初中數(shù)學(xué)幾何最值問題資料

初中數(shù)學(xué)幾何最值問題（完整

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初中數(shù)學(xué)幾何最值問題面面觀

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變

動(dòng)時(shí)，求某幾何量(如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度

數(shù)以及它們的和與差)的最大值或最小值問題，稱為幾何最值

問題.近年來,各地中考題常通過幾何最值問題考查學(xué)生的實(shí)踐

操作能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力.本文針

對不同類型的幾何最值問題作一總結(jié)與分析，希望對大家有

所幫助.

最值問題的解決方法通常有如下兩大類：

一、應(yīng)用幾何性質(zhì)1.

三角形的三邊關(guān)系

例1如圖1,ZMON=90°/矩形NBC?的頂點(diǎn)力、B分別

在邊OMON上?當(dāng)分在邊QN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/隨之在邊0用上運(yùn)動(dòng),

矩形力BCD的形狀保持不變，其中力B=2,5C=1，運(yùn)動(dòng)過程中;

點(diǎn)D到點(diǎn)。的最大距離為()

(A)W+1(B)/(C)叵

5

(D)5

2

圖1

分析如圖1，取NB的中點(diǎn)E'連結(jié)OE,DE,C?

??OD<OE+DE/

當(dāng)ODE三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)。的距離最大，此時(shí),

AB=2,BC=1/

°E=AE=_AB=1-DE={4?+/E2=/2+12=&

Z

.QD的最大值為0+卜

故選A.

2.兩點(diǎn)間線段最短

例2如圖2,圓柱底面半徑為2cm，高為971cm，點(diǎn)小

分別是回柱兩底面圓周上的點(diǎn)，

且HB在同一母線上用一棉線從/順著圓柱側(cè)面繞3圈到B.

求棉線長度最短為

分析如圖3,將圓柱展刑g可見,棉線最短是三條斜線

的長度，第一條斜線與底面

回周長、圓柱的三分之一高組成直角三角形.

圖3

由周長公式知底面圓一周長為471cm,圓柱的三分之一高

為加cm,根據(jù)勾股定理，得一條斜線長為5兀cm,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)，棉線長度最短為%cm.

3.垂線段最短

例3如圖4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（］-1,0），點(diǎn)8在直線y=x運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)線段43最短時(shí)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（)

(A)(o,o)⑻（」」）(Q(72

222

(D)亙一好

'22

分析如圖4,過點(diǎn)人作AB'lOB,垂足為點(diǎn)*，過*作

B'C_Lx軸，垂足為0

由垂線段最短可知，當(dāng)夕與點(diǎn)8重合時(shí)，”最短?

???點(diǎn)8在直線y=X上運(yùn)動(dòng)，

???/。夕是等腰直角三角形

為等腰直角三角形

??.點(diǎn)力的坐標(biāo)為（T0），

111

/.OC=CB'=_OA=_x1=_，

222

的坐標(biāo)為

22

???當(dāng)線段/B最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1

故選B.

4.利用軸對稱

例4如圖5,正方形/BCD，4=4，石是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

P是對角線加上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為.

分析連結(jié)DE，父BD于點(diǎn)P，連結(jié)BD.

.?,點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于/C對和^/

???DE的長即為PE+PB的小值

..力B=4IE是BC的中點(diǎn)/

.-.CE=2

在Rt^CDE中

DE=JCD+CE2=742+22=2百

圖5

二、代數(shù)證法

1.利用配方法

例5如圖6是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶

的周長為8米，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好?

,則有

圖6

分析設(shè)x表示半圓半徑，）,表示矩形邊長AD

2x+2y+兀x=8，

于是，8--2x①

）2

若窗戶的最大面積為s,則

S=2X>+_TUX2②

2

把①代入②，有

1

5=2%?8一兀二2工+一兀尤2

22

1

=8%-11x2-2x2+-71x2

2

兀

=8x-（2+）*2

4+兀832

=--------（X---------）2+-------

24+714+71

<J2_-

-4+兀

上式中，只有一時(shí)，等號成立.

4+五

這時(shí)，由①有

v=（8—兀?一8——2?-8）x」=8=-，

4+7i4+K24

即當(dāng)窗戶周長一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗

戶面積最大.

2.利用一元二次方程根的判別式

例6已知：》>0,,>0且2_+2=1,求2x+y的最小值.

