2024年中考數(shù)學沖刺：代數(shù)綜合問題-鞏固練習（基礎(chǔ)）

2024年中考數(shù)學沖刺：代數(shù)綜合問題—鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一、選擇題

1.如圖所示，已知函數(shù)和y＝kx(k≠0)的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是()A．B．C．D．2.（2016?河北模擬）如圖，點A是x軸正半軸上的任意一點，過點A作EF∥y軸，分別交反比例函數(shù)和的圖象于點E、F，且，連接OE、OF，有下列結(jié)論：①這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱；②△EOF的面積為（k1﹣k2）；③；④當∠EOF=90°時，，其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③3．下列說法中①若式子有意義，則x＞1.②已知∠α=27°，則∠α的補角是153°.③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一個實數(shù)根，則c的值為8.④在反比例函數(shù)中，若x＞0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是k＞2.其中正確的命題有（）A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題4．如圖所示，是二次函數(shù)(a≠0)和一次函數(shù)(n≠0)的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x的取值范圍________．5．已知二次函數(shù)．若此函數(shù)圖象的頂點在直線y＝-4上，則此函數(shù)解析式為．6.（2016?歷下區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正確的結(jié)論有．三、解答題7．（北京校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值；（3）在（2）中開口向上的拋物線y=mx2﹣（m+1）x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=﹣x上有一個動點P．求使PA+PB取得最小值時的點P的坐標，并求PA+PB的最小值．8.善于不斷改進學習方法的小迪發(fā)現(xiàn)，對解題進行回顧反思，學習效果更好．某一天小迪有20分鐘時間可用于學習．假設(shè)小迪用于解題的時間x(單位：分鐘)與學習收益量y的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時間x(單位：分鐘)與學習收益y的關(guān)系如圖2所示(其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點)，且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．(1)求小迪解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求小迪回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x的函數(shù)關(guān)系式；(3)問小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20分鐘的學習收益總量最大?9.已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點．（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值．10.已知：關(guān)于x的一元二次方程，其中．（1）求此方程的兩個實數(shù)根（用含m的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），若點D的坐標為（0，-2），且AD·BD=10，求拋物線的解析式；（3）已知點E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的拋物線上，是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試寫出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】C；【解析】本題考查方程組的解(數(shù))與直線交點(形)坐標之間的關(guān)系．2.【答案】B；【解析】①∵點E在反比例函數(shù)的圖象上，點F在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴k1=OA?EA，k2=﹣OA?FA，∴，∴這兩個函數(shù)的圖象不關(guān)于x軸對稱，即①錯誤；②∵點E在反比例函數(shù)y1=的圖象上，點F在反比例函數(shù)y2=的圖象上，∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正確；③由①可知，∴③錯誤；④設(shè)EA=5a，OA=b，則FA=3a，由勾股定理可知：OE=，OF=．∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，∴=，④正確．綜上可知：正確的結(jié)論有②④．3.【答案】B；【解析】若式子有意義，則x≥1，①錯誤；由∠α=27°得∠α的補角是=180°-27=153°，②正確.把x=2代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正確；反比例函數(shù)中，若x＞0時，y隨x的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④錯誤.故選B.二、填空題4.【答案】-2≤x≤1；【解析】本題考查不等式與比較函數(shù)值的大小之間的關(guān)系．5.【答案】，；【解析】∵頂點在直線y＝-4上，∴．，m＝±1．∴此函數(shù)解析式為：，．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵拋物線開口朝下，∴a＜0，∵對稱軸x=﹣=1，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；根據(jù)圖象知道當x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②正確；根據(jù)圖象知道拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故③錯誤；根據(jù)圖象知道當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正確；∵對稱軸x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正確．