高等數(shù)學(xué)基本知識點(diǎn)及例題(第2學(xué)期)

高等數(shù)學(xué)基本知識點(diǎn)及例題一、導(dǎo)數(shù)與積分公式表導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：重要定積分公式：第一單元空間解析幾何與向量代數(shù)1.空間直角坐標(biāo)系設(shè)和為空間兩點(diǎn),則兩點(diǎn)間的距離:.使的分點(diǎn)的坐標(biāo)為:.2.向量的模、方向余弦、單位向量向量的模:.向量的方向余弦:.與同方向的單位向量:.例1設(shè),,.這三個力作用于點(diǎn)，它們的合力為，求：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）的大小．（3）的方向余弦．解：（1）．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）．（3）3.數(shù)量積、向量積、混合積、向量的投影數(shù)量積:,是一個數(shù)量.向量積:表示以為鄰邊的平行四邊形面積.混合積:向量的投影:.兩向量之間的夾角:.例2設(shè)，求與均垂直的單位向量．解：，與均垂直的單位向量為．例3設(shè)向量,向量與均垂直，且在向量解：，，得，于是．例4設(shè)與垂直,與垂直,求與之間的夾角.解:由與垂直,有,即,又由與垂直,有,即.兩式聯(lián)立,可得,從而,所以,即.4.平面方程截距式方程：例5求過點(diǎn)且平行于向量的平面方程.解:取平面的法向量,又平面過點(diǎn),故所求平面方程為,即.例6求過直線：且與平面：成角的平面方程．解：過的平面束方程為即：其法向量，又，．所求平面為：．5.空間直線方程對稱式：，參數(shù)式：一般式:例7求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程.解:直線的方向向量為,由于與平行,可取直線的方向向量,又直線過點(diǎn),故所求直線的方程為.6.空間曲線的投影一般方程：消去得在三個坐標(biāo)面上的投影曲線（注：需聯(lián)立坐標(biāo)面方程，如）．例8求曲線在面上的投影曲線．解：消去得投影柱面方程：,故曲線在面上的投影曲線為:.例9．求上半錐面（）在三個坐標(biāo)面上的投影區(qū)域．解：投影區(qū)域分別為:面：；面：面：7.常見二次曲面方程球面：如;橢球面：;圓柱面：如；圓錐面：如；拋物面：如單葉雙曲面：（時為旋轉(zhuǎn)面）；雙葉雙曲面:（時為旋轉(zhuǎn)面）；雙曲拋物面：如例10面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐面的方程是．(C)(Ａ)(B)(C)(D).第二單元：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用多元函數(shù)連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系連續(xù)可微兩個偏導(dǎo)數(shù)存在例1函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在的（D）條件。(A)充分(B)必要(C)充要(D)既不充分也不必要2．求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)：(1)求具體函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例2設(shè)，求。解：，所以(2)求抽象函數(shù)的偏函數(shù)例3已知函數(shù),其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求解:例4已知函數(shù),求解:例5設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求.解:3．求函數(shù)的全微分：例6求函數(shù)當(dāng)時的全微分.解:因?yàn)?所以,例7求函數(shù)的全微分.解:因?yàn)?所以.隱函數(shù)求導(dǎo)例8已知確定,其中為可微分函數(shù),求.解:方程兩邊對求偏導(dǎo)(看成的函數(shù)),有,.同理,方程兩邊對求偏導(dǎo),有,所以.例9設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解:方程組兩邊對求偏導(dǎo)(看成的函數(shù)),有即解線性方程組得。方向?qū)?shù)(1)可微二元函數(shù)在點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，且例10求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：，曲線在一點(diǎn)的切線方向?yàn)?，所以曲線的內(nèi)法線方向?yàn)?，在曲線方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得，解得，所以曲線在點(diǎn)處的內(nèi)法線方向?yàn)椋瑑?nèi)法線方向的方向余弦為，故所求方向?qū)?shù)為(2)可微三元函數(shù)在點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，且例11求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。