用牛2x+y=/，y=t-2x

代入：2=1,

xy

12

???_+=1'

xt-2x

去分母，整理，得2…+=。

?「x為實(shí)數(shù),

/.△=12-8r>0

.」28或fWO

,x>01y>0

/.r>8?

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型（模型即套路）

【應(yīng)用上面模型解決如下問題】

一、第?次月考

1.（?中）如用.在正方影八8CD中,￡為八。中點(diǎn),AH1BEf>.*?H.連接CH并延長交AZ）F

AF.CCF丈AO的延長或廣點(diǎn)P,若EFT.則Z）P的長為.

1}1

【提八】八字相1+射影定理

2.（三中）如圖.11：方形ABCD的邊長為3.球氏CB至小”,使8MT,連接M.過點(diǎn)8作5N_LAM.

ifi足為M0足對用線AC、BD的交連接ON.WJON的長為.

【存案】|>/5

"工條喜/聚瞽獅

【損八】心乂口"

“最值問題”集錦

?平面幾何中的最值問題............01

?幾何的定值與最值.................07

?最短路線問題.....................14

?對稱問題...........................18

?巧作“對稱點(diǎn)‘妙解最值題........22

?數(shù)學(xué)最值題的常用解法............26

?求最值問題.......................29

?有理數(shù)的一題多解.................34

?4道經(jīng)典題.......................37

?平面幾何中的最值問題

在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時(shí)

它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題.如果把最值問題和生活中

的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率.下面

介紹幾個(gè)簡例.

在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量

(如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題,

稱為最值問題。

最值問題的解決方法通常有兩種：

(1)應(yīng)用幾何性質(zhì)：

?三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊；

②兩點(diǎn)間線段最短；

③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短;

④定圓中的所有弦中，直徑最長。

⑵運(yùn)用代數(shù)證法：

?運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；

②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。

例1、A、B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB

最小。

變式^^&兩再妓L的兩惻，在直線。取」

日??

分析：在直線L上任取一點(diǎn)P'，連結(jié)AP',BP，，

在^ABP，中AP'+BP，>AB,颼AP'+BP'=AB,則P'

必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。

取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A'，則AP'=AP,

在BP中A'P'+B'P'>A'B,當(dāng)，移到A'B與直

線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)A'，+B，，=A'B,所以這時(shí)PA+PB

最小。

1已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮,ABDC

是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周

長最大(圖3-91)?

分析本彘條聚圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設(shè)半圓半徑

為R.由于ABIICD,必有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么

只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.

解作DE_LAB于E,貝！|X2=BD2=AB*BE=2R*(R-y)=

2R2-2Ry,

2R?-x

岫y2R-

2R2-x2

u=x+y+R=x+—=—+R

所以求u*曲I須求-X2+2RX+2R2最大值即可.

2R

-X2+2RX+2R2=3R2-(X-R)2?3R2,

上式只有當(dāng)x=R時(shí)取等號，這時(shí)有

即以I—2R?2我應(yīng)X.

所以記里圓三黝，確可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)c,D,

這時(shí)，梯形的底角恰為60。和120°.

2.如圖3-92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶,如果窗戶的周長為8

米(m),怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？

分析與解強(qiáng)表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD,則必

有2x+2y+nx=8,

8?庇?2x公

y=—r——.（1）

若窗戶的最大面積為s,則

把①代大謝gw.②

8—冗x-2區(qū)1。

S=2x?---------------+-7CX2

22

22

=8x-欣。-2x+--o:

2

=3x-(2+3/

4十冗(8V32

2r~4+J+4?^

上式中，只有x=3時(shí)，等號成立.這時(shí)，由①有

4+兀

yJ8_w.^.2,MX1

即當(dāng)窗戶南悸一是時(shí)，窗封^噓形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面

積最大.

3.已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問P在什么位置時(shí)，PA+PB最

大（圖3-93）?

分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然

PA+PB漸小，在極限

狀況（P與A重合時(shí)）等于AB.因跖猜?BP在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB

取最大值.

設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB,PA,延長AP到C,使PC=PA,

連CB,則CB是切線.

為了證PA+PB最大，我們在半圓弧上另取一點(diǎn)P',連P'A,P'B,

延長AP到C,

使PC=BP，,連CB,CC,貝"CB=NPBC=NPCB=45°,

所以A,B,C,C四點(diǎn)共圓，所以NCC'A=/CBA=90°,

所以在△ACC中，AC>ACf,即PA+PB>PA+PB.

