債券的久期和凸性幻燈片

債券的久期與凸性12024/5/7主要內(nèi)容債券的久期債券的凸性債券組合的久期與凸性22024/5/7債券的久期

市場利率的升降對債券投資的總報酬具有影響：債券本身的資本利得，利息收入及其再投資收益。債券投資管理的重要策略之一就是，如何消除利率變動帶來的風(fēng)險，即利率風(fēng)險免疫（Interestrateimmunization），即使得債券組合對利率變化不敏感。32024/5/7D為Macaulay久期，D*為修正久期，當(dāng)y很小時，二者近似相等。債券的久期42024/5/7久期是對債券價格對利率敏感性的度量，久期越大同樣利率變化引起的債券價格變化越大久期是到期時間的加權(quán)平均，權(quán)重是t時刻現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比例債券的久期52024/5/7久期：現(xiàn)金流現(xiàn)值翹翹板的支點(diǎn)

久期：以現(xiàn)金流占總現(xiàn)值的比例為權(quán)重，對每次現(xiàn)金流發(fā)生時間加權(quán)平均的結(jié)果！債券的久期62024/5/7一、久期的性質(zhì)久期是債券風(fēng)險的計量指標(biāo)，債券的久期與債券投資回報的標(biāo)準(zhǔn)差（即債券的風(fēng)險）的關(guān)系如下債券的久期72024/5/7則債券回報率的方差為則債券回報率的風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）為

在收益率微小變動下，債券回報率的標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險）為收益率的D*倍。D*越大債券風(fēng)險越大。債券的久期82024/5/7債券的久期與息票率、收益率和到期時間有關(guān)，故久期性質(zhì)就是討論上述的變量關(guān)系，并以此探討債券風(fēng)險的特征。

債券的久期92024/5/7定理1：零息債券的Macaulay久期等于它們的到期時間。短期國債的Macaulay久期就是其投資期限。債券的久期102024/5/7定理2：息票債券的Macaulay久期小于它們的到期時間。所以，D＜T債券的久期112024/5/7定理3：在到期時間相同的條件下，息票率越大，久期越短。證明：不妨將面值單位化為1，息票率為c，則兩邊取對數(shù)得到債券的久期122024/5/7

所以，息票率c越大，則Macaulay久期D越小。另外當(dāng)N→∞，久期為1+1/y債券的久期132024/5/7對于每個支付期的票面利率為c、每個支付期到期收益率為y，還有N個支付期的債券，其久期計算公式為例：考慮息票率為10%，30年期的債券，每年支付利息2次，假設(shè)該債券按面值發(fā)行，求該債券的久期若該債券以面值出售債券的久期142024/5/7定理4：在息票率不變的條件下，到期時期越長，久期越大。

證明要點(diǎn)：若息票率相同，長期債券的波動大于短期債券持有n+1期的債券，有債券的久期15南京大學(xué)方先明2024/5/7由此可見，同理可證，以上的證明表明，在息票率不變的條件下，長期債券總是變化得更加劇烈，即長期債券的久期大于短期債券。債券的久期162024/5/7證明：分別觀察n期、n+1期和n＋2期的債券最后1、2期和3期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，其中定理5：久期以遞減的速度隨到期時間的增加而增加。即債券價格的波動幅度隨著期限的增加而增加，但增加的速度遞減：n＋2年與n+1年的差異小于n＋1年與n年之間的差異債券的久期17南京大學(xué)方先明2024/5/7債券的久期182024/5/7

久期以遞減的速度隨到期時間的增加而增加。其原因是：本金是最大數(shù)量的現(xiàn)金流，它受市場利率的影響最大。當(dāng)期限增加時，本金不斷后移，其現(xiàn)值占總現(xiàn)值的比重變小，重要性程度下降。所以，債券價格受利率影響雖然加大，但增速遞減。債券的久期192024/5/7證明：由久期的定義定理6：在其他條件不變的情況下，債券的到期收益率越小，久期越大。債券的久期202024/5/7=1下面證明債券的久期212024/5/7久期的應(yīng)用

例子：假設(shè)一個10年期零息債券，10年期即期利率為8％且具有0.94%的波動，則該債券回報的波動率為？債券的久期22南京大學(xué)方先明2024/5/7

久期對利率的敏感性進(jìn)行測量實(shí)際上只考慮了價格變化與收益率之間的線性關(guān)系。而實(shí)際上，市場的實(shí)際情況是非線性的。所有現(xiàn)金流都只采用了一個折現(xiàn)率，也即意味著利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的，不符合現(xiàn)實(shí)。用3個月的即期利率來折現(xiàn)30年的債券顯然是不合理的。債券的凸性232024/5/7