故答案為：①②④⑤．三、解答題7.【答案與解析】（1）證明：由題意得m≠0，∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：方程的兩個實數(shù)根為x=，∴x1=1，x2=，∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m為整數(shù)，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵拋物線y=mx2﹣（m+1）x+1的開口向上，∴m=1，則該拋物線的解析式為：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．易求得A（1，0），B（0，1）．如圖，點B關(guān)于直線y=﹣x的對稱點C的坐標為（﹣1，0），連接AC，與直線y=﹣x的交點即為符合條件的點P．此時點P與原點重合，則P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．8.【答案與解析】(1)設(shè)y＝kx，當x＝1時，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．(2)當0≤x＜4時，設(shè)y＝a(x-4)2+16．由題意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，即當0≤x＜4時，．當4≤x≤10時，y＝16．(3)設(shè)小迪用于回顧反思的時間為x(0≤x≤10)分鐘，學習收益總量為y，則她用于解題的時間為(20-x)分鐘．當0≤x＜4時，．當x＝3時，．當4≤x≤10時，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y隨x的增大而減小，因此當x＝4時，，綜上，當x＝3時，，此時20-x＝17．答：小迪用于回顧反思的時間為3分鐘，用于解題的時間為17分鐘時，學習收益總量最大．9．【答案與解析】解：(1)因為點P、Q在拋物線上且縱坐標相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．所以拋物線對稱軸，所以．（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0．因為，=16-8=80．所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是，．（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式為．若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數(shù)解即可．由==<0，得又是正整數(shù)，所以的最小值為2．10．【答案與解析】解：（1）將原方程整理，得，△=＞0∴．∴或．（2）由（1）知，拋物線與軸的交點分別為（m，0）、（4,0），∵A在B的左側(cè)，.∴A（m，0），B（4,0）.則，．∵AD·BD=10，∴AD2·BD2=100.∴.解得.∵，∴.∴，.∴拋物線的解析式為.（3）答：存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式，如：（答案不唯一）.證明：由題意可得，，.∵左邊=.右邊=－－4=.∴左邊=右邊.∴成立.中考沖刺：代數(shù)綜合問題—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1.如圖，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，對角線OC、AB交于點D，點E、F、G分別是CD、BD、BC的中點，以O(shè)為原點，直線OB為x軸建立平面直角坐標系，則G、E、D、F四個點中與點A在同一反比例函數(shù)圖象上的是（） A．點G B．點E C．點D D．點F2．已知函數(shù)y=，若使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（） A．0 B．1 C．2 D．33.（2016秋?重慶校級月考）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點為（﹣1，0），下列結(jié)論：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題4．若a+b-2-4=3-c-5，則a+b+c的值為.5．已知關(guān)于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．6.（和平區(qū)校級期中）關(guān)于x的方程，2kx2-2x-3k=0的兩根一個大于1，一個小于1，則實數(shù)k的的取值范圍是.三、解答題7．（2016?梅州）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實根x1、x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍．（2）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．8.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若直線與函數(shù)的圖象的一個交點的橫坐標為2，求關(guān)于的一元二次方程的解．（3）在（2）的條件下，將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)，得到圖象，點為軸上的一個動點，過點作軸的垂線，分別與圖象、交于兩點，當線段的長度最小時，求點的坐標．9.拋物線，a＞0，c＜0，．（1）求證：；（2）拋物線經(jīng)過點，Q．①判斷的符號；②若拋物線與x軸的兩個交點分別為點A，點B（點A在點B左側(cè)），請說明，．10.已知：二次函數(shù)y=．（1）求證：此二次函數(shù)與x軸有交點；（2）若m-1=0,求證方程有一個實數(shù)根為1；（3）在（2）的條件下，設(shè)方程的另一根為a,當x=2時，關(guān)于n的函數(shù)與的圖象交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），平行于y軸的直線L與、的圖象分別交于點C、D，若CD=6，求點C、D的坐標.【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9∴點A的坐標為（9，12）∵點G是BC的中點∴點G的坐標是（18，6）∵9×12=18×6=108∴點G與點A在同一反比例函數(shù)圖象上，故選A．2.【答案】D；【解析】函數(shù)y=的圖象如圖：根據(jù)圖象知道當y=3時，對應成立的x有恰好有三個，∴k=3．故選D．3.【答案】B；【解析】①∵拋物線開口朝上，∴a＞0．∵拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0．當x=0時，y=c+2＞2，∴c＞0．∴abc＞0，①錯誤；②∵拋物線與x軸只有一個交點，∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，②錯誤；③∵拋物線的頂點為（﹣1，0），∴拋物線解析式為y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，∴a=c+2＞2，③正確；④∵b=2a，c＞0，∴4a﹣2b+c=c＞0，④正確．故選B．二、填空題4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0

