淺談構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用

淺談構(gòu)造法解題在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用蘇傳忠在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)過(guò)程中，需要長(zhǎng)期給學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。其中構(gòu)造法解題的思想，就是一種值得推廣的解題思想方法。通過(guò)構(gòu)造，可以建立起各種數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在熟練掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下交互使用，融會(huì)貫通。構(gòu)造幾何模型，使代數(shù)問(wèn)題幾何化。代數(shù)運(yùn)算雖然直接，但有時(shí)會(huì)比較抽象且運(yùn)算復(fù)雜，構(gòu)造合乎要求的幾何圖形，可以是所求解的問(wèn)題變得直觀明朗，從而找到一個(gè)全新的接替辦法。例一，設(shè)為實(shí)數(shù)，證明：以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，且三角形的面積為定值。分析：從題目給出的三個(gè)根式我們知道，當(dāng)實(shí)數(shù)去互為相反的兩數(shù)時(shí)，只是其中兩式角色互換，實(shí)質(zhì)一樣，故只需爭(zhēng)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)展開(kāi)討論即可。FEFEDCBA構(gòu)造合乎要求的幾何圖形如圖所示：于是：所以：以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，即。則：構(gòu)造方程模型，使幾何問(wèn)題代數(shù)化。例二，周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，則給出證明，若存在，請(qǐng)證明一共有幾個(gè)？分析：設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊為，面積為整數(shù)。于是原題中的條件可用方程組的形式給出如下：故原問(wèn)題即為討論方程組使得面積為整數(shù)的解的情況。由前兩式得：，于是由韋達(dá)定理可構(gòu)造出以為根的方程是：若方程有解，則即：又：，∴∴∵為整數(shù)，∴為整數(shù)且：∴=8，∴代入方程可得：?？芍獫M(mǎn)足題目條件的三角形只有一個(gè)。三、構(gòu)造極端情況，找到題目要求的最值。例三、在一個(gè)有限的實(shí)數(shù)列中，任意七個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，而任意十一個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是正數(shù)。試問(wèn)：此數(shù)列最多能包含多少項(xiàng)？分析：根據(jù)題目所給已知條件，可構(gòu)造一個(gè)每橫行七個(gè)數(shù)，每縱列十一個(gè)數(shù)的數(shù)陣如下：考慮到?jīng)]一橫行為連續(xù)七項(xiàng)，其和小于0，沒(méi)一縱列為連續(xù)十一項(xiàng)，其和大于0。于是得到矛盾，所以，。另一方面有可以構(gòu)造一個(gè)連續(xù)十六項(xiàng)的數(shù)列滿(mǎn)足題目要求：6，6，-15，6，6，6，-16，6，6，-16，6，6，6，-15，6，6，故符合條件的數(shù)列最多有十六項(xiàng)。四、構(gòu)造對(duì)應(yīng)的平面模型，將空間問(wèn)題降為平面問(wèn)題處理。五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，而其余兩個(gè)點(diǎn)在三角形內(nèi)。如圖所示：QPQPEDCBA相交，不妨交AB于P，交AC于Q。考查四邊形BDEC，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線BE、CD在其內(nèi)部，所以四邊形為凸四邊形。一般地，在一個(gè)平面內(nèi)給定個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成個(gè)不同的五點(diǎn)集，從上面的討論可知，每個(gè)五點(diǎn)集中至少有一個(gè)以所給定點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形，而同一個(gè)凸四邊形至多屬于個(gè)不同的五點(diǎn)集，故至少有個(gè)符合要求的凸四邊形。下面比較與的大?。寒?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴對(duì)一切均成立。