2022年北京順義區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京順義高三一模數(shù)學(xué)（第二次統(tǒng)練）考生須知1.本試卷共5頁(yè)，共兩部分，道小題，滿分分。考試時(shí)間分鐘。2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和班級(jí)。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。4.在答題卡上，選擇題用鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。第一部分選擇題共分)一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。()=（1）函數(shù)fx+(?)x2x的定義域?yàn)?0,2(?)+)（）（D）(2),2（A）（）（2）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則復(fù)數(shù)zi=（A）2?i（）1?2i（）（D）?2?iy2P1Ox1（3(x2?)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為x?15（）15（）（A）（D）x22(5,0)，則雙曲線C（4）已知雙曲線C:?y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為的一條漸近線方程為a（）y2x=1（）y=6x6（A）y=x（D）y=x26n==a=3（5）設(shè)等比數(shù)列a}的前n項(xiàng)和為S，公比為q.若S，則nnnn?qn（D）戶居民的月平均用電量（單位：度），以（A）8（）9C18（）)（6）為了了解居民用電情況,通過抽樣,獲得了某城市100，200))，)，)，)280,300分組的頻率分布直方圖如下圖.，，本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是（A）220（B）224（C）228（D）230==，則“b=3B=”是“（7中，aA”的63（A）充分不必要條件（C）充分必要條件（）必要不充分條件（D）既不充分也不必要件x2+y=4截直線2=(?)ykx2k（8）已知圓所得弦的長(zhǎng)度為，那么實(shí)數(shù)的值為33（）3（D）3（A）（）33（9）已知向量a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則a?()bR的最小值是（A）255455（）（D）（）E,FABCD?ABCD棱CDEF（10）如圖，設(shè)分別是長(zhǎng)方體上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且滿足111112=DC=，有下列結(jié)論：2①BD⊥平面B；111②三棱錐D?B體積為定值；11③1A//平面B；1④平面A⊥平面B1；11其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①②（）②③（）②④（D）③④第二部分（非選擇題共二、填空題共5道小題，每題5分。共25分，把答案填在答題卡上。=?B=xxx2x1，（）已知集合A，則A____________.()=fxx()=()()fab1，則fa4+fb4=（12）已知函數(shù)，若_____________.y2xM垂直拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)為等邊三角N.若FNM（13）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)形，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為___________，F(xiàn)NM的面積是________________.()()（14）已知fx是定義在R上的函數(shù)，其值域?yàn)?+)，則fx可以是________.（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)表達(dá)式即可）()，都有S=aa=x,y,x,yRabS（15）向量集合，對(duì)于任意，，以及任意+(?)a1bS，則稱集合是凸集，現(xiàn)有四個(gè)命題：S2M=aa=x,y,yx()①集合是凸集；②若S為“凸集”，則集合N=2aaS也是“凸集”；A,AA1③若④若都是凸集，則也是凸集；12A,AA1都是凸集，且交集非空，則也是凸集．12其中，所有正確的命題的序號(hào)是_____________________．三、解答題共6道題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。()=?（16）（本小題分）已知函數(shù)fxsinx.4上的最大值和最小值；()fx（I）求（II）設(shè)在區(qū)間2()=()()gx，求的最小正周期.gxfxx?ABCD的中點(diǎn).1（17）（本小題分）如圖，在正方體中，E為1111（I）過點(diǎn)1作出一條與平面平行的直線，并說(shuō)明理由；所成角的正弦值.（II）求直線與平面1()()1班~8班（18）（本小題分）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：y（I）若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；（II）若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（4）班的10名學(xué)生中抽出2人，設(shè)X表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（III）假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等現(xiàn)在從每班中分別=1k=0”表示第k班抽到的這名同學(xué)身k隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“k=2,...,8）．寫出方差D的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．體素質(zhì)不是優(yōu)秀（1234x22y2231ab0=()(?0)（19分）已知橢圓C:+過定點(diǎn)，離心率e=.ab2（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；1,B兩點(diǎn)，OAB的方程.（II）斜率為的直線與橢圓交于為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線2()=(+)?x（20）（本小題分）若函數(shù)fxx1e.（I）判斷方程fx()=1解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；12（II）當(dāng)a0，設(shè)gx()=()+fx2()ax，求gx的單調(diào)區(qū)間；n，an為偶數(shù),(n=2,......)設(shè)正整數(shù)數(shù)列n}滿足n12=．