（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，

∴=1，=2，=3，

∵a≥1，b≥2，c≥3，

∴a=2，b=6，c=12，

∴a+b+c=20．

故答案為：20．5.【答案】【解析】利用數(shù)形結(jié)合的方法將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=x2+（k-5）x+9圖象開口向上，與x軸的一個交點的橫坐標在1＜x＜2內(nèi)，故有兩種情況，分析得出結(jié)論.6.【答案】k＞0或k＜-2.【解析】設(shè)y=2kx2-2x-3k,∵方程2kx2-2x-3k=0d的兩根一個大于1，一個小于1，∴當k＞0，拋物線開口向上，x=1時，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0∴當k＜0，拋物線開口向下，x=1時，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2.∴k＜-2∴k的取值范圍為：k＞0或k＜-2.三、解答題7．【答案與解析】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即實數(shù)k的取值范圍是k＞；（2）∵根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，又∵方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1?x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．8．【答案與解析】（1）證明： ∵不論取何值時，∴，即∴不論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）將代入方程，得再將代入，原方程化為，解得．（3）將代入得拋物線：，將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)得到的圖象的解析式為：．設(shè)，則，∴當時，的長度最小，此時點的坐標為9．【答案與解析】（1）證明：∵，∴．∵a＞0，c＜0，∴，．∴．（2）解：∵拋物線經(jīng)過點P，點Q，∴①∵，a＞0，c＜0，∴，．∴＜0．＞0．∴．②由a＞0知拋物線開口向上．∵，，∴點P和點Q分別位于x軸下方和x軸上方．∵點A，B的坐標分別為A，B（點A在點B左側(cè)），∴由拋物線的示意圖可知，對稱軸右側(cè)的點B的橫坐標滿足．（如圖所示）∵拋物線的對稱軸為直線，由拋物線的對稱性可，由（1）知，∴．∴，即．10．【答案與解析】（1）證明：令，則有△=∵，∴△≥0∴二次函數(shù)y=與x軸有交點（2）解：解法一：由，方程可化為解得：∴方程有一個實數(shù)根為1解法二：由，方程可化為當x=1時，方程左邊=1+(n-2)+1-n=0方程右邊=0∴左邊=右邊∴方程有一個實數(shù)根為1（3）解：方程的根是：∴當=2時，，設(shè)點C（）則點D（）∵CD=6，∴∴∴C、D兩點的坐標分別為C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）中考沖刺：代數(shù)綜合問題—知識講解（基礎(chǔ)）【中考展望】初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式的確定及函數(shù)性質(zhì)等重要基礎(chǔ)知識，是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵．在許多問題中，代數(shù)和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結(jié)合的方法找到解決問題的突破口．通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．【方法點撥】(1)對“數(shù)學概念”的深刻理解是解綜合題的基礎(chǔ)；(2)認識綜合題的結(jié)構(gòu)是解綜合題的前提；(3)靈活運用數(shù)學思想方法是解綜合題的關(guān)鍵；(4)幫助學生建立思維程序是解綜合題的核心．*審題(讀題、斷句、找關(guān)鍵)；*先宏觀(題型、知識塊、方法)；后微觀(具體條件，具體定理、公式)*由已知，想可知(聯(lián)想知識)；由未知，想須知(應具備的條件)，注意知識的結(jié)合；*觀察——挖掘題目結(jié)構(gòu)特征；聯(lián)想——聯(lián)系相關(guān)知識網(wǎng)絡；突破——抓往關(guān)鍵實現(xiàn)突破；尋求——學會尋求解題思路．(5)準確計算，嚴密推理是解綜合題的保證．【典型例題】類型一、方程與不等式綜合1．已知方程組的解滿足求a的取值范圍．【思路點撥】本題考查了含字母系數(shù)的方程解法及利用不等式組求字母的取值范圍問題．【答案與解析】解：①×3－②×2得：y＝13a－4①×4－②×3得：x＝18a－5由題意令x＞0，y＞0得：∴.【總結(jié)升華】在解含字母系數(shù)的方程時要分清未知數(shù)和字母常數(shù)，這樣才能更準確地對方程進行求解．2．m為何值時，是完全平方式？【思路點撥】本題直觀考查完全平方式的特征，但是因為代數(shù)式的定性衍生出方程，不定性衍生出函數(shù)，所以完全平方式形式在方程和函數(shù)中又被賦予了獨有的含義．因此，本題也可以看作是間接考查了對完全平方式不同角度的理解．【答案與解析】解：解法1：待定系數(shù)法設(shè)原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4所以m2+2m+l＝m2-4m+4，；解法2：配方法原式＝．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，；解法3：判別式法因為是完全平方式，所以方程有兩等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，；解法4：因為是完全平方式，所以令，所以拋物線頂點在x軸上，，，，．