廣東省廣州市天河區(qū)新都學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市天河區(qū)新都學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其定義“方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程”．根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A．該方程是分式方程，該選項(xiàng)不符合題意；B．方程含有兩個未知數(shù)，它不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；C．該方程整理得：，是一元二次方程，該選項(xiàng)符合題意；D．方程化簡后為：，不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：選項(xiàng)中的圖形都不能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項(xiàng)D中的圖形能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．3.關(guān)于x的方程：x2＝3x的解是（）A.x＝3 B.x1＝3，x2＝﹣3 C.x1＝﹣3，x2＝0 D.x1＝3，x2＝0【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法解方程．【詳解】解：∵x2＝3x，∴x2-3x=0，x（x-3）=0∴x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的方法，及根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．4.把函數(shù)圖象向左平移個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移規(guī)律，“左加右減，上加下減”，求解即可．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像的平移規(guī)則，函數(shù)圖象向左平移個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式故選C【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)圖像的平移，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖像的平移規(guī)律．5.一元二次方程的根的情況是()A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根．6.如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（）A.55° B.45° C.42° D.40°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)∠AOC的度數(shù)為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根據(jù)△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可．【詳解】解：∵∠AOC的度數(shù)為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，∴∠C＝∠B＝45°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答．7.已知拋物線，若點(diǎn),,，都在該拋物線上，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，開口方向向下自變量離對稱軸越近則函數(shù)值越大．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為：，∵，∵且二次函數(shù)圖象開口方向向下，自變量距離對稱軸越近函數(shù)值越大，∴．故選：C．8.電影《孤注一擲》于2023年8月8日在中國大陸上映，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達(dá)13億元，若把每天的平均增長率記作x，則方程可以列為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由第一天為3億，根據(jù)增長率為得出第二天為億，第三天為億，根據(jù)三天累計為13億，即可得出關(guān)于的一元二次方程．【詳解】解：設(shè)增長率為，根據(jù)題意得：．故選：D．9.二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)的圖像可能是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)的圖像可得a<0，b>0，根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷出正確答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖像開口向下，與y軸交于正半軸，∴a<0，b>0，∴y=ax+b的圖像經(jīng)過一、二、四象限，與y軸交于正半軸，∴選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)及判斷一次函數(shù)圖像所經(jīng)過的象限，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，，，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)B作軸于H，求出的長，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，判斷每6次一個循環(huán)，進(jìn)而求出第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸于H，在中，，，，∴，∴，，由勾股定理得，∴B（，3），∵，，∴，∴逆時針旋轉(zhuǎn)后，得，以此類推，，，，，．．．，6次一個循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的規(guī)律探究．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，所對的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理，是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】x≤【解析】【詳解】∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件．12.關(guān)于x的方程x2-2（k-1）x+k2-1=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于16，k的值為_______．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=2（k-1），x1?x2=k2-1，然后將其代入x12+x22=（x1+x2）2-4x1x2列出關(guān)于k的新方程，通過解新方程即可求得k的值．【詳解】試題解析：∵關(guān)于x的方程x2-2（k-1）x+k2-1=0有兩個實(shí)數(shù)根，∴△=4（k-1）2-4（k2-1）≥0，解得，k≤1．設(shè)方程x2-2（k-1）x+k2-1=0兩個實(shí)數(shù)根為x1、x2．則x1+x2=2（k-1），x1x2=k2-1，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（k-1）2-2（k2-1）=16，即k2-4k-5=0，解得，k1=-1，k2=5（不合題意，舍去）.故答案為：-1【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．13.拋物線與x軸相交于點(diǎn)、，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，若，則當(dāng)時，y______0（填“”“”或“”號）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)、，對稱軸為，∴，，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，故答案為：．