2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)-鞏固練習(xí)（提高）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值是（）A．1B．C．1或D．0.52．如果關(guān)于x的方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．B．C.D．3．已知相切兩圓的半徑是一元二次方程x2-7x+12＝0的兩個(gè)根，則這兩個(gè)圓的圓心距是()A．7B．1或7C．1D．64．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值（）A．2007B．2005C．－2007D．40105．（2015?永州）定義[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，下列式子中錯(cuò)誤的是（）A．[x]=x（x為整數(shù)） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)）6．已知x是實(shí)數(shù)，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值為（）

A.1B.-3或1C.3D.-1或3二、填空題7．（2015春?蕭山區(qū)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則：（1）字母k的取值范圍為；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，那么k的值為，此時(shí)方程的根為．8．若不等式組有解，那么a必須滿足________．9．關(guān)于x的方程k(x+1)=1+2x有非負(fù)數(shù)解，則k的取值范圍是________．10．當(dāng)a=________時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根.11．當(dāng)____________時(shí)，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3.12．已知關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為_(kāi)_____．三、解答題13．用換元法解方程：．14.已知：△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，試問(wèn)：k取何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？15．已知關(guān)于x的一元二次方程（）①.（1）若方程①有一個(gè)正實(shí)根c，且.求b的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)，方程①與關(guān)于x的方程②有一個(gè)相同的非零實(shí)根，求的值.16.（2014春?西城區(qū)校級(jí)期中）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤(rùn)1200元．設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)為x，A、B兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為y（元）．（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出自變量x的取值范圍；（3）利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】方程的解必滿足方程，因此將代入，即可得到，注意到一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，故應(yīng)選B.2.【答案】D；【解析】方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，說(shuō)明方程是一元二次方程，因此有，其次方程有兩個(gè)不等實(shí)根，故有.故應(yīng)選D.3.【答案】B；【解析】解一元二次方程x2-7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，兩圓相切包括兩圓內(nèi)切和兩圓外切．當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，d＝x2-x1＝1；當(dāng)兩圓外切時(shí)，d＝x1+x2＝7．4.【答案】B；【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則，把它代入原式得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以原式=2005.5.【答案】C；【解析】A、∵[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，∴當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，[x]=x，成立；B、∵[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù)，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)），成立；故選：C．6.【答案】A；【解析】設(shè)x2+3x=y,則原方程可變?yōu)?y=2,即y2+2y-3=0.

∴y1=-3,y2=1.經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的解.∴x2+3x=-3或1.因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有實(shí)數(shù)解.

