中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第五章圓5.1圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系試卷部分市賽課公開課一等獎(jiǎng)省名師獲獎(jiǎng)PP

第五章圓§5.1圓性質(zhì)及與圓相關(guān)位置關(guān)系中考數(shù)學(xué)

(河南專用)1/205A組-年河南中考題組五年中考1.(河南,19,9分)如圖,AB是☉O直徑,DO⊥AB于點(diǎn)O,連接DA交☉O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作☉O

切線交DO于點(diǎn)E,連接BC交DO于點(diǎn)F.(1)求證:CE=EF;(2)連接AF并延長,交☉O于點(diǎn)G.填空:①當(dāng)∠D度數(shù)為

時(shí),四邊形ECFG為菱形;②當(dāng)∠D度數(shù)為

時(shí),四邊形ECOG為正方形.

2/205解析(1)證實(shí):連接OC.∵CE是☉O切線,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.

(3分)∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.

(5分)(2)①30°.(注:若填為30,不扣分)(7分)②22.5°.(注:若填為22.5,不扣分)(9分)3/2052.(河南,18,9分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑☉O交AC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CF∥

AB,與過點(diǎn)B切線交于點(diǎn)F,連接BD.(1)求證:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC長.

4/205解析(1)證實(shí):∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB.∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF.

(3分)∵AB是☉O直徑,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.∵BF是☉O切線,∴BF⊥AB.

(5分)∵CF∥AB,∴BF⊥CF.∴BD=BF.

(6分)(2)∵AC=AB=10,CD=4,∴AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64.

(8分)在Rt△BDC中,BC=

=

=4

,即BC長為4

.

(9分)5/2053.(河南,18,9分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC中點(diǎn),以AB為直徑作☉O分別

交AC,BM于點(diǎn)D,E.(1)求證:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE=

;②連接OD,OE,當(dāng)∠A度數(shù)為

時(shí),四邊形ODME是菱形.6/205解析(1)證實(shí):在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC中點(diǎn),∴MA=MB.∴∠A=∠MBA.

(2分)∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,∴∠ADE+∠ABE=180°.又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可證:∠MED=∠A.

(4分)∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.

(5分)(2)①2.

(7分)②60°(或60).

(9分)解題關(guān)鍵熟記圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ),結(jié)合直角三角形性質(zhì)判斷角相等是本題關(guān)鍵.7/2054.(河南,17,9分)如圖,AB是半圓O直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A,B重合一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長BP

到點(diǎn)C,使PC=PB,D是AC中點(diǎn),連接PD,PO.(1)求證:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,則四邊形AOPD最大面積為

;②連接OD,當(dāng)∠PBA度數(shù)為

時(shí),四邊形BPDO是菱形.

8/205解析(1)證實(shí):∵D是AC中點(diǎn),且PC=PB,∴DP∥AB,DP=

AB.∴∠CPD=∠PBO.

(3分)∵OB=

AB,∴DP=OB.∴△CDP≌△POB.

(5分)(2)①4.

(7分)②60°.

(9分)思緒分析(1)依據(jù)三角形中位線定理得出三角形全等一個(gè)條件,再由SAS判定全等;(2)①當(dāng)PO⊥AB時(shí),四邊形AOPD面積最大;②當(dāng)∠PBA=60°時(shí),等腰三角形OBP中BO=BP,四邊形

BPDO為菱形.9/2055.(河南,17,9分)如圖,CD是☉O直徑,且CD=2cm,點(diǎn)P為CD延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作☉O

切線PA、PB,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B.(1)連接AC,若∠APO=30°,試證實(shí)△ACP是等腰三角形;(2)填空:①當(dāng)DP=

cm時(shí),四邊形AOBD是菱形;②當(dāng)DP=

cm時(shí),四邊形AOBP是正方形.

10/205解析(1)證實(shí):連接OA.∵PA為☉O切線,∴OA⊥PA.

(1分)在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°.∴∠ACP=

∠AOP=

×60°=30°.

(4分)∴∠ACP=∠APO.∴AC=AP.∴△ACP是等腰三角形.

(5分)(2)①1;

(7分)②

-1.

