12.3角的平分線的性質(zhì)（第 2課時）教學(xué)設(shè)計-2023-2024學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

12.3角的平分線的性質(zhì)（第2課時）【教材內(nèi)容分析】（一）單元內(nèi)容分析中學(xué)階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，本章以三角形為例研究全等.對全等三角形研究的問題和研究方法將為后面相似的學(xué)習(xí)提供思路，而且全等是一種特殊的相似，全等三角形的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形的重要基礎(chǔ).本章還借助全等三角形進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，主要包括用分析法分析條件與結(jié)論的關(guān)系，用綜合法書寫證明格式，以及掌握證明幾何命題的一般過程.由于利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等，所以本章的內(nèi)容也是后面將學(xué)習(xí)的等腰三角形、四邊形、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ).（二）課時內(nèi)容分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要是探索并證明角平分線的判定定理，會用角平分線的判定定理解決問題．本節(jié)課是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了證明直角三角形全等和角平分線的性質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的．角平分線的性質(zhì)和判定為證明線段及角相等開辟了新的途徑，簡化了證明過程，同時也是全等三角形知識的運用和延續(xù)，又為后面學(xué)習(xí)圓的內(nèi)心奠定基礎(chǔ)．因此，本節(jié)內(nèi)容在數(shù)學(xué)知識體系中起到了承上啟下的作用．同時教材的安排由淺入深、由易到難、知識結(jié)構(gòu)合理，符合學(xué)生的心理特點和認(rèn)知規(guī)律．【學(xué)情分析】八年級是初中學(xué)習(xí)過程中的關(guān)鍵時期，學(xué)生基礎(chǔ)的好壞，直接影響到將來是否能升學(xué).學(xué)生的知識基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級上冊教材中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了尺規(guī)作圖.其中包括理解尺規(guī)作圖的含義，能完成作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角的基本作圖，初步掌握了尺規(guī)作圖.而對于三角形，它是最簡單、最基本的幾何圖形，學(xué)生在生活中隨處可見.并且在本章的前4節(jié)中學(xué)生已經(jīng)對三角形的有關(guān)概念及相關(guān)結(jié)論有了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，如認(rèn)識三角形、全等三角形、探索三角形全等條件.學(xué)生已經(jīng)初步具備了作三角形的基本知識與技能.學(xué)生的活動經(jīng)驗：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了觀察、猜想、畫圖、推理、交流等活動，發(fā)展了空間觀念，積累了一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，具備了一定的動手實踐與合作交流能力.要在本期獲得理想成績，老師和學(xué)生都要付出努力，查漏補缺，充分發(fā)揮學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是教的主體作用，注重方法，培養(yǎng)能力.【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握角平分線的判定定理，了解角平分線性質(zhì)及判定在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用，并能用這些方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題.2.經(jīng)歷探究角平分線判定的過程，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力，進(jìn)一步發(fā)展推理證明意識和能力.【教學(xué)重難點】重點：角的平分線的判定的證明及運用.難點：靈活應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題.【資源與工具】多媒體課件，作圖工具【設(shè)計思想】本節(jié)課由實際問題引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.再復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)，請同學(xué)找出它的題設(shè)與結(jié)論，然后把題設(shè)和結(jié)論交換得到新的命題，讓學(xué)生自主猜想、驗證、得出角平分線的判定定理，然后根據(jù)圖形寫出它的符號語言.在探究過程中，學(xué)生結(jié)合命題的文字語言畫出圖形，寫出符號語言再證明的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力.同學(xué)們在運用這個判定的時候，要注意他的條件和結(jié)論，條件是距離相等，結(jié)論是這個點在角平分線上，讓學(xué)生掌握基本圖形.接著給出了三個小判斷題，讓學(xué)生更加深刻的理解角平分線判定定理的條件.只有滿足距離相等，既有垂直又有相等，才能得出點在角平分線上.為我們判斷一個點在角平分線上提供了依據(jù)，也為我們證明角相等又提供了一種方法.接著就利用角平分線的判定來完成我們開始提的那個實際問題，有距離相等可知這個點必定在那兩條公路和鐵路的角平分線上.同學(xué)們拿出畫圖工具進(jìn)行畫圖，由圖上距離和實際距離的比例尺，可得出在圖上距離它們的交點有多遠(yuǎn)，然后用尺子和圓規(guī)量出那個點，把點描出來.在講解這個題的時候，讓同學(xué)們審題，然后把實際問題抽象出來，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的角平分線問題，再利用角平分線判定定理的知識來進(jìn)行求解.從而體現(xiàn)了角平分線的性質(zhì)和判定在生活中會經(jīng)常用到.再出示本節(jié)課的例題，它是利用角平分線的性質(zhì)得出距離相等，接著又提了一個問題：這個點是否在另一個角的平分線上？