當(dāng)x2+3x=-3時(shí)，即是x2+3x+3=0，此時(shí)Δ=32-4×1×3<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即x不是實(shí)數(shù)，與題設(shè)不符，應(yīng)舍去；當(dāng)x2+3x=1時(shí)，即是x2+3x-1=0，此時(shí)Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有實(shí)數(shù)解，即x是實(shí)數(shù)，符合題設(shè)，故x2+3x=1.正確答案：選A.二、填空題7．【答案】(1)k＜；(2)2，0，2．【解析】（1）根據(jù)題意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；故答案為：k＜；（2）由k為正整數(shù)，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解為x=﹣1±，∵方程的解為整數(shù)，∴5﹣2k為完全平方數(shù)，則k的值為2，∴方程為：x2﹣2x=0，解得：x1=0，x2=2.故答案為：2，0，2．8．【答案】a＞-2；【解析】畫出草圖，兩個(gè)不等式有公共部分.9．【答案】1≤k＜2；10．【答案】3；【解析】先去分母，再把x=3代入去分母后的式子得a=3.11．【答案】；【解析】設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為x1、x2,因?yàn)閮蓚€(gè)實(shí)根一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3，所以（x1-3）（x2-3）＜0，化簡(jiǎn)為x1x2-3（x1+x2）+9＜0，由根與系數(shù)關(guān)系解得.12．【答案】；【解析】去分母解得x=m+6,解為正數(shù)得m＞-6，由x≠2得m≠-4.故.三、解答題13.【答案與解析】解：，．設(shè)，則，整理，得．解得y1＝3，y2＝-1．當(dāng)y＝3時(shí)，，，解得x1＝2，x2＝1；當(dāng)y＝-1時(shí)，，，△＝1-8＝-7＜0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝2，x2＝1是原方程的根．∴原方程的根是x1＝2，x2＝1．14.【答案與解析】解：設(shè)邊AB＝a，AC＝b．∵a、b是的兩根，∴a+b＝2k+3，a·b＝k2+3k+2．又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC＝5，∴，即．∴，∴或．當(dāng)k＝-5時(shí)，方程為．解得，．（舍去）當(dāng)k＝2時(shí)，方程為x2-7x+12＝0．解得x1＝3，x2＝4．∴當(dāng)k＝2時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．15.【答案與解析】解：（1）∵c為方程的一個(gè)正實(shí)根（），∴∵,∴，即.∵，∴.解得．又（由，）．∴．解得．∴．（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程①為.設(shè)方程①與方程②的相同實(shí)根為m，∴③④④－③得.整理，得.∵m≠0，∴.解得.把代入方程③得.∴，即.當(dāng)時(shí)，.16.【答案與解析】解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50﹣x）件，由題意得：y=700x+1200（50﹣x）=﹣500x+60000，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣500x+60000；（2）由題意得，解得30≤x≤32．∵x為整數(shù)，∴整數(shù)x=30，31或32；（3）∵y=﹣500x+60000，﹣500＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x=30，31或32，∴當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值為﹣500×30+60000=45000．即生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是45000元．中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1．會(huì)從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；2．掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無(wú)理式為有理式”；3．理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(組)、列不等式(組)解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題；5.解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.3.等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).5.一元一次方程解法的一般步驟整理方程——去分母——去括號(hào)——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1——(檢驗(yàn)方程的解).6.列一元一次方程解應(yīng)用題(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問(wèn)題”仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問(wèn)題”利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題的常用公式：(1)行程問(wèn)題：距離=速度×?xí)r間；(2)工程問(wèn)題：工作量=工效×工時(shí)；(3)比率問(wèn)題：部分=全體×比率；(4)順逆流問(wèn)題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；(5)商品價(jià)格問(wèn)題：售價(jià)=定價(jià)·折·，利潤(rùn)=售價(jià)-成本，；(6)周長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長(zhǎng)方形=2(a+b)，S長(zhǎng)方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=π(R2-r2)，V長(zhǎng)方體=abh，V正方體=a3，V圓柱=πR2h，V圓錐=πR2h.考點(diǎn)二、一元二次方程1.一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法.直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.要點(diǎn)詮釋：一元二次方程的解法中直接開(kāi)平方法和因式分解法是特殊方法，比較簡(jiǎn)單，但不是所有的一元二次方程都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用這兩種方法去解.考點(diǎn)三、分式方程1.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母；②解所得的整式方程；③驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根.3.分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根.考點(diǎn)四、二元一次方程（組）1.二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解.3.二元一次方程組兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.4.二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程組的解法①代入消元法；②加減消元法.6.三元一次方程（組）（1）三元一次方程把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程組由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：二元一次方程組的解法：消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.考點(diǎn)五、不等式（組）1.不等式的概念（1）不等式用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解.對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集.求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.2.不等式基本性質(zhì)（1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤將x項(xiàng)的系數(shù)化為1.4.一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的概念幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組.幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組.當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集.（2）一元一次不等式組的解法①分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.【典型例題】類型一、方程的綜合運(yùn)用 1．如圖所示，已知函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是________．【思路點(diǎn)撥】?jī)蓤D象的交點(diǎn)就是方程組的解.【答案】【解析】由圖象可知y＝ax+b與y＝kx的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4，-2)，所以二元一次方程組的解為【總結(jié)升華】方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的練習(xí)與思考．舉一反三：【變式】已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若直線與函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求關(guān)于的一元二次方程的解．【答案】（1）證明： ∵不論取何值時(shí)，∴，即∴不論取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根..（2）將代入方程，得再將代入，原方程化為，解得．2．已知:關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；（2）求代數(shù)式的值；（3）求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)一元一次方程及根的條件，求k的值；