(9分)思緒分析(1)依據(jù)切線性質(zhì)和同弧所對圓周角等于圓心角二分之一得角之間關(guān)系,由等角

對等邊可判定等腰三角形;(2)①當(dāng)AD=1時(shí),四邊形AOBD是菱形,可求得DP長;②當(dāng)四邊形

AOBP是正方形時(shí),OP=

AO=

,DP=OP-OD=

-1.11/205考點(diǎn)一圓相關(guān)概念及性質(zhì)B組-年全國中考題組1.(內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)如圖,CD為☉O直徑,弦AB⊥CD,垂足為M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,則☉O周長為

()

A.26πB.13π

C.

D.

12/205答案

B連接OA,設(shè)OM=5x(x>0),則MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍負(fù)),∴半徑OA=

,∴☉O周長為13π.方法規(guī)律如圖,設(shè)圓半徑為r、弦長為a、弦心距為d,弓形高為h,則

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意兩個(gè)量即可求出其余兩個(gè)量.

13/2052.(陜西,9,3分)如圖,☉O半徑為4,△ABC是☉O內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與

∠BOC互補(bǔ),則弦BC長為()

A.3

B.4

C.5

D.6

14/205答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D,

∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故選B.15/2053.(廣西南寧,9,3分)如圖,點(diǎn)A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40°,則∠P度數(shù)為

()A.140°

B.70°C.60°

D.40°答案

B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°.∴∠P=

∠AOB=70°.故選B.16/2054.(湖北黃岡,11,3分)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,則AC=

.

答案2

解析連接BD,因?yàn)锳B為☉O直徑,所以∠ADB=90°,因?yàn)椤螩AB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因?yàn)?/p>

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.17/2055.(吉林,13,3分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∠DAB=130°,連接OC.點(diǎn)P是半徑OC上任意

一點(diǎn),連接DP,BP,則∠BPD可能為

度(寫出一個(gè)即可).18/205答案60(答案不唯一,大于等于50且小于等于100即可)解析連接OB,OD,∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠DAB+∠DCB=180°.∴∠DCB=180°-∠DAB=50°.∴∠DOB=2∠DCB=100°.∴50°≤∠BPD≤100°.評析本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì),圓周角定理,連接OB,OD,利用圓周角定理是關(guān)鍵,屬容

易題.19/2056.(新疆烏魯木齊,13,4分)設(shè)I為△ABC外心,若∠BIC=100°,則∠A度數(shù)為

.答案50°或130°解析當(dāng)I在△ABC內(nèi)部時(shí),如圖1,∠A=

∠BIC=50°;當(dāng)I在△ABC外部時(shí),如圖2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

圖1圖220/2057.(江蘇南京,15,2分)如圖,在☉O內(nèi)接五邊形ABCDE中,∠CAD=35°,則∠B+∠E=

°.

答案215解析連接AO,CO,DO,則∠COD=2∠CAD=70°,又因?yàn)椤螧=

(∠AOD+∠COD),∠E=

(∠AOC+∠COD),所以∠B+∠E=

(∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD)=

×(360°+70°)=215°.評析本題考查同弧所正確圓周角與圓心角關(guān)系.21/2058.(陜西,16,3分)如圖,☉O半徑是2.直線l與☉O相交于A、B兩點(diǎn),M、N是☉O上兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn),且在直線l異側(cè).若∠AMB=45°,則四邊形MANB面積最大值是

.

22/205答案4

解析連接OA,OB.四邊形MANB面積最大值取決于三角形ABM和三角形ABN面積最大

值.當(dāng)點(diǎn)M,N分別位于優(yōu)弧AB和劣弧AB中點(diǎn)時(shí),四邊形MANB面積取最大值.連接MN,此時(shí)

MN為☉O直徑,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,所以AB=

OA=2

.故四邊形MANB面積最大值為

AB·MN=

×2

×4=4

.23/2059.(福建,24,12分)已知四邊形ABCD是☉O內(nèi)接四邊形,AC是☉O直徑,DE⊥AB,垂足為E.(1)延長DE交☉O于點(diǎn)F,延長DC,FB交于點(diǎn)P,如圖1.求證:PC=PB;(2)過點(diǎn)B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE左側(cè),如圖2.若AB=

,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE大小.