【總結(jié)升華】對于代數(shù)式，可以考慮其為特殊值，將其看作方程，從方程的角度解決問題；也可以考慮其值不定，從函數(shù)的角度解決問題．解決問題的角度不同，但結(jié)果是相同的．類型二、方程與函數(shù)綜合3．請你根據(jù)下圖中圖象所提供的信息，解答下面問題：(1)分別寫出，中變量y隨x變化而變化的情況；(2)寫出一個二元一次方程組，使它滿足圖象中的條件．【思路點撥】本題是一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合題．本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，兩個一次函數(shù)圖象的交點與方程組的解的關(guān)系．【答案與解析】解：(1)的值隨x的增大而增大；的值隨x的增大而減?。?2)設(shè)直線，的函數(shù)表達式分別為，，由題意得，．解得：，．∴直線，的函數(shù)表達式分別為，．∴所求的方程組為．【總結(jié)升華】利用函數(shù)及圖象解決方程組的解的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．舉一反三：【高清課堂:代數(shù)綜合問題例2】【變式】已知：如圖，平行于x軸的直線y＝a(a≠0)與函數(shù)y＝x和函數(shù)的圖象分別交于點A和點B，又有定點P(2，0)．(1)若a＞0，且，求線段AB的長；(2)在過A，B兩點且頂點在直線y＝x上的拋物線中，已知線段，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x的增大而增大，求滿足條件的拋物線的解析式；(3)已知經(jīng)過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到的圖象，求點P到直線AB的距離．【答案】解：（1）設(shè)第一象限內(nèi)的點B（m,n），則，得m=9n，又點B在函數(shù)的圖象上，得，所以m=3（－3舍去），點B為，而AB∥x軸，所以點A，所以．（2）由條件可知所求拋物線開口向下，設(shè)點A（a,a），B（），則,所以，解得.當a=－3時，點A（―3，―3），B，因為頂點在y=x上，所以頂點為，所以可設(shè)二次函數(shù)為，點A代入，解得,所以所求函數(shù)解析式為.同理，當時，所求函數(shù)解析式為；（3）設(shè)A（a,a），B（），由條件可知拋物線的對稱軸為.設(shè)所求二次函數(shù)解析式為：.點A(a,a)代入，解得，，所以點P到直線AB的距離為3或[【高清課堂:代數(shù)綜合問題例1】 4．（門頭溝區(qū)期末）已知：關(guān)于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；（2）如果該方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值；（3）在（2）的條件下，令y=mx2+（3m+1）x+3，如果當x1=a與x2=a+n（n≠0）時有y1=y2，求代數(shù)式4a2+12an+5n2+16n+8的值．【思路點撥】（1）注意對m的取值進行分類討論：即當m=0和m≠0時；（2）先解方程，由于方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，得m的值；（3）由（2）得函數(shù)解析式，利用函數(shù)的對稱性，得a與n的關(guān)系，然后再利用整體代入的方法計算．【答案與解析】（1）證明：當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數(shù)根x=﹣3；當m≠0時，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．∵（3m﹣1）2≥0，∴不論m為任何實數(shù)時總有兩個實數(shù)根，綜上所述，不論m為任何實數(shù)時，方程mx2+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根；（2）解：當m≠0時，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得x1=﹣3，x2=，∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，∴y=x2+4x+3，又∵當x1=a與x2=a+n（n≠0）時有y1=y2，∴當x1=a時，y1=a2+4a+3，當x2=a+n時，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，化簡得2an+n2+4n=0，即n（2a+n+4）=0，又∵n≠0，∴2a=﹣n﹣4，∴4a2+12an+5n2+16n+8=（2a）2+2a?6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．【總結(jié)升華】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，此題難度不大，第三問需要整體代入．舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此時方程的兩根．【答案】解：（1）證明：由關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵無論m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程總有兩個不相等的實數(shù)根.（2）∵x1，x2是原方程的兩根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1.∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.當m=－3時，原方程化為：x2－2=0，解得：x1=，x2=－.當m=1時，原方程化為：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－.類型三、以代數(shù)為主的綜合題5．（2017?曲靖一模）如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=ax2+bx+c過A（1，0），B，C三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖形上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值．