4如圖3-9有在直角SBC中，AD是斜邊上周離平M,N分別

是aABD,AACD的內(nèi)心，直線MN交AB,AC于K,L.求證:

S^AB戶2SAAKL,

證連結(jié)AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因?yàn)樵贏ABC中，zA=90°fAD±BC于D,

所以zABD=zDAC,zADB=zADC=90°.

因?yàn)镸,N分別是SBD和aACD的內(nèi)心，所以

zl=z2=45°fz3=z4f

所以△ADN-^BDM,

又因?yàn)镹MDN=9(T=NADB,所以△MDN-ABDA,

DM_BD

所以

DN=AD

所以zBAD=zMND.

由于NBAD=NLCD,所以zMND=zLCD,

所以D,C,L,N四點(diǎn)共圓，所以zALK=zNDC=45°.

同理，zAKL=zl=45°f所以AK=AL.因?yàn)椤鰽KMM4

ADM,

所以AK=AD=AL.而

2

S&.[AB.AC,SAAKL=1AD*AL=1AD,

而222

AC2AB2_AC2.AB2

從BC2AB2+AC3

SM」AC?AB.A??叱

△AKL2AB2+AC2

-111

所以ABCS

r/,S&$“,-=-A>BC,

MAABC^AAKL22

5.如圖3-95.已知在正三角形ABC內(nèi)（包括邊上）有兩點(diǎn)P,

Q.求證：PQ<AB.

證設(shè)過P,Q的直線與AB,AC分別交于P],Q],,P]C,

顯然，PQWP1Q].

@SzAQ1P1+zP1Q1C=180°r

所以NAQF]和NP]Q]C中至少有一個(gè)直角或鈍

角.若NAQ]PA90°,貝！|PQWP]Q]WAP]WAB;

若NPIQ]O90。，則PQWP]Q]WP]C.

同理，NAP]C和NBP]C中也至少有一個(gè)直角或鈍角，不妨設(shè)

NBPQ90°,

貝UP1C<BC=AB.

對于P,Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類似的討論，因此，PQ

<AB.

A

6.設(shè)aABC是邊長為6的正三角形，過頂點(diǎn)A引直線I,頂點(diǎn)B,

C到I的距離設(shè)為4,d2,求q+d2的最大值（1992年上海初

中賽題）.

解如圖3-96,延長BA到B',使AB=AB，連BC,貝！|過

圖3-96

頂點(diǎn)A的直線I或者與BC相交,或者與BC相交.以下分兩種

情況討論.

Q）若I與BC相交于D,則

-(d1+d2)*AD=S

所以

（2）若I'與BC相交于D\則

洌+%)?3

所以

日1+%《=6、氏

上式只有l(wèi)'_LB'C時(shí)，等號成立.

綜合(1),(2),的最大值為6、氏

7.如圖3-97.已知直角^AOB中，直角頂點(diǎn)O在單位圓心上，

斜邊與單位圓相切，延長AO,BO分別與單位圓交于C,D.試

求四邊形ABCD面積的最小值.

解a“設(shè)才。與A自相切于E,有OE=1,從而

AB=0E?AB=AO?0B

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

即/AO?+80公喀2.

22

當(dāng)AO=BO時(shí)，AB有最小值2.從而

11

SABCD=7AC-BD=-(1+OA)(1+BO)

1

=-(l+AO+BO+AO*BO)

0+2JAO-BO+AO?BO)

=|(I+7AO*BO)2=1(i+JOE-AB.

所以，當(dāng)力6演麗彳曲超投ABCD面積的最小值為

=33+2回

2（3+272）.

?幾何的定值與最值

幾何中的定值問題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保

持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題，解

幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運(yùn)用特殊位

置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明.

幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)

確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求

幾何最值問題的基本方法有：

1.特殊位置與極端位置法；

2.幾何定理（公理）法；

3.數(shù)形結(jié)合法等.

注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點(diǎn)變

為熱點(diǎn).這是由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性（目標(biāo)不明確），解題

時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、

邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法.