圖1圖224/205解析(1)證實(shí):∵AC是☉O直徑,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)連接OD,∵AC是☉O直徑,∴∠ADC=90°,

25/205又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四邊形DHBC為平行四邊形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=

,tan∠ACB=

=

,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.從而BC=

AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.設(shè)DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.26/205一題多解(1)證實(shí):易證DF∥BC,從而CD=BF,且

=

=1,∴PB=PC.(2)連接OD,設(shè)∠BDE=x,則∠EBD=90°-x,易證四邊形BCDH為平行四邊形,∴BC=DH=1,∵AB=

,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.解后反思本題考查圓相關(guān)性質(zhì)、等腰三角形判定與性質(zhì)、平行線判定與性質(zhì)、平

行四邊形判定與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與

幾何直觀,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.27/20510.(安徽,20,10分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,過點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC外接圓O于點(diǎn)E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.

28/205證實(shí)(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.∴四邊形AECD是平行四邊形.

(5分)(2)過點(diǎn)O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分別為M、N.∵四邊形AECD是平行四邊形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)思緒分析(1)依據(jù)“在同一個(gè)圓中同一段弧所正確圓周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=

∠B,CE∥AD可推出AE∥DC,問題得證;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分別為M、N,由已知及(1)

得出CE=BC,再依據(jù)“同一個(gè)圓內(nèi)等弦對應(yīng)弦心距相等”可得OM=ON,從而由角平分線

判定定理可得結(jié)論.解題關(guān)鍵抓住“在同一個(gè)圓中同一段弧所正確圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)弦心距相

等”是處理本題關(guān)鍵.29/2051.(福建,9,4分)如圖,AB是☉O直徑,BC與☉O相切于點(diǎn)B,AC交☉O于點(diǎn)D.若∠ACB=50°,

則∠BOD等于

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.80°考點(diǎn)二與圓相關(guān)位置關(guān)系30/205答案

D由BC與☉O相切于點(diǎn)B,可得∠ABC=90°,由三角形內(nèi)角和為180°及∠ACB=50°可得

∠BAC=40°,由OA=OD得∠ODA=∠BAC=40°,由三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)

角和可得∠BOD=∠ODA+∠OAD=80°.31/2052.(吉林,6,2分)如圖,直線l是☉O切線,A為切點(diǎn),B為直線l上一點(diǎn),連接OB交☉O于點(diǎn)C.若

AB=12,OA=5,則BC長為

()

A.5

B.6

C.7

D.8答案

D因?yàn)锳B是圓O切線,所以O(shè)A⊥AB,由勾股定理可得,OB=13,又因?yàn)镺C=5,所以BC=

OB-OC=13-5=8,故選D.32/2053.(重慶,9,4分)如圖,AB是☉O直徑,點(diǎn)C在☉O上,AE是☉O切線,A為切點(diǎn),連接BC并延

長交AE于點(diǎn)D.若∠AOC=80°,則∠ADB度數(shù)為

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.20°答案

B∵AE是☉O切線,∴∠BAE=90°,∵∠B=

∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故選B.33/2054.(江蘇南京,6,2分)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分別與☉O相切于E、

F、G三點(diǎn),過點(diǎn)D作☉O切線交BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則DM長為

()

A.

B.

C.

D.2

答案

A在矩形ABCD中,☉O分別與邊AD、AB、BC相切,又DM為☉O切線,所以由切線

長定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,設(shè)MN=MG=x,在Rt△DCM中,

DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=

,則DM=3+

=

.故選A.34/2055.(天津,7,3分)如圖,AB是☉O弦,AC是☉O切線,A為切點(diǎn),BC經(jīng)過圓心,若∠B=25°,則

∠C大小等于

()

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°答案

C連接OA,☉O中,OA=OB,所以∠B=∠BAO=25°,因?yàn)椤螦OC是△OAB外角,所以∠

AOC=∠B+∠BAO=50°,又因?yàn)锳C是☉O切線,所以O(shè)A⊥AC,在Rt△OAC中,∠C=90°-∠AOC

=40°,故選C.

35/2056.(安徽,12,5分)如圖,菱形ABOC邊AB,AC分別與☉O相切于點(diǎn)D,E.若點(diǎn)D是AB中點(diǎn),

則∠DOE=

°.