（2）把交點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求出值；

（3）根據(jù)根的判別式和一元一次方程的根為正實(shí)數(shù)得出x有兩不相等的實(shí)數(shù)根．【答案與解析】（1）解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.依題意k-1≠0.∴.∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),∴k-1=1或k-1=2.∴k1=2,k2=3.（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），∴0=a-b+kc,kc=b-a.∴=（3）證明：方程②的判別式為Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.由a≠0,c≠0,得ac≠0.(i)若ac<0,則-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(ii)證法一:若ac>0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).∵方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，∴方程(k-1)x=2的根為正實(shí)數(shù).由x>0,2>0,得k-1>0.∴4ac(k-1)>0.∵(a-kc)20,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證法二:若ac>0,∵拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點(diǎn),∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).由證法一知k-1>0,∴b2-4ac>b2-4akc0.∴Δ=b2-4ac>0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.綜上,方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【總結(jié)升華】方程與函數(shù)綜合題.中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透.舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）若x=－2是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和方程的另一個(gè)根；（2）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】（1）解：把x=－2代入方程，得，即.解得，.當(dāng)時(shí)，原方程為，則方程的另一個(gè)根為.當(dāng)時(shí)，原方程為，則方程的另一個(gè)根為.（2）證明：，∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，，∴.∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.類型二、解不等式（組）3．（2015?江西樣卷）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【思路點(diǎn)撥】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．【答案與解析】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式組的解集為：﹣2＜x≤1．在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：【總結(jié)升華】注意解不等式組的解題步驟，在數(shù)軸上表示不等式組時(shí)，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．舉一反三：【變式】（2014?泗縣校級(jí)模擬）求不等式組的整數(shù)解，并在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤6，∴不等式組的解集是：﹣2＜x≤6．∴整數(shù)解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．在數(shù)軸上表示出來(lái)為：．類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用4．如果關(guān)于x的方程的解也是不等式組的一個(gè)解，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】解方程求出x的值（是用含有m的式子表示的），再解不等式組求出x的取值范圍，最后方程的解與不等式組的解結(jié)合起來(lái)求m的取值范圍.【答案與解析】解方程，得x＝-m-2．因?yàn)?，所以m≠-4且m≠0時(shí)，有．所以方程的解為x＝-m-2．其中m≠-4且m≠0．解不等式組得x≤-2．由題意，得-m-2≤-2，解得m≥0．所以m的取值范圍是m＞0．【總結(jié)升華】方程與不等式的綜合題，是中考考查的重點(diǎn)之一．舉一反三：【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：405277關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1】【變式】如果不等式組的解集是，那么的值為．【答案】解不等式組得：，因?yàn)椴坏仁浇M的解集是，所以解得所以.5．某采摘農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植兩種草莓共6畝，根據(jù)表格信息，解答下列問(wèn)題：項(xiàng)目品種AB年畝產(chǎn)（單位：千克）12002000采摘價(jià)格（單位：元/千克）6040(1)若該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入為46000O元，那么兩種草莓各種多少畝?(2)若要求種植種草莓的畝數(shù)不少于種植種草莓的一半，那么種植種草莓多少畝時(shí)，可使該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多?【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等量關(guān)系：總收入=A地的畝數(shù)×年畝產(chǎn)量×采摘價(jià)格+B地的畝數(shù)×年畝產(chǎn)量×采摘價(jià)格，列方程求解；