可以利用角平分線的判定進(jìn)行求解.例題和想一想，是把角平分線的性質(zhì)和判定進(jìn)行綜合利用，從而為我們以后證明角相等和線段相等又提供了一種證明方法.在證明過程當(dāng)中，關(guān)鍵是提醒學(xué)生怎樣做輔助線.在這里面.我們現(xiàn)階段的做輔助線的方法，基本上都是為了補全基本圖形和基本模型而做的輔助線.比如角平分線的性質(zhì)和判定里面，它的基本圖形里面涵蓋的是角平分線、垂直和相等.所以我們往往會出現(xiàn)做垂線的問題，有可能做一條垂線，也有可能做兩條垂線.所以同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)當(dāng)中要注意積累基本圖形和基本模型，便于以后能迅速在解題的過程中迅速找到答案.由于例題和想一想是角平分線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，有個別同學(xué)容易混淆.我又總結(jié)了角平分的性質(zhì)與判定的區(qū)別和聯(lián)系.通過文字、圖形和符號語言，讓學(xué)生更能準(zhǔn)確的掌握性質(zhì)和判定他們的條件和結(jié)論，便于以后證明過程的書寫.再加上達(dá)標(biāo)訓(xùn)練、課堂小結(jié)、拓展應(yīng)用、分層布置作業(yè)等環(huán)節(jié)來強化本節(jié)所學(xué)知識.在本節(jié)課教學(xué)中以學(xué)生參與為主，便于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，體驗成功的喜悅，通過直觀的演示和學(xué)生自己動手使學(xué)生在獲得感性知識的同時，為掌握理性知識創(chuàng)造條件，這樣更有利于調(diào)動學(xué)生積極性，激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為積極主動愉快學(xué)習(xí)，也符合數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性和可接受性.在教學(xué)中，把重點放在學(xué)生如何學(xué)這一方面，我認(rèn)為通過直觀演示，得到感性認(rèn)識，學(xué)生在學(xué)習(xí)中通過實踐，觀察，交流，運用發(fā)現(xiàn)法，開拓自己的創(chuàng)造性思維，并且讓學(xué)生通過自己動手操作、動腦思考，動口表述，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想、概括、表述、論證的能力.【教學(xué)過程設(shè)計】一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課1.實際問題引入思考：如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？【師生活動】教師提出問題，學(xué)生思考回答思路.【設(shè)計意圖】從實際問題出發(fā)，通過有趣的問題引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.2.復(fù)習(xí)回顧問題1：角平分線的性質(zhì)定理是什么？角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.幾何語言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE.題設(shè)：一個點在一個角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．【師生活動】教師提出問題，學(xué)生思考并回答.【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)舊知識，為學(xué)習(xí)新課做準(zhǔn)備.二、探究新知1.問題探究問題2：交換角的平分線的性質(zhì)中的題設(shè)和結(jié)論，你能得到什么命題，這個新命題成立嗎？猜想:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．為什么會有“角的內(nèi)部”這個前提？問題3：請試著證明這個命題．提示：先畫圖，并寫出已知、求證，再加以證明．已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．求證：點P在∠AOB的平分線上（OP平分∠AOB）分析：“證全等得角等”證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OPPD=PE∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠POD＝∠POE，即OP平分∠AOB.【師生活動】學(xué)生根據(jù)自學(xué)要求獨立操作，然后互相交流各自的結(jié)論．教師可以抽一小組進(jìn)行展講，其他各小組認(rèn)真傾聽，積極補充、質(zhì)疑提問，對展示小組進(jìn)行評價．【設(shè)計意圖】經(jīng)歷角平分線的判定定理的探索過程，讓學(xué)生感受知識的產(chǎn)生可以來自于數(shù)學(xué)自身．結(jié)合推理證明，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和邏輯性.2.判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上（OP平分∠AOB）.應(yīng)用所具備的條件：位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.【師生活動】教師歸納總結(jié)并板書：角平分線判定定理，學(xué)生掌握判定定理的幾何語言及其應(yīng)用條件.【設(shè)計意圖】結(jié)合幾何語言，體會應(yīng)用判定定理的條件及其作用.3.判斷題（1）如圖，若QM=QN，則OQ平分∠AOB.（）（2）如圖，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線.（）?（3）已知Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線上．（?）4.練習(xí)如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）？方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點．【師生活動】學(xué)生先獨立思考，然后分小組討論，教師巡堂并及時給予指導(dǎo)和幫助，最后由學(xué)生完成解答．【設(shè)計意圖】通過訓(xùn)練，鞏固新知加深對角平分線的判定的運用和理解.三、典例精講例已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.輔助線方法：作垂直構(gòu)造基本圖形想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上.