答案60解析∵AB,AC分別與圓O相切于點(diǎn)D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵點(diǎn)D

是AB中點(diǎn),∴BD=

AB=

BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四邊形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.解題關(guān)鍵由題意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本題關(guān)鍵.36/2057.(黑龍江哈爾濱,18,3分)如圖,AB為☉O直徑,直線l與☉O相切于點(diǎn)C,AD⊥l,垂足為D,

AD交☉O于點(diǎn)E,連接OC、BE.若AE=6,OA=5,則線段DC長為

.

37/205答案4解析設(shè)OC與BE相交于點(diǎn)F,∵AB是☉O直徑,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在Rt△AEB中,AE=6,∴BE=

=8.∵直線l是☉O切線,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴四邊形CDEF為矩形,∴DC=EF=

BE=4.

38/2058.(浙江寧波,17,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,過A,D兩點(diǎn)☉O與BC邊相切于

點(diǎn)E,則☉O半徑為

.

39/205答案

解析連接EO,并延長交AD于點(diǎn)H,連接AO.

∵四邊形ABCD是矩形,☉O與BC邊相切于點(diǎn)E,∴EH⊥BC,∵AD∥BC,∴EH⊥AD.依據(jù)垂徑定理,得AH=DH.∵AB=8,AD=12,∴AH=6,HE=8.設(shè)☉O半徑為r,則AO=r,OH=8-r.在Rt△OAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r=

.∴☉O半徑為

.40/2059.(天津,21,10分)已知AB是☉O直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°.(1)如圖①,若D為?中點(diǎn),求∠ABC和∠ABD大小;(2)如圖②,過點(diǎn)D作☉O切線,與AB延長線交于點(diǎn)P,若DP∥AC,求∠OCD大小.

41/205解析(1)∵AB是☉O直徑,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D為?中點(diǎn),得?=?.∴∠ACD=∠BCD=

∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如圖,連接OD.

42/205∵DP切☉O于點(diǎn)D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=

∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.思緒分析(1)依據(jù)直徑所正確圓周角是直角,等弧所正確圓周角相等能夠求解;(2)連接OD,根

據(jù)平行線性質(zhì),圓切線性質(zhì)求得∠P,∠AOD度數(shù),即可求得∠OCD大小.43/20510.(內(nèi)蒙古呼和浩特,24,9分)如圖,點(diǎn)A,B,C,D是直徑為AB☉O上四個(gè)點(diǎn),C是劣弧?中點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)E.(1)求證:DC2=CE·AC;(2)若AE=2,EC=1,求證:△AOD是正三角形;(3)在(2)條件下,過點(diǎn)C作☉O切線,交AB延長線于點(diǎn)H,求△ACH面積.

44/205解析(1)證實(shí):∵C是劣弧?中點(diǎn),∴∠DAC=∠CDB,又∵∠ACD=∠DCE,∴△ACD∽△DCE,∴

=

,∴DC2=CE·AC.(2)證實(shí):∵AE=2,CE=1,∴AC=3,∴DC2=3,∴DC=

,如圖,連接OC,

45/205∵C是劣弧?中點(diǎn),∴OC平分∠DOB,∴BC=DC=

,∵AB是☉O直徑,∴AB=

=2

,∴OB=OC=OD=

,∴∠BOD=120°,∴∠DOA=60°,又∵OA=OD,∴△AOD是正三角形.(3)∵CH是☉O切線,∴OC⊥CH,∵∠COH=60°,∴∠H=30°,∠CAB=30°,∴CH=AC=3,∴S△ACH=

×3

×

=

.46/20511.(廣西南寧,23,8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分線,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓

心,OB為半徑圓經(jīng)過點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.(1)求證:AC是☉O切線;(2)若OB=10,CD=8,求BE長.

47/205解析(1)證實(shí):連接OD,

(1分)∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠CBD.∵點(diǎn)B,D在☉O上,∴OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BC.

(3分)∴∠ODA=∠C=90°,∴OD⊥AC.

(4分)又∵點(diǎn)D在☉O上,∴AC是☉O切線.

(5分)

(2)過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F,∴BF=EF,∠OFC=90°.

(6分)48/205又∵∠C=∠ODC=90°,∴四邊形CDOF是矩形.∴OF=CD=8,

(7分)在Rt△BOF中,BF=

=

=6,∴BE=2BF=12.