（2）這是一道只有一個(gè)函數(shù)關(guān)系式的求最值問(wèn)題，根據(jù)題意確定自變量的取值范圍，由函數(shù)y隨x的變化求出最大利潤(rùn)．【答案與解析】設(shè)該農(nóng)場(chǎng)種植種草莓畝，種草莓畝依題意，得：解得：,(2)由，解得設(shè)農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為464000答：(l)A種草莓種植2.5畝,B種草莓種植3.5畝．(2)若種植A種草莓的畝數(shù)不少于種植B種草莓的一半，那么種植A種草莓2畝時(shí)，可使農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多.【總結(jié)升華】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題．注意利用一次函數(shù)求最值時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值．舉一反三：【變式】某運(yùn)輸公司用10輛相同的汽車將一批蘋果運(yùn)到外地，每輛汽車能裝8噸甲種蘋果，或10噸乙種蘋果，或11噸丙種蘋果．公司規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，而且必須滿載．已知公司運(yùn)送了甲、乙、丙三種蘋果共100噸，且每種蘋果不少于一車．（1）設(shè)用x輛車裝甲種蘋果，y輛車裝乙種蘋果，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若運(yùn)送三種蘋果所獲利潤(rùn)的情況如下表所示：蘋果品種甲乙丙每噸蘋果所獲利潤(rùn)（萬(wàn)元）0.220.210.2設(shè)此次運(yùn)輸?shù)睦麧?rùn)為W（萬(wàn)元），問(wèn)：如何安排車輛分配方案才能使運(yùn)輸利潤(rùn)W最大，并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）∵，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．∵y≥1，解得x≤3．∵x≥1，≥1，且x是正整數(shù)，∴自變量x的取值范圍是x=1或x=2或x=3．（2）．因?yàn)閃隨x的增大而減小，所以x取1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)（萬(wàn)元）．獲得最大運(yùn)輸利潤(rùn)的方案為：用1輛車裝甲種蘋果，用7輛車裝乙種蘋果，2輛車裝丙種蘋果．類型四、用不等式（組）解決決策性問(wèn)題6．為了美化家園，創(chuàng)建文明城市，園林部門決定利用現(xiàn)有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)，擺放在迎賓大道兩側(cè)，搭配每個(gè)造型所需花卉的情況如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆綜合上述信息，解答下列問(wèn)題：(1)符合題意的搭配方案有哪兒種?(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本為1000元，搭配一個(gè)B種選型的成本為1200元，試說(shuō)明選用(1)中哪種方案成本最低?【思路點(diǎn)撥】本題首先需要從文字和表格中獲取信息，建立不等式(組)，然后求出其解集，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，再求出正整數(shù)解，從而確定搭配方案．【答案與解析】解：(1)設(shè)搭配x個(gè)A種造型，則需要搭配(50-x)個(gè)B種造型，由題意，得解得30≤x≤32．所以x的正整數(shù)解為30，31，32．所以符合題意的方案有3種，分別為：A種造型30個(gè)，B種造型20個(gè)；A種造型31個(gè)，B種造型19個(gè)；A種造型32個(gè)，B種造型18個(gè)．(2)由題意易知，三種方案的成本分別為：第一種方案：30×1000+20×1200＝54000；第二種辦案：31×1000+19×1200＝53800；第三種方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三種方案成本最低．【總結(jié)升華】實(shí)際問(wèn)題的“最值問(wèn)題”一般是指“成本最低”、“利潤(rùn)最高”、“支出最少”等問(wèn)題．舉一反三：【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：405277關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例4】【變式】某商場(chǎng)“家電下鄉(xiāng)”指定型號(hào)冰箱，彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：（1）按國(guó)家政策，購(gòu)買“家電下鄉(xiāng)”產(chǎn)品享受售價(jià)13％的政府補(bǔ)貼.若到該商場(chǎng)購(gòu)買了冰箱，彩電各一臺(tái)，可以享受多少元的補(bǔ)貼？