解：，從點(diǎn)到點(diǎn)的方向向量為，方向向量的方向余弦為，故所求方向?qū)?shù)為6．梯度：(1);。例12求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。解：，所以所求梯度為(2)函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大方向?qū)?shù)為梯度的模。例13在橢球面上求一點(diǎn)，使函數(shù)在該點(diǎn)處沿從點(diǎn)到方向的方向?qū)?shù)最大，并求出該最大方向?qū)?shù)。解：設(shè)為所求點(diǎn)，則，(*)由于函數(shù)在一點(diǎn)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，而，因此要求與同向，即存在，使，由此得，代入(*)式解得，因此所求點(diǎn)為，而函數(shù)在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)為梯度的模。7．空間曲線的切線和法平面(1)空間曲線在處的切線方程為：法平面方程為：例14求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.解:曲線在點(diǎn)處的切向量為,故所求切線與法平面方程分別為:.(2)空間曲線的切向量為：，或者例15求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解:設(shè),則,于是所求切線方程為,或即.8．曲面的切平面和法線(1)設(shè)為曲面上一點(diǎn)，則曲面在該點(diǎn)的法向量：切平面方程：法線方程：例16求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程.解:令,由于,故所求切平面方程為:或即;所求法線方程為:.例17求由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量.解:曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面方程為,曲面在給定點(diǎn)處指向外側(cè)的法向量為,因此所求單位法向量為:.(2)若曲面方程為，則曲面在點(diǎn)處的法向量.例18若可導(dǎo)且,試證曲面上任一點(diǎn)的法線都與軸相交.解:設(shè)是曲面上任一點(diǎn),過這點(diǎn)的法線為令可得,即法線與軸相交于.多元函數(shù)的極值及其求法：(1)設(shè)，，則極值類型極小極大無極值不確定例19設(shè)函數(shù)在處取極值，試求常數(shù)，并確定極值的類型。解：因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在，因此在處有，把代入上述方程組，解得。又因，于是，，所以函數(shù)在處取極小值。例20在以為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域上求一點(diǎn)，使它到三個頂點(diǎn)的距離平方和最大，并求最大值。解：此即要求函數(shù)在閉三角形區(qū)域上的最大值。由得，且。在上，在上的最大值為3；同理，在上的最大值亦為3。在上，，它在上的最大值為3，因此在閉三角形區(qū)域上的或處取得最大值(2)設(shè)函數(shù)在條件下的條件極值在處取到，且則有。例21在曲面上求一點(diǎn)，使它到平面的距離最近。解：曲面上點(diǎn)到已知平面的距離為，即由于取最小值與取最小值是等價的，因此作拉格朗日函數(shù)：，由，解得唯一解。由于所討論的問題存在最小值，因此所求點(diǎn)為。第三單元重積分1．二重積分大小比較若，則。例1：比較二重積分與的大?。海?）是頂點(diǎn)為的三角形區(qū)域；（2）是矩形區(qū)域：。解：（1）因?yàn)?，所以，所以。于是，故。?）因?yàn)?，所以，。所以，故?．二重積分的計算：（1）在直角坐標(biāo)系下：若區(qū)域則若區(qū)域則例2：計算，其中是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域。解：?；颉＠?：，其中是由直線所圍成的閉區(qū)域；解：（注意坐標(biāo)系與積分次序選擇）（2）在極坐標(biāo)系下：若區(qū)域則：例4：，其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解：。例5：，其中是由直線所圍成的閉區(qū)域；解：；或3．交換積分次序例6：交換下列累次積分次序：（1）；（2）。（3）二次積分的值等于（交換積分次序）。4.不同坐標(biāo)系下三重積分計算（1）在直角坐標(biāo)系下：先一后二：（有六種不同的積分次序）若，則：先二后一：若，為過且垂直于軸的平面與的截面在平面的投影，則：（當(dāng)，且的面積可用初等方法求出時，可考慮此方法）例7：計算，其中為平面所圍成的四面體。解：。