14.若等腰三角形三邊的長分別是，且是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則滿足上述條件的的值為_____．【答案】4或3##或【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出或或，結(jié)合一元二次方程的解的意義即可得出關(guān)于的一元一次方程，解方程可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三角形是等腰三角形，∴或或，①當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，②當(dāng)或時，∵是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，∴是的根，∴解得當(dāng)時，解得∴等腰三角形的邊長為，能組成三角形故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程的根，注意分類討論思想的應(yīng)用．15.如圖，C為線段AB的中點(diǎn)，D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接AE，若AB＝2，AE＝4，則CD的長為___．【答案】7【解析】【分析】連接AD、BE，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)知，DE=DB，∠BDE=60°，可證△BDE是等邊三角形，利用三角形內(nèi)角和180°求出∠BAD=，∠EAD=從而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，接著求出EH,AH，再利用勾股定理先后求出BE和CD．【詳解】解：如圖，連接AD、BE，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)知，DE=DB，∠BDE=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BE=BD∵C為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的處置平分線上，∴AD=BD=DE，BC=AB=×=∴∠BAD=，∠EAD=∴∠BAD+∠EAD=即∠BAE=∵∠BDE=60°∴∠BAE=150°∴∠HAE=180°-150°=30°∵AE=4∴EH=AE=2，AH=2∴BH=AH+AB=2+2=4∴BE===2∴BD=2∴CD===7故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形內(nèi)角和，勾股定理以及含30°的直角三角形，通過做輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．16.二次函數(shù)的部分xy對應(yīng)值如表：x02yn若，下列正確的有______（填序號即可）．①；②；③；④時，的解為，．【答案】①③④【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號，二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，對稱軸為，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與0的關(guān)系決定開口方向，據(jù)此逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：①函數(shù)的對稱軸為直線，即，則，∵，故在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，故拋物線開口向上，則，而，故，所以①正確；②∵對稱軸在y軸的右側(cè)，，∴，∵時，，∴，∴，∴，∴故②錯誤；③當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，故③正確；④當(dāng)時，即：時，，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴，解得，可以變形為，即探討一次函數(shù)與二次函數(shù)為圖象的交點(diǎn)情況，∵和是上述兩個圖象的交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程的解為，④正確，故答案為：①③④．三．解答題（共9小題，滿分72分）17.解下列一元二次方程（1）．（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用因式分解法求解即可；（2）運(yùn)用因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：，，，；【小問2詳解】，，，，．18.在中，，，順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，點(diǎn)E落在邊上，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)．（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）連接，求出的長．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（2）【解析】【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得答案；（2）連接，證明，，再利用勾股定理解答即可．【小問1詳解】解：∵順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；【小問2詳解】連接，∵順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，∴，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．19.在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)都在邊長均為1個單位長度的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）畫出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）寫出經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可直接得到．【答案】（1）作圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)（2）作圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行作圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可寫出繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后可得到．【小問1詳解】解：（1）如圖，即為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)；【小問2詳解】（2）如圖，即為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)；【小問3詳解】（3）繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后得到．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論實(shí)數(shù)m取得何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根的平方等于1，求m的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程和根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．（1）求出，再判斷即可；（2）求出方程的根是，再代入方程，即可求出答案．【小問1詳解】證明：，，所以無論實(shí)數(shù)m取得何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：∵方程有一個根的平方等于1，∴此根，當(dāng)根是1時，代入得：，即，此時m為任何數(shù)；當(dāng)根是時，，解得：，綜上所述，m為任意實(shí)數(shù)．