結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.【師生活動】出示例題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，再小組交流討論得出輔助線的做法，利用角平分線的性質(zhì)證出例題，再利用角平分線的判定定理得出“想一想”的答案.【設(shè)計意圖】通過例題的訓(xùn)練，鞏固新知加深對角平分線的性質(zhì)及其判定定理的運用和理解.四、歸納總結(jié)角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系【師生活動】總結(jié)角平分線的性質(zhì)與角平分線的判定定理的關(guān)系.【設(shè)計意圖】通過對比得出角平分線的性質(zhì)與角平分線的判ABC定定理的題設(shè)和結(jié)論是相反的.五、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.如圖，△ABC的兩個外角的平分線BD與CE相交于點P.（1）求證：點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.（2）求證：AP平分∠BAC.2.如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村．要使這個度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？【師生活動】學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo).【設(shè)計意圖】針對本課時的主要問題，從多個角度、分層次進(jìn)行檢測，達(dá)到學(xué)有所成、了解課堂學(xué)習(xí)效果的目的六、課堂小結(jié)【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，完善知識結(jié)構(gòu)圖，梳理學(xué)習(xí)思路，歸納學(xué)習(xí)方法、思想；學(xué)生展示，師生評價，共同完善，形成完善知識、思想、方法結(jié)構(gòu)體系.【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主梳理、完善，旨在考察不同層次的學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的掌握程度，通過教師點撥，師生合作完善，便于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識體系化，感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.同時從能力、情感態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對課堂的整體感受，培養(yǎng)學(xué)生善于反思，樂于歸納的好習(xí)慣，培養(yǎng)他們善于積累，勤于總結(jié)的數(shù)學(xué)精神.七、拓展應(yīng)用已知△ABC，求作一個點O，使其到三角形三邊都相等.【師生活動】學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo).【設(shè)計意圖】設(shè)計拓展性作業(yè)，及時鞏固所學(xué)知識,并且通過學(xué)生板演讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，嘗試解決問題，通過練習(xí)，鞏固所學(xué)知識.八、課后作業(yè)必做題：教材第50頁練習(xí)，選做題：教材第52頁習(xí)題12.3第7題.在這里要提醒學(xué)生直接利用角的平分線的性質(zhì)，無需再證三角形全等.【設(shè)計意圖】分層次布置作業(yè)，使每位同學(xué)都能學(xué)習(xí)到有用的知識.九、板書設(shè)計12.3角的平分線的性質(zhì)（2）——角的平分線的判定1、判定定理：2、研究思路角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.例題幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上（OP平分∠AOB）.【教學(xué)效果預(yù)測】本節(jié)課設(shè)計的主要內(nèi)容是角的平分線的判定定理及其運用，整個教學(xué)過程始終堅持以學(xué)生的發(fā)展為本的思想，注重學(xué)生個性潛能的發(fā)展和自我價值的實現(xiàn)，使學(xué)生的情感、態(tài)度與價值取向隨著對知識的認(rèn)識、理解和掌握相生相長。1.以學(xué)生活動為中心，通過“觀察—猜想—驗證—運用”這一流程貫穿整個教學(xué)過程，使學(xué)生對角的平分線的判定的認(rèn)識螺旋上升，不斷深化，學(xué)生的知識不斷的得到重組與內(nèi)化，從而使學(xué)生形成了完整的知識體系和良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也優(yōu)化了課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)。2.把學(xué)習(xí)的權(quán)利還給學(xué)生，使學(xué)生體驗“做數(shù)學(xué)”的樂趣。在角的平分線的判定的學(xué)習(xí)過程中，把觀察的時間給學(xué)生，把想象的空間給學(xué)生，把發(fā)現(xiàn)的過程給學(xué)生，把抽象概括的機會給學(xué)生，把總結(jié)的機會給學(xué)生，使學(xué)生說思路、講過程、探方法、找規(guī)律，學(xué)生的參與度被無形的大手拉起來，增強了實效性。3.練習(xí)的配備由淺入深，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容逐層深化，在基礎(chǔ)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上對學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識的能力。4.及時歸納總結(jié)，形成知識體系。教學(xué)中設(shè)計的內(nèi)容有點多，拓展提升的內(nèi)容沒做完，我放到課下作業(yè)，通過學(xué)生自己思考或同學(xué)合作交流去完成。課后反思本節(jié)課設(shè)計的主要內(nèi)容是角的平分線的判定定理及其運用，整個教學(xué)過程始終堅持以學(xué)生的發(fā)展為本的思想，注重學(xué)生個性潛能的發(fā)展和自我價值的實現(xiàn)，使學(xué)生的情感、態(tài)度與價值取向隨著對知識的認(rèn)識、理解和掌握相生相長。1.以學(xué)生活動為中心，通過“觀察—猜想—驗證—運用”這一流程貫穿整個教學(xué)過程，使學(xué)生對角的平分線的判定的認(rèn)識螺旋上升，不斷深化，學(xué)生的知識不斷的得到重組與內(nèi)化