例8：，其中為平面與曲面所圍成的閉區(qū)域。解：。（2）柱面坐標(biāo)系下：若，則：例9：，其中為由曲面與曲面所圍成的閉區(qū)域。解：。例10：，其中為由曲面與平面所圍成的閉區(qū)域。解：。（3）球面坐標(biāo)系下：若，則，例11：，其中為由球面所圍成的閉區(qū)域。解：。例12：，閉區(qū)域?yàn)橛刹坏仁剿_定；解：。例13：，其中為由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體。解一：曲面方程為：，設(shè)則：。解二：設(shè)，則：。解三：先二后一：。5．重積分的應(yīng)用（1）體積的計算表示由曲面，圍成的立體的體積，為圍成區(qū)域在xOy面的投影。當(dāng)一個曲面為坐標(biāo)面時，即為曲頂柱體體積。表示的體積，例14．求半徑為a的球面與半頂角為a的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解：在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?，則立體的體積為。（2）質(zhì)量面密度為平面薄片的質(zhì)量為；密度為空間物體的質(zhì)量為。例15：設(shè)球體內(nèi)任一點(diǎn)處的密度為，試示球體的質(zhì)量。解：。（3）質(zhì)心（重心）坐標(biāo)面密度為平面薄片的重心坐標(biāo)：均勻平面薄片的重心：將二重積分符號換成三重積分符號得到空間物體的重心坐標(biāo)。例16：求位于兩圓和之間均勻薄片的質(zhì)心。解：利用對稱性可知，；。（4）轉(zhuǎn)動慣量面密度為平面薄片對軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量：密度為空間物體對軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量：例17．求均勻球體對于過球心的一條軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：取球心為原點(diǎn)，軸為軸,所占域?yàn)?，則（）。例18：計算，其中；解：6．選擇題（1）設(shè)由圍成，是在第一象限的部分，則（2）設(shè)圍成，是在第一象限的部分，則下列不等式不成立的是（3）設(shè)，則下列不等式不成立的是（4）設(shè)，則第四單元曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分的計算方法平面曲線1.設(shè)曲線的方程，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則2.設(shè)曲線的方程，則3.設(shè)曲線的方程，則空間曲線設(shè)空間曲線的方程，則二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法平面曲線1.設(shè)曲線的方程對應(yīng)起點(diǎn)，對應(yīng)終點(diǎn)，則2.設(shè)曲線的方程且對應(yīng)起點(diǎn)，對應(yīng)終點(diǎn)，則空間曲線設(shè)空間曲線的方程，對應(yīng)起點(diǎn)，對應(yīng)終點(diǎn)，則三、兩類曲線積分之間的關(guān)系平面曲線其中為曲線上點(diǎn)處順著L方向的單位切向量.空間曲線其中為曲線上點(diǎn)處順著L方向的單位切向量.四、格林公式與斯托克斯公式格林公式其中為閉曲線所圍成的平面區(qū)域.斯托克斯公式其中的側(cè)與L的正向符合右手法則.積分與路徑無關(guān)的條件：空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件全微分的原函數(shù)：格林公式切向形式：設(shè)為曲線在處的單位切向量，則五、對面積曲面積分：計算求解步驟：1）（曲面表示），2）（計算dS）dS=3)(計算二重積分)六、對坐標(biāo)曲面積分：基本公式（上+,下-）（前+,后-）（右+,左-）七、兩類曲面積分之間的關(guān)系（可以把對坐標(biāo)的曲面積分化為對面積的曲面積分求解）八、高斯公式：散度：高斯公式的向量形式：注：當(dāng)曲面不是封閉時，通常要添加輔助面后再使用高斯公式。一、曲線積分典型例題1.計算，其中為直線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解：2.計算，其中為.解：.3.計算，其中拋物線且起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為.解：，則4.計算，其中為圓周按逆時針方向繞行.解：.注：此題由于在內(nèi)有奇點(diǎn)，故不能直接應(yīng)用格林公式；但應(yīng)用被積函數(shù)中的積分變量滿足積分曲線的方程可化簡被積函數(shù)，從而使它滿足了格林公式的條件.5.求，其中積分曲線，從點(diǎn)到.解：添加直線，從到，使曲線閉合，則，又，故.注：在計算對坐標(biāo)的曲線積分時，如直接計算較難，可通過添加輔助曲線段（通常是直線或圓弧等）使與原曲線圍成封閉曲線，然后利用格林公式（注意格林公式的兩個條件需滿足）.二、曲面積分典型例題例2.設(shè)取上側(cè)，計算解：例3.設(shè)在力