42；【解析】解：∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案為：42．12.【答案】6；150°；【解析】△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到所以,,

即∠=60°，=AP=AP′=6，所以∠=60°又因?yàn)?6，=8，=10所以△是直角三角形，即∠=90°所以∠APB=150°.三．解答題13.【解析】解：因?yàn)椤螦OD=∠MON=90°，即∠1+∠3=∠2+∠3所以∠1=∠2又因?yàn)檎叫蜛BCD,所以O(shè)A=OD,∠BA0=∠ODA所以△OAM≌△ODN,即AM=DN所以AM+AN=AN+DN=AD=14.【解析】解：（1）分別找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)A1、B1、C1，順次連接三點(diǎn)即可得出三角形A1B1C1，如圖1所示．（2）連接AP、BP、CP，以點(diǎn)P為中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，得到點(diǎn)A2、B2、C2，順次連接三點(diǎn)即可得出三角形A2B2C2，如圖2所示．15.【解析】解：（1）如圖2，∵△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等邊三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，則當(dāng)點(diǎn)A′A、C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如圖3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B．則A′B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P′B+PC．∵當(dāng)A′、P′、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P′A+P′B+PC）最短，即線段A′C最短，∴A′C=PA+PB+PC，∴A′C長(zhǎng)度即為所求．過(guò)A′作A′D⊥CB延長(zhǎng)線于D．∵∠A′BA=60°（由旋轉(zhuǎn)可知），∴∠1=30°．∵A′B=4，∴A′D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A′DC中A′C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化簡(jiǎn)為）．故答案是：2+2（或不化簡(jiǎn)為）．正方形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.要點(diǎn)三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì) 1、（2015?揚(yáng)州校級(jí)一模）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上．下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤．【答案】C．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①說(shuō)法正確；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②說(shuō)法正確；如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③說(shuō)法錯(cuò)誤；∵EF=2，∴CE=CF=，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，則a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④說(shuō)法正確，∴正確的有①②④．故選C．【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩．舉一反三：【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE＝CF，連接DE，BF．求證：DE＝BF．【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE．【變式2】（2015?咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）A．75°B．60°C．55°D．45°【答案】B；提示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故選：B．2、（2016?貴陽(yáng)）如圖，點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．（1）求證：△ABF≌△CBE；（2）判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABF≌△CBE；（2）根據(jù)△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠AFB=135°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠CEB=∠AFB=135°，通過(guò)角的計(jì)算即可得出∠CEF=90°，從而得出△CEF是直角三角形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)．全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)判定定理SAS證明△ABF≌△CBE；（2）通過(guò)角的計(jì)算得出∠CEF=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊，再通過(guò)角的計(jì)算找出相等的角，以此來(lái)證明兩三角形全等是關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，AB＝2BC，分別以AB，BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN，EC．求證：FN＝EC．【答案】證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝∴BN＝，即N為BE的中點(diǎn)，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．類型二、正方形的判定 3、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，且DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，那么四邊形CEDF是正方形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案與解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于點(diǎn)G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴DF＝DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CEDF是矩形．∵DF＝DE．∴四邊形CEDF是正方形．【總結(jié)升華】(1)本題運(yùn)用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來(lái)判定正方形．(2)證明正方形的方法還可以直接通過(guò)證四條邊相等加一個(gè)直角或四個(gè)角都是直角來(lái)證明正方形．舉一反三：【變式】如圖，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形CDOF是矩形；（2）當(dāng)∠AOC多少度時(shí)，四邊形CDOF是正方形？并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四邊形CDOF是矩形；（2）當(dāng)∠AOC＝90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形；因此，當(dāng)∠AOC＝90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形．類型三、正方形綜合應(yīng)用4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為(為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)(軸的正半軸、軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O)，頂點(diǎn)C、D都在第一象限．(1)當(dāng)∠BAO＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求證：無(wú)論點(diǎn)A在軸正半軸上、點(diǎn)B在軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；【答案與解析】解：(1)當(dāng)∠BAO＝45°時(shí)，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝AB＝，在Rt△APB中，PA＝AB＝．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．(2)如圖過(guò)點(diǎn)P分別作軸、軸的垂線垂足分別為M、N，則有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM＝PN，又∵PN⊥ON，PM⊥OM于是，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.正方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸共有（）A．1條B．2條C．3條D．4條2.（2015?漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積為()．A.6B.8C.16D.不能確定4.在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．4個(gè)D．無(wú)窮多個(gè)5.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使ME＝MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為（）A．B.C.D.6.（2016?揚(yáng)州二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5二.填空題7．若正方形的邊長(zhǎng)為，則其對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_____，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD的對(duì)角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于______．8.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是_________.9.如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是1，則它移動(dòng)的距離等于____.10.（2016春?陽(yáng)泉期中）李燕在商場(chǎng)里看到一條很漂亮的絲巾，非常想買．但她拿起來(lái)看時(shí)感覺(jué)絲巾不太方．商店老板看她猶豫不決的樣子，馬上過(guò)來(lái)拉起一組對(duì)角，讓李燕看另一組對(duì)角是否對(duì)齊（如圖所示）．李燕還有些疑惑，老板又拉起另一組對(duì)角讓李燕檢驗(yàn)．李燕終于買下這塊紗巾．你認(rèn)為李燕買的這塊紗巾是正方形的嗎？（填是或否）．11.如圖．邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是______．12.（2015?長(zhǎng)春）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上．若△ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長(zhǎng)為．三.解答題13．已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度數(shù)．14．（2015?鐵力市二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E；PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個(gè)？．15．如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的長(zhǎng)．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】正方形的對(duì)稱軸是兩對(duì)角線所在的直線，兩對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線，對(duì)稱軸共4條．2.【答案】D；【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等；故選：D．3．【答案】B；【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4.【答案】D；【解析】在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，