(2)為滿足需求，商場(chǎng)決定用不超過(guò)85000元采購(gòu)冰箱，彩電共40臺(tái)，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的.①請(qǐng)你幫助該商場(chǎng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案；②用哪種方案商場(chǎng)獲得利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)），最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）（2）①設(shè)冰箱采購(gòu)x臺(tái)，則彩電采購(gòu)（40-x）臺(tái)，解不等式組得，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=19、20、21，方案一：冰箱購(gòu)買19臺(tái)，彩電購(gòu)買21臺(tái)，方案二：冰箱購(gòu)買20臺(tái)，彩電購(gòu)買20臺(tái)，方案一：冰箱購(gòu)買21臺(tái)，彩電購(gòu)買19臺(tái).②設(shè)商場(chǎng)獲得總利潤(rùn)為y元，則y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200∵20＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=21時(shí)，y最大=20×21+3200=3620（元）.中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1．會(huì)從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；2．掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無(wú)理式為有理式”；3．理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(組)、列不等式(組)解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題；5.解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.3.等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).5.一元一次方程解法的一般步驟整理方程——去分母——去括號(hào)——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1——(檢驗(yàn)方程的解).6.列一元一次方程解應(yīng)用題(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問(wèn)題”仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問(wèn)題”利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題的常用公式：(1)行程問(wèn)題：距離=速度×?xí)r間；(2)工程問(wèn)題：工作量=工效×工時(shí)；(3)比率問(wèn)題：部分=全體×比率；(4)順逆流問(wèn)題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；(5)商品價(jià)格問(wèn)題：售價(jià)=定價(jià)·折·，利潤(rùn)=售價(jià)-成本，；(6)周長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長(zhǎng)方形=2(a+b)，S長(zhǎng)方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=π(R2-r2)，V長(zhǎng)方體=abh，V正方體=a3，V圓柱=πR2h，V圓錐=πR2h.考點(diǎn)二、一元二次方程1.一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法.直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.要點(diǎn)詮釋：一元二次方程的解法中直接開(kāi)平方法和因式分解法是特殊方法，比較簡(jiǎn)單，但不是所有的一元二次方程都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用這兩種方法去解.（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開(kāi)平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).考點(diǎn)三、分式方程1.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母；②解所得的整式方程；③驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.3.分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．增根的產(chǎn)生的原因：