（21）（本小題aa為奇數(shù).nn（I）若a，請(qǐng)寫出a所有可能的取值；51=n|nN*（II）記集合M，證明：若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù)；aa1（III）若為周期數(shù)列，求所有可能的取值.n參考答案一、選擇題ADBACCBDCC二、填空題11、A12、4x1（寫成區(qū)間也行）、，43（對(duì)一空3分）14、fxax1aa1（其它答案正確同樣給分）()=?()15、①②④（有錯(cuò)不得分，只有一個(gè)正確答案得2分，2個(gè)正確答案得3分）三、解答題16、（本小題滿分分）244解：（）因?yàn)閤，所以x??,，…2分4242所以sinx??,…4分…5分222()所以fx==,此時(shí)x0222()=?=fx，此時(shí)x…6分24()=()?xsin（II）gxfxcosx=sinxx…8分422221+cos2x2x=sin2x?==sinxx?…10分224222212222(?)??cos2x?sin2x2x=sin2x44224142=sin2x??…12分24所以，最小正周期T===…14分217、（本小題滿分分）解：（）法一：連結(jié)1B，BDBDAC交點(diǎn)為O，連結(jié)…2與分，設(shè)因?yàn)锳BCD?ABCD為正方體，所以O(shè)為AC中點(diǎn)1111E為的中位線的中點(diǎn)，所以DBD11又因?yàn)闉樗?/BD…4分1又因?yàn)槠矫妫?平面所以1//平面…6分…2分法二：取CC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE1111因?yàn)锳BCD?ABCD為正方體，E為的中點(diǎn)，E為CC的中點(diǎn)1111111所以1E//…4分又因?yàn)镃E平面，1E平面所以1E//平面ACE…6分法三：取的中點(diǎn)F，連結(jié)DF…2分11因?yàn)锳BCD?ABCD為正方體，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)111111所以1F//…4分平面，1F平面又因?yàn)樗?F//平面ACE（其它解法酌情給分）…6分（II）設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1為原點(diǎn)，AAB所在直線為軸，x所在直線為軸，yz所在直線為軸建立空112()()()A0,0,0B0,1C0E間直角坐標(biāo)系，則有，，，112所以AB=0,1)，AC=0)，AE=…9分1設(shè)m=(x,y,z)為平面ACE的一個(gè)法向量，則m=0，m=0x+y=0z=2y=?x=1+2所以有z，令，可得…11分y+=023所以m1,2=(?)，所以cosm,AB1==…12分2623設(shè)直線與平面ACE所成的角為，則sin=,AB=，1123即直線AB1與平面ACE所成的角的正弦值為…14分2（其它解法酌情給分）18、（本小題分）解：（）從高一年級(jí)（）班~（）班學(xué)生中抽測(cè)了人，其中身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)有78+6+9+4+7+5+9+8=56人，所以，優(yōu)秀的概率是…3分10因?yàn)槭请S機(jī)抽樣，所以用樣本估計(jì)總體，可知從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)一人，該生身體素質(zhì)檢測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的7概率是…4分10（II）因?yàn)楦咭唬ǎ┌喑槌龅拿瑢W(xué)中，身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有4人，不優(yōu)秀的有6人，所以從中抽出2人，X的可能取值為2…6分C2621013X=0表示抽出的2人中優(yōu)秀的人數(shù)為0個(gè)，PX(=0)==，CC16C10C4218X=1表示抽出的2人中優(yōu)秀的人數(shù)為個(gè)，1(=)=PX1=，15C242102X=2(PX=2)==表示抽出的人中優(yōu)秀的人數(shù)為個(gè)，22，………………9分C15所以X的分布列為XP0121382151518245數(shù)學(xué)期望=0+1+215=…11分…14分3153（III）19、（本小題分）421c3解：（）依題意可得a==…1分a2所以可解得a=2，b=1，c=3…3分x2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1…4分41()()（II）設(shè)直線AB的方程為y=x+mAx,y,Bx,y，112221y=x+m2x2122+2+2m2?2=0聯(lián)立方程組，消去y得+xm+=1，化簡(jiǎn)得x2x24+y2=14所以x+x=?2,xx=2m2?2，=2?m20即m2…8分212121225(1x2412+?=52?m所以=1x2=+?21222m1+22m又原點(diǎn)O到直線AB的距離d==…10分25212mm2+2?m2所以S=52?m2=m22?m2)=1AOB252m2=2?m2m=1時(shí)取等號(hào)…12分當(dāng)且僅當(dāng)即1所以，AOB面積的最大值為1，此時(shí)直線AB的方程為y=x1…14分2（其它解法酌情給分）20、（本小題分）()=解：（）方程fx1僅有一個(gè)…1分e…2分()=(+)?x因?yàn)閒xx1e，所以()=(+)?+(+)(?fxx1exx1x()=?fxxe?x所以…4分()fxx00…5分令可解得()fx所以單調(diào)性如下表x(?,0)(+)00+?()fx()單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減fx1僅有一個(gè)…7分fx()=()()=的極大值為，所以方程f01，即fx1又1()=(+)?x（II）因?yàn)間xx1e+ax2，所以()=(?gxxa?)ex…9分2()===?agx0可得x0或x令分類討論如下：（0a1時(shí)，?a0()gx所以的單調(diào)性如下x(?,0)(?a)?(a,+)0a+?+()gx00()gx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增()(?)(a,+),0(?a)…11分gx所以的單增區(qū)間為，，單減區(qū)間為()0恒成立（）當(dāng)a=1時(shí)，?a=0，此時(shí)gx()gxR…13分所以的單增區(qū)間為，無(wú)單減區(qū)間（）當(dāng)a1，?a0()所以gx的單調(diào)性如下x(?,?a)?(?a,0)(+)a0+?+()gx00()gx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增()(??)(+)，單減區(qū)間為(?)a,0…15分所以gx的單增區(qū)間為,a，（其它解法酌情給分）21、（本小題分）解：（）16，5，2；…3分（II）如果存在正整數(shù)k，滿足ak是3的倍數(shù)，則對(duì)iZ，ai都是3的倍數(shù)；+（方法一）k，k為偶數(shù)如果存在ak為3的倍數(shù)，根據(jù)a=2，可知ak+1也是3的倍數(shù)，…5分k1aa為奇數(shù)kk以此類推，ak,ak+1,ak+2,3的倍數(shù)；2a，a為偶數(shù)另一方面，當(dāng)k2時(shí)，由于=k