21.哈市某展覽館計劃將長60米，寬40米的矩形場館重新布置，展覽館的中間是個1500平方米的矩形展覽區(qū)，四周留有等寬的通道．（1）求通道的寬為多少米？（2）若展覽區(qū)用彩色地磚鋪設(shè)，鋪設(shè)每平方米需要80元，通道用白色地磚鋪設(shè)，鋪設(shè)每平方米需要60元，鋪設(shè)整個展館需要多少錢？【答案】（1）5米；（2）174000元．【解析】【分析】（1）設(shè)通道寬為x米，則中間的矩形展覽區(qū)的長為米，寬為米，根據(jù)中間的矩形展覽區(qū)的面積為1500平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用總價＝單價×面積，即可求出結(jié)論．【小問1詳解】解：設(shè)通道的寬為x米，則中間的矩形展覽區(qū)的長為米，寬為米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：通道的寬為5米．【小問2詳解】解：（元）．答：鋪設(shè)整個展館需要174000元錢．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22.已知拋物線L：y=ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是直線x=2，交y軸于（0，4a）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線y=kx﹣2k+4（k≠0）與拋物線L相交A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），拋物線L的頂點(diǎn)記為點(diǎn)C；①若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，△ABC的面積為10，求a的值；②過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，延長AE交直線BC于F，求線段EF的長．【答案】（1）（2，0）；（2）①a=1；②EF=4．【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱軸和頂點(diǎn)即可求出拋物線L：，化為頂點(diǎn)式即可．（2）①由△ABC的面積，即可求出的值．再根據(jù)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線的解析式即可求出A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)．再代入拋物線解析式即可求出a的值．②聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，即可求出A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)．由C點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線BC的解析式，再根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和題意即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)和F點(diǎn)橫坐標(biāo)，將F點(diǎn)代入直線BC的解析式，即可求出F點(diǎn)縱坐標(biāo)．即可求出EF的長．【詳解】（1）∵拋物線L：的對稱軸是直線x=2，交y軸于（0，4a），∴，c=4a，∴，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)為(2，0)．（2）①過點(diǎn)C作CM∥y軸，交直線AB于M．∵C(2，0)，∴M的橫坐標(biāo)為2，把x=2代入y=kx-2k+4得：y=4，∴CM=4．∵△ABC的面積為10，∴，∴．∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，∴A(1，-k+4)，B(6，4k+4)，把A、B的坐標(biāo)代入y=a（x﹣2）2，得，解得：a=1；②聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，得：，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），∴直線BC的解析式為．∵過點(diǎn)A作AE軸，垂足為E，與直線BD交于點(diǎn)F∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，-4），∴EF=4．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題．主要考點(diǎn)為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其解析式并改為頂點(diǎn)式、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式求出其交點(diǎn)坐標(biāo)．23.已知一元二次方程x2-3x+1=0的兩根為，，求值：（1）（2）（3）【答案】（1）7；（2）3；（3）【解析】【分析】（1）對進(jìn)行通分可得，進(jìn)一步變形得再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出+，的值，帶入即可得到答案；（2）通過提取公因式得，再結(jié)合+，的值計算可得到答案；（3）把化簡變形為，再結(jié)合+，值帶入計算即可得到答案．【詳解】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0的兩根為，∴+=3，=1（1）==∵+=3，=1∴原式=；（2）∵+=3，=1，∴原式=1×3=3；（3）==∵+=3，=1，∴原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形應(yīng)用，二次根式性質(zhì)。解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的變形應(yīng)用以及一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系公式．24.在菱形中，，點(diǎn)P是對角線上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接并延長，分別交、于點(diǎn)M、N．①求證：；②若的最小值為，直接寫出菱形的面積為________．【答案】（1）見解析（2）①見解析②【解析】【分析】（1）菱形的性質(zhì)，得到，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而得到，即可得證；（2）①在上取點(diǎn)，使，證明，即可得證；②根據(jù)，得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，進(jìn)而得到的最小值，得到當(dāng)時，的值最小，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，求出菱形的對角線的長，即可得解．【小問1詳解】證明：∵在菱形中，，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到，∴，，∴∴，∴；【小問2詳解】①∵在菱形中，，∴，∵，∴，，在上取點(diǎn)，使，則，∵，∴，∴（等角的補(bǔ)角相等）；又，，∴，∴；②∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，，∴，，∴，∴當(dāng)取的最小值時，的值最小，即的值最小，∵點(diǎn)P是對角線上一動點(diǎn)，∴當(dāng)時，的值最小，∵的最小值為，∴的最小值為，∵菱形的對角線互相垂直平分，∴點(diǎn)為對角線的交點(diǎn)，∵，，，∴，∴，∴菱形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)．本題的綜合性強(qiáng)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是掌握菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．25.如圖，拋物線，經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第一