對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.

考點(diǎn)四、二元一次方程（組）1.二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解.3.二元一次方程組兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.4.二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程組的解法①代入消元法；②加減消元法.6.三元一次方程（組）（1）三元一次方程把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程組由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：二元一次方程組的解法：消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.（3）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無(wú)解、無(wú)限多解．教材中主要是研究有唯一解的情況，對(duì)于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予滲透．考點(diǎn)五、不等式（組）1.不等式的概念（1）不等式用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解.對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集.求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.2.不等式基本性質(zhì)（1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤將x項(xiàng)的系數(shù)化為1.4.一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的概念幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組.幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組.當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集.（2）一元一次不等式組的解法①分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取小）（大小取中間）無(wú)解（空集）（大大、小小找不到）注：不等式有等號(hào)的在數(shù)軸上用實(shí)心圓點(diǎn)表示.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號(hào)；⑥若ab＜0或，則a、b異號(hào).（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等號(hào)具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.【典型例題】類型一、方程的綜合運(yùn)用 1．如圖所示，是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)y1、y2的圖象、，設(shè)，，則方程組的解是()A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】圖象、的交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.【答案】B；【解析】由圖可知圖象、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，3)，所以方程組的解為【總結(jié)升華】方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透．2．近年來(lái)，由于受國(guó)際石油市場(chǎng)的影響，汽油價(jià)格不斷上漲．請(qǐng)你根據(jù)下面的信息，幫小明計(jì)算今年5月份汽油的價(jià)格．如圖所示．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“用150元給汽車加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案與解析】解：設(shè)今年5月份汽油價(jià)格為x元/升，則去年5月份的汽油價(jià)格為(x-1.8)元/升．根據(jù)題意，得，整理，得．解這個(gè)方程，得x1＝4.8，x2＝-3．經(jīng)檢驗(yàn)兩根都為原方程的根，但x2＝-3不符合實(shí)際意義，故舍去．【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是從對(duì)話中挖掘出有效的數(shù)學(xué)信息，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題，讓同學(xué)們更進(jìn)一步地體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我們身邊．類型二、解不等式（組）3．已知A＝a+2，B＝a2-a+5，C＝a2+5a-19，其中a＞2．(1)求證：B-A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；(2)指出A與C哪個(gè)大?說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】計(jì)算B-A結(jié)果和0比大小，從而判斷A與B的大??；同理計(jì)算C-A，根據(jù)結(jié)果來(lái)比較A與C的大?。敬鸢概c解析】(1)證明：B-A＝a2-2a+3＝(a-1)2+2．∵a＞2，∴(a-1)2＞0，∴(a-1)2+2＞0．∴a2-2a+3＞0，即B-A＞0．由此可得B＞A．(2)解：C-A＝a2+4a-21＝(a+7)(a-3)．∵a＞2，∴a+7＞0．當(dāng)2＜a＜3時(shí)，a-3＜0，∴(a+7)(a-3)＜0．∴當(dāng)2＜a＜3時(shí)，A比C大；當(dāng)a＝3時(shí)，a-3＝0，∴(a+7)(a-3)＝0．∴當(dāng)a＝3時(shí)，A與C一樣大；當(dāng)a＞3時(shí)，a-3＞0，∴(a+7)(a-3)＞0．∴當(dāng)a＞3時(shí)，C比A大．【總結(jié)升華】比較大小通常用作差法，結(jié)果和0比大小，此時(shí)常常用到因式分解或配方法.本題考查了整式的減法、十字相乘法分解因式，滲透了求差比較大小的思路及分類討論的思想．舉一反三：【變式1】已知：A=，B=2,C=,其中.(1)求證：A-B>0；(2)試比較A、B、C的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）A-B=∵，∴∴A-B>0(2)∵C-B=∴C>B∵A-C=∵，∴∴A>C>B【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：405277關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例3】【變式2】如圖，要使輸出值y大于100，則輸入的最小正整數(shù)x是______．【答案】解：設(shè)n為正整數(shù)，由題意得解得則n可取的最小正整數(shù)為11．若x為奇數(shù)，即x＝21時(shí)，y＝105；若x為偶數(shù)，即x＝22時(shí)，y＝101．∴滿足條件的最小正整數(shù)x是21．類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用4．宏志高中高一年級(jí)近幾年來(lái)招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般普通班的學(xué)生．由于場(chǎng)地、師資等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%，“宏志班”學(xué)生可多招10%，問(wèn)今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加100人列不等式.【答案與解析】設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生x名，普通班學(xué)生y名，由條件得將y＝550-x代入不等式，可解得x≥100，于是(1+10%)x≥110．故今年最少可招收“宏志班”學(xué)生110名．【總結(jié)升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題.舉一反三：【變式】為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識(shí)，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活動(dòng)，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個(gè)路口安排4人，那么還剩下78人；若每個(gè)路口安排8人，那么最后一個(gè)路口不足8人，但不少于4人．求這個(gè)中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人?共有多少個(gè)交通路口安排值勤?【答案】設(shè)這個(gè)學(xué)校選派值勤學(xué)生x人，共到y(tǒng)個(gè)交通路口值勤．根據(jù)題意得由①可得x＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y≤20.5．根據(jù)題意y取20，這時(shí)x為158，即學(xué)校派出的是158名學(xué)生，分到了20個(gè)交通路口安排值勤．5．已知關(guān)于x的一元二次方程.（其中m為實(shí)數(shù)）（1）若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k，①當(dāng)k=m時(shí)，求m的值；②若記為y，求y與m的關(guān)系式；（2）當(dāng)＜m＜2時(shí)，判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】（1）由于k為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，故把k代入原方程，即可得到關(guān)于k的一元二次方程，