(8分)49/205考點(diǎn)一圓相關(guān)概念及性質(zhì)C組

教師專用題組1.(湖北武漢,10,3分)如圖,在☉O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧

上,將弧?折疊后剛好經(jīng)過AB中點(diǎn)D.若☉O半徑為

,AB=4,則BC長是

()

A.2

B.3

C.

D.

50/205答案

B連接AO,并延長交☉O于點(diǎn)D',則∠ABD'=90°.連接BD',CD',DD',DD'交BC于點(diǎn)E,連接

OD,OB,OC,∵D為AB中點(diǎn),∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',顯然點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于直線BC對稱.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,依據(jù)圓周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,依據(jù)勾股定理得CE=

=2

,∴BC=BE+CE=3

,故選B.

方法指導(dǎo)在求解包括圓性質(zhì)問題時(shí),通常利用垂徑定理或圓周角定理得到相等線段

或角或垂直關(guān)系,求解過程中常需作適當(dāng)輔助線結(jié)構(gòu)直角三角形,利用勾股定理等知識進(jìn)行

求解.51/2052.(陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O內(nèi)接三角形,∠C=30°,☉O半徑為5.若點(diǎn)P是☉O上

一點(diǎn),在△ABP中,PB=AB,則PA長為

()

A.5

B.

C.5

D.5

52/205答案

D連接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB

⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故選D.53/2053.(福建,8,4分)如圖,AB是☉O直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)兩點(diǎn).以下四個(gè)角中,一定

與∠ACD互余角是

()

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+

∠ACD=90°,故選D.54/2054.(山東臨沂,8,3分)如圖,A,B,C是☉O上三個(gè)點(diǎn),若∠AOC=100°,則∠ABC等于

()

A.50°

B.80°

C.100°

D.130°55/205答案

D如圖,在優(yōu)弧AC上任取一點(diǎn)D,連接AD、CD.∵∠AOC=100°,∴∠ADC=

∠AOC=50°.∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°.故選D.

56/2055.(浙江紹興,8,4分)如圖,四邊形ABCD是☉O內(nèi)接四邊形,☉O半徑為2,∠B=135°,則

?長是

()

A.2πB.πC.

D.

57/205答案

B因?yàn)樗倪呅蜛BCD是☉O內(nèi)接四邊形,∠B=135°,所以∠D=45°.連接OA、OC,則∠AOC=2∠D=90°,所以

長是

=π,故選B.

58/2056.(上海,6,4分)如圖,已知在☉O中,AB是弦,半徑OC⊥AB,垂足為點(diǎn)D,要使四邊形OACB為

菱形,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件能夠是

()

A.AD=BD

B.OD=CDC.∠CAD=∠CBD

D.∠OCA=∠OCB答案

B依據(jù)垂徑定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四邊形OACB是菱形,

故選B.59/2057.(內(nèi)蒙古呼和浩特,6,3分)已知☉O面積為2π,則其內(nèi)接正三角形面積為

()A.3

B.3

C.

D.

60/205答案

C如圖所表示,連接OB、OC,過O作OD⊥BC于D,∵☉O面積為2π,∴☉O半徑為

.∵△ABC為正三角形,∴∠BOC=2×60°=120°,∴∠BOD=

∠BOC=60°.∵OB=

,∴BD=OB·sin∠BOD=

·sin60°=

,OD=OB·cos∠BOD=

·cos60°=

,∴BC=2BD=

,∴△BOC面積=

·BC·OD=

×

×

=

,∴△ABC面積=3S△BOC=3×

=

.故選C.評析本題考查三角形外接圓與外心,屬輕易題.61/2058.(江蘇鎮(zhèn)江,16,3分)如圖,△ABC內(nèi)接于半徑為5☉O,圓心O到弦BC距離等于3,則∠A

正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

62/205答案

D連接CO并延長交☉O于點(diǎn)D,則CD為☉O直徑,連接BD,作OE⊥BC交BC于點(diǎn)E,依題意可得BD=2OE=6,又CD=2×5=10,

所以BC=

=8,所以tanD=

=

=

.又因?yàn)椤螦=∠D,所以tanA=

,故選D.評析本題綜合考查圓周角定理,垂徑定理,解直角三角形等相關(guān)知識,屬中等難度題.63/2059.(北京,12,2分)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,?=?,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ADB=

°.