【例題就解】

【例11如圖，已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn)，在

AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊密CD

長度的最小值為/Pvx

思路點(diǎn)撥好圖TNX'_LAB于C,DD，_L^B^W^

DQ_LCC,CD=DQ+CQ,DQ=.AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD

2222

越小，一

本例也可設(shè)「則,從代數(shù)角度探求的最小值.

AP=PB=10xCD

注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突

破口，特殊位置與極端位置是指：

Q）中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；

（2）端點(diǎn)處、臨界位置等.

【例2】如圖，圓的半徑等于正三龜形ABC的高，此圓在沿底

邊AB滾動(dòng)，切點(diǎn)為T,圓交AC、BC于M、N,則對于所有可能

的圓的位置而言，MTN為的度數(shù)（）

A.從30。到60。變動(dòng)B.從60。到90。變動(dòng)

C.保持30。不變D.保持60。不變

思路點(diǎn)撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C燈、

其弧的度數(shù)，再證明一般情形,從而作出判斷

注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動(dòng)態(tài)背最轉(zhuǎn)

動(dòng)與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，炎當(dāng)晶

化的元素運(yùn)動(dòng)到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時(shí)，

研究的量取得定值與最值.

［例3］如圖，已知平行四邊形ABCD,AB=

P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，

直線DP交CB的延長線于Q,求AP+BQ的最小值.

思路點(diǎn)撥設(shè)AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，運(yùn)

xX

用不等式叫02"（當(dāng)且僅當(dāng)，》時(shí)取等號

【例4］如圖，已知等邊SBq內(nèi)接于圓，在劣弓ISRB上取異

于A、B的點(diǎn)M,設(shè)直線AC與BM相交于K,直線CgmAM相

交于點(diǎn)N,證明：線段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的皙喔）

關(guān).思路點(diǎn)撥即要證AK?BN是一個(gè)定值，在圖

的邊長是一個(gè)定值，說明AK-BN與AB有關(guān)，樂圖知AB為

△ABM與SNB的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想，AK-BN=AB2,

從而我們的證明目標(biāo)更加明確.

注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問題就轉(zhuǎn)化為一

般的幾何證明問題.

［例5］已知^XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形（/

Z=90°）r它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰RfABC（/C=90。）的三邊上，

求AABC直角邊長的最大可能值.

思路點(diǎn)撥頂點(diǎn)Z在斜邊上或直角邊CA（或CB）±,當(dāng)頂點(diǎn)Z在

斜邊AB上時(shí)，取xy的中點(diǎn)，通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大

值，當(dāng)頂點(diǎn)Z在（AC或CB）上時(shí)，設(shè)CX二，CZ二，建立，的

xy,

關(guān)系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值.

注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何

元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識方法

求解.常見的解題途徑是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何

最值；

（2）構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)

（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線,垂

足分別是B\C\D\則BB，+CC'+DD'的最大值為，最

小值為--------

2.如圖，zAOB=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)P,PO=10,在角的兩邊

上有兩點(diǎn)Q,R（均不同于點(diǎn)。），貝!kPQR的周長的最小值

為

3.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離

AC=8,B到MN的距離BD=5,CD=4,P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，

則%_PB的最大值等于

DC

P點(diǎn)是蠡MN上一防春:。O的半前i,則AP+BP的最小值

為（）

A.1-

D.3-1

5.如圖,圓柱的軸截面A些D是邊長為，的正方形，動(dòng)時(shí)

從A點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短距離是

()

6.如圖、已知矩形ABCD,R,P戶分別是DC、BC上的點(diǎn)，

E,F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不

動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）

A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長不改變D.線段EF的長不能確定

7.（笫如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)（C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），

分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊

三角形BCE,AE與CD相交于點(diǎn)M,BD與CE相交于點(diǎn)N.

（1）求證：MNIIAB;

（2）若AB的長為10cm,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，是否存在

這樣的一點(diǎn)C,使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點(diǎn)的位

置并求出MN的長；若不存在，請說明理由.

（2002年云南省中考題）

8.如圖，定長的弓玄喬布辛個(gè)說AB為直徑的半圓上渭動(dòng)，M

是ST的中點(diǎn)，P是5對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什

么位置，/SPM是一定角.

9.已知^ABC是。。的內(nèi)接三角形，BT為。。的切線，B為切

點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E,

交直線AC于點(diǎn)F.