①把k=m代入關(guān)于k的方程，即可求出m的值；

②由于k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，故把方程兩邊同時(shí)除以k，便可得到關(guān)于y與m的關(guān)系式；（2）先求出根的判別式，再根據(jù)m的取值范圍討論△的取值即可．【答案與解析】（1）∵k為的實(shí)數(shù)根，∴.※①當(dāng)k=m時(shí)，∵k為非零實(shí)數(shù)根，∴m≠0，方程※兩邊都除以m，得.整理，得.解得，.∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴m≠2.∴m=1.②∵k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，∴將方程※兩邊都除以k，得.整理，得.∴.（2）解法一：.當(dāng)＜m＜2時(shí)，m＞0，＜0.∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解法二：直接分析＜m＜2時(shí)，函數(shù)的圖象，∵該函數(shù)的圖象為拋物線，開(kāi)口向下，與y軸正半軸相交，∴該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解法三：.結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖）當(dāng)＜m≤1時(shí)，＜≤4；當(dāng)1＜m＜2時(shí)，1＜＜4.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，＞0.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【總結(jié)升華】和一元二次方程的根有關(guān)的問(wèn)題往往可以借助于二次函數(shù)圖象解決，數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題簡(jiǎn)化.舉一反三：【變式1】（2014秋?天河區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．（1）求k的值（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k﹣1的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x2+4x+k﹣1=0有實(shí)數(shù)根，∴△=42﹣4×2×（k﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k為正整數(shù)，∴k=1或2或3．（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，方程為2x2+4x=0，解得x1=0，x2=﹣2；不合題意，舍去．當(dāng)k=2時(shí)，方程為2x2+4x+1=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；不合題意，舍去．當(dāng)k=3時(shí)，方程為2x2+4x+2=0，解得x1=x2=﹣1；符合題意．因此y=2x2+4x+2的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得出y=2x2﹣2．【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：405277關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例5】【變式2】已知：關(guān)于x的方程（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根大于5且小于7，求k的整數(shù)值；(3)在⑵的條件下，對(duì)于一次函數(shù)和二次函數(shù)=，當(dāng)時(shí)，有，求b的取值范圍．【答案】⑴證明：∵△=(k－2)2－4(k－3)=k2－4k+4－4k+12=k2－8k+16=(k－4)2≥0∴此方程總有實(shí)根。⑵解：解得方程兩根為x1=－1，x2=3－k∵方程有一根大于5且小于7，∴5<3－k<7，－4<k<－2，∵k為整數(shù)，∴k=－3.⑶解：由⑵知k=-3，∴∵，∴，即∵在時(shí)，有∴類型四、用不等式（組）解決決策性問(wèn)題6．（2015春?重慶校級(jí)期中）某服裝店到廠家選購(gòu)A、B兩種服裝，若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，需要1880元；若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，需要1810元．（1）求A、B兩種服裝的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場(chǎng)需求，服裝店老板決定：購(gòu)進(jìn)A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于906元．問(wèn)服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝至少多少件？（3）在（2）問(wèn)的條件下，服裝店應(yīng)怎樣購(gòu)進(jìn)A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低？最低為多少元？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，需要1880元”和“A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，需要1810元”，列方程組求解即可；（2）若設(shè)購(gòu)進(jìn)B種服裝m件，則購(gòu)進(jìn)A種服裝的數(shù)量是34﹣m，列出不等式解答即可；（3）設(shè)服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝m件列出函數(shù)解析式，結(jié)合最值解答即可．【答案與解析】解（1）設(shè)A服裝進(jìn)價(jià)為x元，B服裝進(jìn)價(jià)為y元．由題意得：，解得：x=90，y=100，答：A服裝進(jìn)價(jià)為90元，B服裝進(jìn)價(jià)為100元；（2）設(shè)服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝m件．由題意得：18×（34﹣m）+30m≥906解得：m，答：服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝至少25件；（3）設(shè)服裝店購(gòu)進(jìn)B種服裝m件．兩種服裝的總成本為w元．由題意得：w100m+90（34﹣m）=10m，因?yàn)閣隨著m的增大而增大，所以當(dāng)m取最小值即25時(shí)，w最小為3310，答：服裝店購(gòu)進(jìn)A種9件B種25件服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低，最低為3310元．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組和不等式的應(yīng)用，利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．象這種利用不等式解決方案設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，往往是在解不等式的解后，再利用實(shí)際問(wèn)題中的正整數(shù)解，且這些正整數(shù)解的個(gè)數(shù)就是可行的方案?jìng)€(gè)數(shù)．舉一反三：【變式】某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件．已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克．（1）據(jù)現(xiàn)有條件安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)．（2）若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設(shè)計(jì)成本最低．【答案】（1）設(shè)生產(chǎn)種產(chǎn)品件，種產(chǎn)品件．按這樣生產(chǎn)需甲種的原料，∴即：．∵為整數(shù)，∴∴有三種生產(chǎn)方案．第一種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，種產(chǎn)品20件；第二種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，種產(chǎn)品19件；第三種方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，種產(chǎn)品18件．（2）第一種方案的成本：（元）；第二種方案的成本：（元）；第三種方案的成本：（元）．∴第三種方案成本最低．中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1．分式