答案70解析∵?=?,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.64/20510.(內(nèi)蒙古呼和浩特,12,3分)同一個(gè)圓內(nèi)接正方形和正三角形邊心距比為

.答案

∶1解析設(shè)圓半徑為r,則內(nèi)接正方形邊心距為

r,內(nèi)接正三角形邊心距為

r,故

r∶

r=

∶1.65/20511.(北京,14,3分)如圖,AB為☉O直徑,C,D為☉O上點(diǎn),

=?.若∠CAB=40°,則∠CAD=

°.

66/205答案25解析連接BC,BD,∵AB為☉O直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.∵

=

,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.

67/20512.(山東青島,11,3分)如圖,AB是☉O直徑,C,D是☉O上兩點(diǎn),若∠BCD=28°,則∠ABD=

°.

答案62解析∵AB是☉O直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.68/20513.(湖南長沙,16,3分)如圖,在☉O中,弦AB=6,圓心O到AB距離OC=2,則☉O半徑長為

.

答案

解析由題意得OC⊥AB,∴AC=BC=

AB=3,在Rt△OCA中,OA=

=

=

.∴☉O半徑長為

.評析本題考查了垂徑定理、勾股定理,屬輕易題.69/20514.(江蘇南京,13,2分)如圖,扇形AOB圓心角為122°,C是?上一點(diǎn),則∠ACB=

°.

答案119解析如圖,在扇形AOB所在圓優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D,連接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

70/20515.(重慶,15,4分)如圖,OA,OB是☉O半徑,點(diǎn)C在☉O上,連接AC,BC.若∠AOB=120°,則∠

ACB=

度.

答案60解析依據(jù)圓周角定理,知∠ACB=

∠AOB=

×120°=60°.71/20516.(內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,☉O是△ABC外接圓,AD是☉O直徑,若☉O半徑是4,

sinB=

,則線段AC長為

.

答案2解析連接CD,在☉O中,因?yàn)锳D為直徑,所以∠ACD=90°,因?yàn)椤螧=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.72/20517.(江西南昌,10,3分)如圖,點(diǎn)A,B,C在☉O上,CO延長線交AB于點(diǎn)D,∠A=50°,∠B=30°,則

∠ADC度數(shù)為

.

答案110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.評析本題考查同弧所正確圓周角與圓心角關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理推論,屬輕易題.73/20518.(上海,17,4分)在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,點(diǎn)A在☉B(tài)上.假如☉D與☉B(tài)相交,且點(diǎn)B在

☉D內(nèi),那么☉D半徑長能夠等于

.(只需寫出一個(gè)符合要求數(shù))答案14(大于13且小于18數(shù))解析由題意可知☉B(tài)半徑長為5,BD=13,由點(diǎn)B在☉D內(nèi),得☉D半徑長r>13.又☉B(tài)與☉D

相交,所以8<r<18,所以13<r<18,我們?nèi)?shù)字在這個(gè)范圍內(nèi)就能夠了.評析本題重點(diǎn)考查點(diǎn)與圓之間位置關(guān)系,圓與圓之間位置關(guān)系,題目雖小,但知識點(diǎn)眾

多,需要學(xué)生有較強(qiáng)綜合應(yīng)用能力,屬于中等難度題.74/20519.(湖北黃岡,14,3分)如圖,在☉O中,弦CD垂直于直徑AB于點(diǎn)E,若∠BAD=30°,且BE=2,則

CD=

.

答案4

解析連接OD,則OA=OD,所以∠ODA=∠OAD=30°,因?yàn)椤螧OD是△OAD外角,所以∠BOD

=∠ODA+∠OAD=60°,所以∠ODE=30°,在Rt△ODE中,設(shè)OE=x,則OD=2OE=2x,因?yàn)镺B=OD,所

以2x=x+2,所以x=2,所以O(shè)E=2,OD=4,依據(jù)勾股定理得,DE=2

.因?yàn)锳B是直徑,AB⊥CD,所以依據(jù)垂徑定理可知,CD=2DE=4

.75/20520.(江蘇揚(yáng)州,15,3分)如圖,以△ABC邊BC為直徑☉O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,連接

OD、OE,若∠A=65°,則∠DOE=

°.