Q)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)(如圖)，求證：PA.PB=PE.PF;

(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長牡一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎？

如果成立，請證明，颼不成立，請說用理如

第(1)向圖第(2)同圖

10.如圖，已知邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE,

其中AF=2,BF=I,在AB上的一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面

積，則矩形PNDM的面積最大值是()

A.8B.12C.25D.14

11.如CA±AB于點(diǎn)A,線段

DB±AB^_BlrJkB=2;僅#443,P是半圓上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則封閉圖形ACPDB的最大面積是()

12.如圖7aSBC中4BC=5,Aq12,AB尹子，在邊AB、

AC上分別取點(diǎn)D、E,使線段DE將4ABC分成面積相等的兩部分,

試求這樣線段的最小長度.

（M12tt）《第13題)

13.如圖，ABCD是一個(gè)邊長為1的正方形,U、V分別是AB、

CD上的點(diǎn)，AV與DU相交于點(diǎn)P,BV與CU相交于點(diǎn)Q.求四

邊形PUQV面積的最大值.

14.利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部

都能噴到水.已知每個(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為10米的圓，間如

何設(shè)計(jì)（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬），才能使矩形花

壇的面積最大？

15.某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)

/她形居民廣場（平面圖如圖所示）.其中，正方形MNPQ與四個(gè)相

同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800平方米.

勾設(shè)矩形的邊AB：4米），AM=J米），用含汗的代數(shù)式表示，

為

回1吐劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為

2100元；在四個(gè)相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米

造價(jià)為105元；在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價(jià)

為40元.

①設(shè)該工程的總造價(jià)為S（元），求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式.

②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成

該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請說明理由.

③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問能

否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能,

請說明理由.

（鎮(zhèn)江市中考題）

16.某房地產(chǎn)公司擁有一塊"缺角矩形"荒地ABCDE,邊長和

方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請

劃出這塊地基，并求地基的最大面積（精確到Im》.

參考答案

?最短路線問題

通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線段最短”

為原則引申出來的.人們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種

限制條件的最近路線即最短路線問題.

在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同

一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的

不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短

路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路

線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個(gè)共同點(diǎn)：當(dāng)研究

曲面僅限于可展開為平面的曲面時(shí)，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面

等，將它們展開在一個(gè)平面上，兩點(diǎn)間的最短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的

直線段.

這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面

的.例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點(diǎn)之間的最短路線

如何求呢？我們用過A、B兩點(diǎn)及地球球心0的平面截地球，在地

球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)

之間不超過半個(gè)圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線，

航海上叫短程線.關(guān)于這個(gè)問題本講不做研究，以后中學(xué)會(huì)詳講.

在求最短路線時(shí)，一般我們先用"對稱"的方法化成兩點(diǎn)之間的

最短距離問題，而兩點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路

線.像這樣將一介問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問題，再設(shè)法解決，

是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法.

例1如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報(bào).在去B

地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選

擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間，請你在圖中標(biāo)出來.

個(gè)X」河岸

L--B-PJ

解邛要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線.

作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)A',即作AA'垂直于河岸，與河岸交

于點(diǎn)C,且使AC=AC,連接A'B交河岸于一點(diǎn)P,這時(shí)P點(diǎn)就是

飲馬的最好位置，連接PA,此時(shí)PA+PB就是偵察員應(yīng)選擇的最

短路線.

證明：設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P',連接P'A,P'B,P'

A*.

/PA+PB=PA+PB>A'B=PA'+PB=PA+PB,

而這里不等式P'A'+PB>A'B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折

線段大于直線段，

所以PA+PB是最短路線.

此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直

線段A'B,所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法

等.看下面例題.

例2如圖一只壁虎要從一面墻壁a上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面

墻壁B上的B點(diǎn)捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的

路線呢？

解：我們假想把含B點(diǎn)的墻B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。（如下頁右圖），

使它和含A點(diǎn)的墻a處在同一平面上，此時(shí)B轉(zhuǎn)過來的位置記為F,

B點(diǎn)的位置記為B\則A、B，之間最短路線應(yīng)該是線段AB*,設(shè)這

條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那么，折線4PB就是從A點(diǎn)沿著兩扇

墻面走到B點(diǎn)的最短路線.

A\

證明：在墻棱上任取鼻手5*掣山點(diǎn)，若沿折線APB走，也

就是沿在墻轉(zhuǎn)90。后的路線AP'B，走都比直線段APB，長，所姍線

APB是壁虎捕蛾的最短路線.

