山西省臨汾市第一實驗中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

山西省臨汾市第一實驗中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”

的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：C2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為A. B. C. D.參考答案：C【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，利用等比數(shù)列的求和公式即可計算得解．【詳解】模擬程序的運行，可得該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，由于．故選：C．【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．

3.已知數(shù)列{an}滿足，數(shù)列的前n項和為Sn，則()A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由求出，得到，再求出，即可求出結果.【詳解】因為，所以，兩式作差，可得，即，又當時，，即滿足，因此；所以；因為數(shù)列的前項和為，所以，因此.故選B【點睛】本題主要考查數(shù)列的應用，根據(jù)遞推公式求通項公式，由裂項相消法求數(shù)列的和，屬于?？碱}型.4.

已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則等于(

)A．－

B．

C．

－

D．－或－參考答案：C5.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：直線與平面所成的角．專題：計算題．分析：以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用與平面AB1C1所的一個法向量的夾角，求出則BB1與平面AB1C1所成的角．解答： 解：以B為坐標原點，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標系，則A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．設平面AB1C1所的一個法向量為=（x，y，z）則即，取z=1，則得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1與平面AB1C1所成的角的正弦值為，∴BB1與平面AB1C1所成的角為故選A．點評：本題考查線面角的計算，利用了空間向量的方法．要注意相關點和向量坐標的準確性，及轉化時角的相等或互余關系．6.2015年高中生技能大賽中三所學校分別有3名、2名、1名學生獲獎，這6名學生要排成一排合影，則同校學生排在一起的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】把第一個及第二個學校的學生看做整體，求出同校學生排在一起的方法數(shù)，再求出三個學校的學生隨便排有多少種方法，由古典概型的概率計算公式得所求概率．【解答】解：由已知把第一個及第二個學校的學生看做整體得同校學生排在一起共種方法，而三個學校的學生隨便排有種方法，由古典概型的概率計算公式得所求概率：．故選：C．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．7.已知x，y滿足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A．4 B． C． D．參考答案：D【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結合目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關系，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大，由，解得即A（1，1），此時z=2×1+1=3，當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B時，直線的截距最小，此時z最小，由，解得，即B（a，a），此時z=2×a+a=3a，∵目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故選：D．8.點A，B，C，D在同一個球面上,，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積最大值為

A．

B．

C.

D．2參考答案：C9.設函數(shù)恒成立，則實數(shù)b的最大值為A．

B．

C．1

D．e參考答案：B【分析】的幾何意義是函數(shù)上的點到直線上的點的距離的平方【詳解】的幾何意義是函數(shù)上的點到直線上的點的距離的平方，當切點為時，切線的斜率為1，到直線的距離為，∴．故選：B

10.函數(shù)的零點個數(shù)為（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B由，得，令，在坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象可知交點為一個，即函數(shù)的零點個數(shù)為1個，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是

.參考答案：12.已知n=（2x+1）dx，數(shù)列{}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn的最小值為．參考答案：﹣25【考點】定積分；數(shù)列的求和．【分析】由題意，先由微積分基本定理求出an再根據(jù)通項的結構求出數(shù)列{}的前n項和為Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴數(shù)列{}的前n項和為Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等號當且僅當n+1=，即n=5時成立，故bnSn的最小值為﹣25．故答案為：﹣2513.如圖（1），在等腰直角△ABC中，斜邊AB＝4，D為AB的中點，將△ACD沿CD折疊得到如圖（2）所示的三棱錐C﹣A'BD，若三棱錐C﹣A'BD的外接球的半徑為，則∠A'DB=_________.圖（1）

圖（2）

參考答案：【分析】根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是，以及已有的邊的長度和角度關系，分析即可解決．【詳解】解：球是三棱錐C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各頂點的距離相等，如圖．根據(jù)題意，CD⊥平面A'BD，取CD的中點E，A'B的中點G，連接CG，DG，因為A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B關于平面CDG對稱，在平面CDG內(nèi)，作線段CD的垂直平分線，則球心O在線段CD的垂直平分線上，設為圖中的O點位置，過O作直線CD的平行線，交平面A'BD于點F，則OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因為A'F在平面A'BD內(nèi)，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF為直角三角形，且斜邊OA'＝R，∴A'F2，所以，BF＝2，所以四邊形A'DBF為菱形，又知OD＝R，三角形ODE為直角三角形，∴OE2，∴三角形A'DF為等邊三角形，∴∠A'DF，故∠A'DB，故填：．【點睛】本題考查了三棱錐的外接球的問題，找到球心的位置是解決本題的關鍵．屬于中檔題．14.設m為實數(shù)，若，則m的取值范

