醫(yī)科高等數學 第四節(jié) 定積分的應用

一、微元法二、平面圖形的面積三、旋轉體的體積四、定積分在醫(yī)學上的應用第四節(jié)

定積分的應用1Ox

yy=f(x)

ab回憶:曲邊梯形面積的求法一、微元法(1)分割(2)近似(3)求和(4)求極限2分析:面積元素Ox

yy=f(x)

ab3一般的解決實際問題的一般步驟：(1)

確定所求量和自變量,以及的變化范圍;(2)任取,給一個增量,則區(qū)間可視為上的任一小區(qū)間,且將該區(qū)間上的局部量記為,并求出的近似值.其中為區(qū)間上的連續(xù)函數.稱為所求量的微元,記為(3)將的微元從無限累加到,便得到所求的量,即以上用定積分解決實際問題的方法稱為微元法.4二、平面圖形的面積1.由曲線與直線、、軸所圍成的圖形的面積.由定積分的幾何意義可知,所求圖形的面積

例3-55求拋物線與直線、所圍成的平面圖形的面積.解：先畫出草圖，定出所求的平面圖形.在區(qū)間上,;在區(qū)間上,5所求面積為6

2.由曲線、與直線、

所圍成的圖形的面積.7

例3-56求由拋物線和所圍成的圖形的面積.解:解方程組得兩曲線的交點、所求面積為83.由曲線與直線、、軸所圍成的圖形的面積.

4.由曲線、與直線、

所圍成的圖形的面積.9解:解方程組得兩曲線的交點

例3-57求由曲線和直線所圍成的圖形的面積.

、選為積分變量解法一:1011選為積分變量解法二:12

旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺三、旋轉體的體積13旋轉體的體積為

下面用微元法來求由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而形成的旋轉體體積.

任取,給一個增量,得一微小小區(qū)間,它所對應的小旋轉體體積可近似看作是以為底半徑、以為高的圓柱體體積.即xyo14

同理,由連續(xù)曲線與直線、及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉一周而形成的旋轉體體積.15

例3-58求由橢圓繞軸旋轉而成的橢球體的體積.解：將橢圓方程化為由公式得出所求的體積為b-ba-aOx

y16

例3-59求由曲線與直線、圍成的圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積.解：由公式得出所求的體積為17

例3-60求由曲線、與直線、圍成的圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積.

解：所求的旋轉體體積等于曲邊梯形OACD

、曲邊三角形OAB分別繞軸旋轉而成的旋轉體體積之差.所求的體積18四、定積分在醫(yī)學上的應用例3-61

血藥濃度時間曲線下的面積

假設口服一定劑量的某種藥物之后,血藥濃度與時間的關系為試求總面積AUC.解:19例3-62藥物有效度測定

藥物從病人的以尿液中排出,一種典型的排泄速率函數為,其中為消除速率常數.求排出藥物的總量.解:在時間間隔[0,T]內,排出藥物的總量20所以,藥物排出的總量21例3-63血液中胰島素的平均濃度的測定

由實驗測定患者的胰島素濃度，先讓病人禁食，以降低體內血糖水平，然后通過注射給病人大量的糖。假定由實驗測得患者的血液中的胰島素的濃度C(t)(單位/ml)為

其中,時間t的單位是分鐘.求1小時內,該患者體內胰島素的平均濃度C(t).22解：由積分中值定理可知:23例3-64單位時間內血管穩(wěn)定流動時血流量取血管的一個橫截面來討論單位時間內的血流量Q.

設有一段長為L,截面半徑為R的血管,其左端動脈端的血壓為,右端相對靜脈的血壓為,血液黏滯系數為.假設血管中的血液流動是穩(wěn)定的,由實驗可知,在血管的橫截面上離血管中心處的血液流速為L24rr+dr

解:血液量等于血流流速截面積的,由于血液流速隨流層而變化,故在橫截面上任取一個內半徑為,外半徑為的小圓環(huán).

在該小圓環(huán)上血液流速可近似認為是相等的,所以單位時間內通過該小圓環(huán)的血流量即小圓環(huán)面積25于是因此,單位時間內血管穩(wěn)定流動的血流量為26例3-65實驗研究發(fā)現,某重金屬毒物(如鎘、汞、鉛等)在t時刻在體內的殘留量

其中為開始時體內最初數量(濃度),即每日吸收量;為該物質由體內排出體外的速率常數(排泄率).且已知為該毒物由體內排出一半的時間,即生物半衰期.求體內重金屬最大的蓄積量.解:先求出時間段內,體內重金屬的蓄積量.27體內重金屬最大的蓄積量將,代入上式,故最大的的蓄積量=1.44每是吸收量生物半衰期.28例3-66染料稀釋法確定心輸出量

心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量,在生理學實驗中常用染料稀釋法來測定.把一定量的染料注入靜脈,染料將隨血液循環(huán)通過心臟到達肺部,再返回心臟而進入動脈系統(tǒng).

假定在時刻t=0時注入5mg的染料，自染料注入后便開始在外周動脈中連續(xù)30秒監(jiān)測血液中染料的濃度,它是時間的函數C(t):29

注入染料的量M與在30秒之內