（3）在（2）的條件下，當MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PBN是以BN為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）由點A、B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）假設(shè)存在，設(shè)出點P的坐標為（2，n），結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點N的坐標，結(jié)合點N、B的坐標利用兩點間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點P的坐標．【答案與解析】解：（1）由題意點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．（2）設(shè)點M的坐標為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把點點B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．∵MN∥y軸，∴點N的坐標為（m，﹣m+3）．∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對稱軸為x=2，∴點（1，0）在拋物線的圖象上，∴1＜m＜3．∵線段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴當m=時，線段MN取最大值，最大值為．（3）假設(shè)存在．設(shè)點P的坐標為（2，n）．當m=時，點N的坐標為（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN為等腰三角形分三種情況：①當PB=BN時，即=，解得：n=±，此時點P的坐標為（2，﹣）或（2，）；②當PN=BN時，即=，解得：n=，此時點P的坐標為（2，）或（2，）．綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點P，使△PBN是等腰三角形，點P的坐標為（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【總結(jié)升華】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點間的距離以及等腰三角形的性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點△AB點【答案】解：（1）根據(jù)題意，得解得∴二次函數(shù)的表達式為．（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點坐標C（5,0）.由于P是對稱軸上一點，連結(jié)AB，由于，要使△ABAC對稱，連結(jié)BC交對稱軸于點P，則=BP+PC=BC根據(jù)兩點之間，線段最短，可得BCBC的交點P就是所求的點.設(shè)直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得所求的點P的坐標為（2，-3）.中考沖刺：代數(shù)綜合問題—知識講解（提高）【中考展望】初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式的確定及函數(shù)性質(zhì)等重要基礎(chǔ)知識，是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵．在許多問題中，代數(shù)和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結(jié)合的方法找到解決問題的突破口．通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．【方法點撥】(1)對“數(shù)學概念”的深刻理解是解綜合題的基礎(chǔ)；(2)認識綜合題的結(jié)構(gòu)是解綜合題的前提；(3)靈活運用數(shù)學思想方法是解綜合題的關(guān)鍵；(4)幫助學生建立思維程序是解綜合題的核心．*審題(讀題、斷句、找關(guān)鍵)；*先宏觀(題型、知識塊、方法)；后微觀(具體條件，具體定理、公式)*由已知，想可知(聯(lián)想知識)；由未知，想須知(應具備的條件)，注意知識的結(jié)合；*觀察——挖掘題目結(jié)構(gòu)特征；聯(lián)想——聯(lián)系相關(guān)知識網(wǎng)絡；突破——抓往關(guān)鍵實現(xiàn)突破；尋求——學會尋求解題思路．(5)準確計算，嚴密推理是解綜合題的保證．【典型例題】類型一、函數(shù)綜合 1．已知函數(shù)和y＝kx+1(k≠0)．(1)若這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，a)，求a和k的值；(2)當k取何值時，這兩個函數(shù)的圖象總有公共點?【思路點撥】本題是一次函數(shù)，反比例函數(shù)的綜合題．本題考查了函數(shù)解析式的求法和利用判別式判斷函數(shù)圖象交點個數(shù)．【答案與解析】解：(1)∵兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，a)，∴解得(2)將代入y＝kx+1，消去y，得．∵k≠0，∴要使得兩函數(shù)的圖象總有公共點，只要△≥0即可．∵△＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥．∴k≥且k≠0時這兩個函數(shù)的圖象總有公共點．【總結(jié)升華】兩圖象交點的個數(shù)常常通過建立方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的判別式來判斷．若△＞0，兩圖象有兩個公共點；若△＝0，兩圖象有一個公共點；若△＜0，兩圖象沒有公共點．舉一反三：【變式】如圖，一元二次方程的兩根，（＜）是拋物線與軸的兩個交點，的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；(3)在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標．【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（-3，0），B（1，0）.將A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入拋物線的解析式，得解這個方程組，得拋物線解析式為.(2)由，得拋物線頂點P的坐標為（-1，-2），對稱軸為直線x=-1.設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將A（3，6），C（-3，0）代入,得解這個方程組，得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3.