久期可以看作是債券價格對利率波動敏感性的一階估計。凸性（convexity）則是二階估計，它可以對久期計量誤差進(jìn)行有效的校正。

為什么需要凸性，能否從數(shù)學(xué)上給予解釋？債券的凸性242024/5/7

凸性是根據(jù)債券價格p對收益率y的二階導(dǎo)數(shù)給出的，其金融學(xué)意義比較難以理解，其中一種解釋把凸性看成久期對利率的敏感度，這是錯誤的。債券的凸性252024/5/7凸性的金融學(xué)含義由定理6可知又由于則債券的凸性262024/5/7記于是債券的凸性272024/5/7債券的凸性282024/5/7

凸性的意義：在久期給定的情況下，凸性反映了債券帶來的現(xiàn)金流的集中程度，現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)金流越分散則凸性越大。注意：久期是平均意義上的到期時間。凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。

債券的凸性292024/5/7凸性的性質(zhì)現(xiàn)金流越集中凸性越小，現(xiàn)金流越分散則凸性越大。到期收益率越大（息票率越大），則凸性越小到期日越遠(yuǎn)（同等次數(shù)、同等量的現(xiàn)金流但支付越分散），凸性越大。凸性減少了債券的波動性。債券的凸性302024/5/7

凸性具有減少久期近似誤差的性質(zhì)。利率變化引起債券價格實(shí)際上升的幅度比久期的線性估計要高，而下降的幅度要小。因此，在其他條件相同時，人們應(yīng)該偏好凸性大的債券。債券的凸性31南京大學(xué)方先明2024/5/7例到期收益率5％債券價格100調(diào)整久期4.33年凸性26.3849給定以上數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)狡谑找媛噬仙?％時，債券的價格將如何變化？債券的凸性32南京大學(xué)方先明2024/5/7若債券具有相同的市場利率y

由于久期是債券價格對利率敏感性的線性計量，因此，一個債券組合的久期就是對該組合中個別債券久期的加權(quán)平均。假設(shè)債券組合包括：N1份債券B1和N2份債券B2，其價格分別為p1和p2債券組合的久期與凸性332024/5/7債券組合的久期與凸性342024/5/7債券組合的久期與凸性352024/5/7債券組合（久期）免疫

由債券組合的回報率公式可知，當(dāng)收益率上升時，債券組合可能發(fā)生損失，若組合的久期為0，則債券組合一定具有非負(fù)的回報，即相當(dāng)于獲得無風(fēng)險利率的回報率。在債券組合管理中，希望構(gòu)造一個久期為零的組合，由此來避免利率風(fēng)險，即所謂的免疫性（immunity）。

養(yǎng)老金在一定期限后面臨支付義務(wù)（負(fù)債），為此對投資（資產(chǎn)）具有一定的約束。考慮負(fù)債與資產(chǎn)相等，但負(fù)債的久期小于資產(chǎn)的久期的，若利率上升可能惡化組合？債券組合的久期與凸性362024/5/7債券組合（久期）免疫

2004年初，經(jīng)測算某養(yǎng)老金負(fù)債的久期為7年，該基金投資兩種債券，其久期分別為3年和11年，那么該基金需要在這兩種債券上分別投資多少才能不受2004年利率風(fēng)險變化的影響？債券組合的久期與凸性372024/5/7免疫算法：計算負(fù)債久期計算組合中各個資產(chǎn)的久期調(diào)整組合中各個資產(chǎn)的權(quán)重，使得組合的久期等于負(fù)債的久期根據(jù)負(fù)債的現(xiàn)值，計算需投資的資產(chǎn)數(shù)量（金額）債券組合的久期與凸性382024/5/7

問題：如果下一年年初，利率沒有變化，那么，該公司要不要對投資權(quán)重進(jìn)行調(diào)整？

由于負(fù)債的到期日又接近了，因此，可能導(dǎo)致債務(wù)和債權(quán)之間的久期不一致，就需要再平衡。問題：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味著每天需要調(diào)整？債券免疫策略：資產(chǎn)管理者需要不斷再平衡以獲得良好的免疫功能和進(jìn)出市場導(dǎo)致的交易成本之間尋求一個折衷的方案。債券組合的久期與凸性392024/5/7作業(yè)某養(yǎng)老金預(yù)計在10年后要有1,