由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之

間的爵豆路線時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一

平面上的兩點(diǎn)連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條

線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線.

例3長方體ABCD—A'B'C'D'中，AB=4,A'A=2',AD=1,

有一只小蟲從頂點(diǎn)6出發(fā)，沿長方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎

樣爬距離最短？（見圖（1））

TrJ

（1）@）⑶

解：因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D'、B

兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個(gè)“展開”后的

平面上D'B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，這樣，從D'

點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線供選擇.

①從D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩

個(gè)面攤開在一介平面上（上頁圖（2））,這時(shí)在這介平面上D；B間

的最短路線距離就是連接D'、B兩點(diǎn)的直線段，它是直角三角形

ABD'的斜邊，根據(jù)勾股定理,

DB2=DA2+AB2=（1+2）2+42=25,.D'B=5.

②容易知道，從D'出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最

睡離也是5.

③從D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這

兩個(gè)面攤開在同一平面上，同理求得在這個(gè)平面上D\B兩點(diǎn)間的

最短路線（上頁圖（3））,有：

DB2=22+（1+4）2=29.

④容易知道，從D，出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最

短距離的平方也是29.

⑤從D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這

兩個(gè)平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個(gè)平面上D'、B兩點(diǎn)

間的最短路線（見圖），

II'DC

AJ2A4B

DB2=（2+4）2+12=37.

⑥容易知道，從D，出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最

短距離的平方也是37.

比較六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲從D'

點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁圖（2））,

或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線，它的

長度是5個(gè)單位長度.

利用例2、例3中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻

折的方法，可以解決一些類似的問題，例如求六棱柱兩個(gè)不相鄰的側(cè)

面上A和B兩點(diǎn)之間的酸豆路線問題（下左圖），同樣可說巴A、B

兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開成同一個(gè)平面

（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B,Pl、P2是線段AB與

兩條側(cè)棱線的交點(diǎn)，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線.

圓由撞遍短就是屋摩二匾^后也是直線，這條曲

線稱為螺旋線.因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著

很廣泛的應(yīng)用.如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除

塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題.

例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如下

左圖，如果將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問

沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？

A~——

解：蔣土左圖中圓柱面沿母線AB的開,展開成平面圖形如上頁

右圖（把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時(shí)，A'、B'分別與

A、B重合），連接AB，，再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀，則

AB，在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路.

圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線.請看下面例

題.

例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為A0的中點(diǎn),

試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線.

解：將圓錐剪開,展開如上右圖《向石鹵中的扇形

卷成上圖中的面隔j,A\B，分別與A、B重合匕在扇形中連

則將扇形還原成圓錐之后，，所成的曲線為所求.

AB*fAB

例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬

到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是

12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8厘米，而C、D兩點(diǎn)

之間的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該

怎么走？路程總長是多少？

分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），

由于B點(diǎn)在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長到F,使DF=BD,

即以直線CD為對稱軸，作出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,用F代替B,即可

找出最短路線了.

解:霜1勝面展成平面圖形（上圖），延長BD至F,使DF=BD,

即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)F,i^AF,交摘口沿線CD于0.

因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對稱軸，所以O(shè)B=OF,而A、F

之間的最短線路是直線段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之間

的最短距離就是AO+OB,故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到0點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶

內(nèi)B點(diǎn)爬去.

延長AC到E,使CE=DF,易知3EF是直角三角形，AF是斜

邊，EF=CD,根據(jù)勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12

+8）2+152=625=252,解得

AF=25.即螞蚊爬行的最短路程是

25厘米.

例7A、B兩個(gè)村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要

在小河上架一座小木橋，使它垂直于河岸.請你在河的兩岸選擇合

適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間路程最短.

E

分析因?yàn)闃虼怪庇诤影叮宰疃搪肪€必然是條折線，直接找

出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線.由于橋的長度相

當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長是定值.因此，從A點(diǎn)作河岸

的垂線,并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除，

找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線，問題就可以解決.

解：如上圖，過A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河

寬，連結(jié)BC交河岸于D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交對岸于E點(diǎn)，

D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn).即兩村的最短路程是

AE+ED+DB.

例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃

船比賽，規(guī)則要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再

到B島，最后回到A島,試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短?