由于Q點是拋物線的對稱軸與直線AC的交點，故解方程組得點Q坐標為（-1，2）.(3)作A點關(guān)于x軸的對稱點，連接，與軸交點即為所求的點.設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.∴解這個方程組，得直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x.令x=0，則y=0.點M的坐標為（0，0）.類型二、函數(shù)與方程綜合2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)與，這兩個二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點．(1)試判斷哪個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B兩點；(2)若A點坐標為(-1，0)，試求B點坐標；(3)在(2)的條件下，對于經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小?【思路點撥】本題是二次函數(shù)與一元二次方程的綜合題．本題考查了利用一元二次方程根的判別式判斷二次函數(shù)圖象，與x軸的交點個數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)．【答案與解析】解：(1)對于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于△＝(-m)2－4×1×，所以此函數(shù)的圖象與x軸沒有交點．對于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于△＝，所以此函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點．故圖象經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)為．(2)將A(-1，0)代入，得．整理，得．解之，得m＝0，或m＝2．①當m＝0時，．令y＝0，得．解這個方程，得，．此時，B點的坐標是B(1，0)．②當m＝2時，．令y＝0，得．解這個方程，得x3＝-1，x4＝3．此時，B點的坐標是B(3，0)．(3)當m＝0時，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x＝0，所以當x＜0時，函數(shù)值y隨x的增大而減?。攎＝2時，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x＝1，所以當x＜1時，函數(shù)值y隨x的增大而減?。究偨Y(jié)升華】從題目的結(jié)構(gòu)來看，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)思想是變量思想，變量也可用常量來求解．舉一反三：【高清課堂:代數(shù)綜合問題例3】【變式】（2016·門頭溝一模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．（1）求證該方程有兩個實數(shù)根；（2）如果拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸交于A、B兩個整數(shù)點（點A在點B左側(cè)），且m為正整數(shù)，求此拋物線的表達式；（3）在（2）的條件下，拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與y軸交于點C，點B關(guān)于y軸的對稱點為D，設(shè)此拋物線在－3≤x≤之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個單位長度后與直線CD有公共點，求n的取值范圍．【答案】（1）證明：∵△=(3m+1)2－4×m×3=(3m－1)2.∵(3m－1)2≥0，∴△≥0，∴原方程有兩個實數(shù)根（2）解：令y=0，那么mx2+(3m+1)x+3=0.解得，.∵拋物線與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，∴m=1.∴拋物線的表達式為.（3）解：∵當x=0時，y=3，∴C（0，3）.∵當y=0時，x1=－3，x2=－1.又∵點A在點B左側(cè)，∴A（－3，0），B（－1，0）.∵點D與點B關(guān)于y軸對稱，∴D（1，0）.設(shè)直線CD的表達式為y=kx+b.∴解得∴直線CD的表達式為y=－3x+3.又∵當時，.∴A（－3，0），E（，），∴平移后，點A，E的對應點分別為A'（－3+n，0），E'（，）.當直線y=－3x+3過點A'（－3+n，0）時，∴－3(－3+n)+3=0，∴n=4.當直線y=－3x+3過點E'（，）時，∴，∴n=.∴n的取值范圍是≤n≤4.類型三、以代數(shù)為主的綜合題3．如圖所示，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2，0)，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OB．(1)求點B的坐標；(2)求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．(4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．【思路點撥】(1)由∠AOB＝120°可得OB與x軸正半軸的夾角為60°，利用OB＝2及三角函數(shù)可求得點B的坐標；(2)利用待定系數(shù)法可求出解析式；(3)OB為定值，即求BC+CO最小．利用二次函數(shù)的對稱性可知點C為直線AB與對稱軸的交點；(4)利用轉(zhuǎn)化的方法列出關(guān)于點P的橫坐標x的函數(shù)關(guān)系式求解．【答案與解析】解：(1)B(1，)．(2)設(shè)拋物線的解析式為，代入點B(1，)，得．所以．(3)如圖所示，拋物線的對稱軸是直線x＝-1，因為A，O關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最?。O(shè)直線AB的解析式為，則解得因此直線AB的解析式為．當時，．因此點C的坐標為．(4)如圖所示，過P作y軸的平行線交AB于D，設(shè)其交x軸于E，交過點B與x軸平行的直線于F．設(shè)點P的橫坐標為x．則．當時，△PAB的面積的最大值為，此時．【總結(jié)升華】本題為二次函數(shù)的綜合題，綜合程度較高，要掌握利用點的坐標表示坐標軸上線段的方法．因為線段的長度為正數(shù)，所以在用點的坐標表示線段長度時，我們用“右邊點的橫坐標減左邊點的橫坐標，上邊點的縱坐標減下邊點的縱坐標”，從而不用加絕對值號，本題中線段PD的長為就是利用了這一規(guī)律．4．（2015.北京東城一模）在平面直角坐標系中