圍是

。參考答案：15.若單位向量滿足，則向量的夾角的余弦值為．參考答案：【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】設向量，的夾角為θ，根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：∵，∴，∵為單位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案為：．16.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是_________．參考答案：略17.已知一條拋物線的焦點是直線與x軸的交點，若拋物線與直線l交兩點A，B，且，則___________．參考答案：根據(jù)題意設拋物線方程為與直線方程聯(lián)立方程組，化簡整理得，，進一步整理，，另設，則有，則①，根據(jù)題意，直線l與x軸的焦點為，拋物線焦點為，即，，代入到①中，得，解得或（舍），即．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設.（1）當取到極值，求的值；（2）當滿足什么條件時，在區(qū)間上有單調(diào)遞增的區(qū)間.參考答案：解：（1）由題意知且，由當（2）要使即（i）當（ii）當，解得：（iii）當此時只要解得：，綜上得：略19.每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學生（學生很多）的讀書情況，隨機抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量（單位：本）進行了統(tǒng)計，分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖．男生年閱讀量的頻數(shù)分布表（年閱讀量均在區(qū)間內(nèi)）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）

頻數(shù)318422（Ⅰ）根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù)；（Ⅱ）若年不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關系，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為閱讀豐富與性別有關；性別閱讀量豐富不豐富合計男

女

合計

（Ⅲ）在樣本中，從年閱讀量在的學生中，隨機抽取2人參加全市的征文比賽，記這2人中男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.0250.0100.005k05.0246.6357.879參考答案：【考點】BO：獨立性檢驗的應用．【分析】（Ⅰ）求出前三組頻率之和，即可根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)得出2×2列聯(lián)表，求出K2，即可判斷是否有99%的把握認為月底豐富與性別有關；（Ⅲ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，求出相應的概率，即可求ξ的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）前三組頻率之和為：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位數(shù)位于第三組，設中位數(shù)為a，由題可知：，解得a=38．∴該校女生年閱讀量的中位數(shù)約為38．（Ⅱ）性別

閱讀量豐富不豐富合計男41620女91120合計132740≈2.849＜6.635，∴沒有99%的把握認為閱讀豐富與性別有關．（Ⅲ）年閱讀量在的學生中，男生2人，女生4人．由題意得ξ的可能取值為0，1，2.，，．所以的分布列為ξ012p．【點評】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計算，考查ξ的分布列和期望，考查獨立性檢驗知識的運用，屬于中檔題．20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=，an=﹣2Sn?Sn﹣1（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求Sn和an．參考答案：考點：數(shù)列遞推式；等差關系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式結合an=Sn﹣Sn﹣1可得，即可說明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）由數(shù)列{}是等差數(shù)列求其通項公式，進一步得到．然后由當n≥2時，求得數(shù)列的通項公式．解答： （Ⅰ）證明：當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1，①∴Sn（1+2Sn﹣1）=Sn﹣1，由上式知若Sn﹣1≠0，則Sn≠0．∵S1=a1≠0，由遞推關系知，∴由①式可得：當n≥2時，．∴{}是等差數(shù)列，其中首項為，公差為2；（Ⅱ）解：∵，∴．當n≥2時，，當n=1時，不適合上式，∴點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，是中檔題．21.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=3，若數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=lg，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由于a1=3，數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．可得Sn+1=4×4n﹣1，再利用當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得bn=lg=2n﹣7，由bn≤0，解得n即可得出．【解答】解：（1）∵a1=3，數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列．∴Sn+1=4×4n﹣1，∴．當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1﹣（4n﹣1﹣1）=3×4n﹣1．當n=1時，上式也成立．∴an=3?4n﹣1．（2）bn=lg==2n﹣7，由bn≤0，解得，∴當n=3時，數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最小值T3==﹣9．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列通項公式與前n項和的關系、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計