乙

E

昌別作A、B關(guān)于甲岸緣乙岸線的對稱點(diǎn)A

和連綺*、B'分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn)，則A-E

TF—B—A是最短路線,即最短路程為:AE+EF+FB+BA.

證明：由對稱性可知路線A-E-F-B的長度恰等于線段AB*

的長度.而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路

線，利用對稱方法都可以化成一條連接A'、B，之間的折線，它們的

長度都大于線段A'B\例如上圖中用“------"表示的路線A-E'

TF—B的長度等于折線AE'F'B的長度，它大于A'B'的長度,所

以ATE—F—B—A是最短路線.

?對稱問題

教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法,對于軸

對稱問題、中心對稱問題有一個(gè)比較深入的認(rèn)識，可以通過對稱的

性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：猜想驗(yàn)證的過程，及幾何問題的說理性。

一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對稱問題

問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝

水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？

問題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在____________L

B處，小河為L,小明要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)、C

（小狗在C處飲水），使得AC+BC最短。（如上

圖所示）

知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線

段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，可以得出

結(jié)果。

中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的琳隋兩類，一類是軸對稱，一類是中心對肌，軸

對稱有兩個(gè)基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線PQ

的軸對稱點(diǎn)N的方法是：過M作M。垂直于PQ于點(diǎn)0,并延長

M0到點(diǎn)N,使NO=MO,則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱

A'A'

問題分析：過A作A。垂R0卜_

A

Az\\

線L于點(diǎn)O,延長A0到點(diǎn)A',A，\B\B

使A'0=A0,連接A'B,交直線L于點(diǎn)

Cf則小明沿著ACB的路徑就可以滿

足小狗喝上水，同時(shí)又使回家的路

程最短。

問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質(zhì)。

問題的延伸1：已知直線L夕隋一個(gè)定點(diǎn)P,在直線L上找兩

點(diǎn)A、B,使AB=m，且PA+PB簸（其中m為定值）

P

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,則問L

題變?yōu)椋涸谥本€L

上找一個(gè)點(diǎn)B,使它到P、

C兩點(diǎn)的距離之和最短。

問題的延伸2:在兩條

相交線之外有一個(gè)定點(diǎn)

P,分別在兩條直線上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定

B、C的位置？

提示：分別作點(diǎn)關(guān)于直線和直線的對稱點(diǎn)和連

PIL2P］P2,

接PF?分別與兩直線交于歐C點(diǎn)，則PB+BC+PC最短。證明方

法同上。

二、橋該建在哪里：

問題超市：農(nóng)場里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有

兩個(gè)加工廠，農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個(gè)工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買

了一輛汽車，想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路，同

.A

時(shí)在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，

可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個(gè)加工廠之L

間的路程最短？C2

問題數(shù)學(xué)化：在直線和直線之間作一條垂線段,使得

L］L2CD

BC+CD+DA最短。

知識介紹：

關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：

(1)在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短(兩點(diǎn)之間，線段最短)；

(2)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

(3)在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。

TSB錦，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利

用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證

明。

另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。

（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形

是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）

問題分析：由于CD

的長度一定，所以

BC+CD+DA最短，只

Li

需BC+DA最短既可。L2

我們想辦法把線段AD

平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。

問題的總結(jié)與結(jié)論：TS來說，我們利用圖形的渤性融到最近

的位置，然后利用三角形和對稱的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題

目中所要求的位置即可。

問題的延伸：如果有兩條河，需要建

造兩座橋,又該如何呢？如圖，把A向下{

平移到A'的位置，使線段AA'等于河,

I-L2的寬度;把B向上平移到&的位BZ^E4

置，使線段BB，等于河L3-L4的寬度。陷

連接線段B'A'，交L?于點(diǎn)C,交L3于點(diǎn)Fo過C、F分別作垂線

段CD、FE,就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流

建更多的橋又如何呢？

三、對稱問題的進(jìn)一步延伸。

我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對稱的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線段和

最小，那么對于線段差最小的問題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論

呢？

1、直線L的異側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B,在直線L上求一個(gè)點(diǎn)C,使

得：A、B到C的距離的差的絕對值最小。

2、你認(rèn)識一些什么樣的軸對稱圖形，它們各自有什么樣的幾何

性質(zhì)？

等腰三角形、矩形、正多邊形等。

四、如何平分土地：

問題超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫一Fp

條直線為分界線，把耕地