設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于零的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式

分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).

要點(diǎn)詮釋：分式的概念需注意的問(wèn)題：

(1)分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；

（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．

（4）分式有無(wú)意義的條件：在分式中，

①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B≠0．

②當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0．

③當(dāng)B≠0且A=0時(shí)，分式的值為零．考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算

1．基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:

（1）加減運(yùn)算±=同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.（2）乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．

2．零指數(shù).

3．負(fù)整數(shù)指數(shù)

4．分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．

5．約分

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．

6．通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．

要點(diǎn)詮釋：約分需明確的問(wèn)題：

(1)對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．通分注意事項(xiàng)：

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用

1．分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

3．分式方程的增根問(wèn)題

驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．

4．分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問(wèn)題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．

要點(diǎn)詮釋：

解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點(diǎn)詮釋：與的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但與都是非負(fù)數(shù)，即，．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；2．二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3．二次根式的混合運(yùn)算(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來(lái)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過(guò)程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如，沒(méi)有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，，通過(guò)約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【典型例題】類型一、分式的意義 1．使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（）A.B.C.且D.一切實(shí)數(shù)【答案】C；【解析】解不等式組得且，故選C．【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式有意義，就是要使代數(shù)式中的分式的分母不為零；代數(shù)式中的二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即需要中的x0；分母中的2x-10.舉一反三：【變式】當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義?值為零?【答案】當(dāng)時(shí)，分式有意義，即時(shí)，分式有意義.當(dāng)且時(shí)，分式值為零，解得，且，即時(shí)，分式值為零.類型二、分式的性質(zhì)2．已知,求下列各式的值.(1);(2).【答案與解析】(1)因?yàn)?所以.即.所以.(2),所以.【點(diǎn)評(píng)】觀察(1)和已知條件可知,將已知等式兩邊分別平方再整理,即可求出(1)的值;對(duì)于(2),直接求值很困難,根據(jù)其特點(diǎn)和已知條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求出(2)的值.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】由得所以即.所以.類型三、分式的運(yùn)算3．計(jì)算：．【答案與解析】解：=?=．【點(diǎn)評(píng)】異分母分式相加減，先根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減.在通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母與最簡(jiǎn)公分母所差的因式.運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)形式.舉一反三：【變式】化簡(jiǎn)：?．【答案】解：原式=：?=．類型四、分式方程及應(yīng)用4．如果方程有增根,那么增根是.【答案與解析】因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?由分母或可得.所以增根是.答案:【點(diǎn)評(píng)】使分母為0的根是增根.5．為創(chuàng)建“國(guó)家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，根據(jù)市政建設(shè)的需要，須在60天內(nèi)完成工程．現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)工程．經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天，甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天，甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500元，乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000元．（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用．【答案與解析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需（x+25）天．根據(jù)題意得：．方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．經(jīng)檢驗(yàn)，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．但x2=﹣15不符合題意，應(yīng)舍去．∴當(dāng)x=50時(shí)，x+25=75．答：甲