答案50解析因?yàn)椤螦=65°,所以∠B+∠C=115°,因?yàn)锽O=OD,CO=EO,所以∠BDO=∠B,∠OEC=∠C,

所以∠BDO+∠OEC=∠B+∠C=115°,所以∠ADO+∠AEO=(180°-∠BDO)+(180°-∠OEC)=360°

-(∠BDO+∠OEC)=245°.在四邊形ADOE中,∠DOE=360°-∠A-(∠ADO+∠AEO)=50°.76/20521.(安徽,20,10分)如圖,☉O為銳角△ABC外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC平分線,并標(biāo)出它與劣弧?交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中點(diǎn)E到弦BC距離為3,求弦CE長.

77/205解析(1)尺規(guī)作圖如圖所表示.

(4分)

(2)連接OE交BC于M,連接OC.因?yàn)椤螧AE=∠CAE,所以

=?,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE長為

.

(10分)思緒分析對于(2),連接OE交BC于點(diǎn)M,再連接OC,由∠BAE=∠CAE可得

=?,可推出OE⊥BC,最終利用勾股定理求出CE.78/20522.(上海,25,14分)如圖,已知☉O半徑長為1,AB、AC是☉O兩條弦,且AB=AC,BO延

長線交AC于點(diǎn)D,連接OA、OC.(1)求證:△OAD∽△ABD;(2)當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí),求B、C兩點(diǎn)距離;(3)記△AOB、△AOD、△COD面積分別為S1、S2、S3,假如S2是S1和S3百分比中項(xiàng),求OD

長.

備用圖79/205解析(1)證實(shí):∵AB=AC,OB=OA,OA=OC,∴△OAB≌△OCA.∴∠B=∠OAC,∵∠ADO=∠BDA,∴△OAD∽△ABD.(2)△OCD為直角三角形有兩種情況:①如圖,當(dāng)∠ODC=90°時(shí),OD⊥AC,∴BD垂直平分AC,∴AB=CB.∴△ABC為等邊三角形,此時(shí)BC=AC=2DC=2OCcos30°=

.

②如圖,當(dāng)∠COD=90°時(shí),△BOC是等腰直角三角形,此時(shí)BC=

OC=

.80/205

(3)∵AB=AC,∴O到弦AB,AC距離相等,∴S1∶S2∶S3=AB∶AD∶DC.由題意知S1·S3=

,∴AD2=AB·DC.∴AD2=AC·DC,∴AD=

AC,即

=

.又由(1)中相同可知

=

=

.∴OD=

.81/20523.(寧夏,23,8分)已知△ABC,以AB為直徑☉O分別交AC于D,BC于E,連接ED.若ED=EC.(1)求證:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD長.

82/205解析(1)證實(shí):∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四邊形ABED是☉O內(nèi)接四邊形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)連接AE,則AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC與△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)83/205∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)評析本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì),三角形相同判定與性質(zhì).屬中等題.84/20524.(福建福州,24,12分)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,M為?中點(diǎn),連接BM,CM.(1)求證:BM=CM;(2)當(dāng)☉O半徑為2時(shí),求?長.

解析(1)證實(shí):∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴

=?.∵M(jìn)為?中點(diǎn),∴?=?,∴

=?,∴BM=CM.85/205(2)連接OM,OB,OC.∵

=?,∴∠BOM=∠COM.∵正方形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠BOC=

=90°.∴∠BOM=135°.由弧長公式,得

長l=

=

π.86/20525.(安徽,20,10分)在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時(shí),求PQ長;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí),求PQ長最大值.

87/205解析(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=

.

(3分)如圖,連接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴當(dāng)OP最小時(shí),PQ最大.此時(shí),OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=

.∴PQ長最大值為

=

.

(10分)88/2051.(遼寧沈陽,11,4分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以點(diǎn)A為圓心,以3cm為半徑作☉A,

當(dāng)AB=

cm時(shí),BC與☉A相切.考點(diǎn)二與圓相關(guān)位置關(guān)系答案6解析作AD⊥BC于點(diǎn)D.當(dāng)BC與☉A相切時(shí),AD=3cm.在Rt△ABD中,AD=3cm,∠B=30°,∴AB=

=6cm.∴當(dāng)AB=6cm時(shí),BC與☉A相切.89/2052.(浙江紹興,14,5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)P在以C為圓心,5為半徑圓

上,連接PA,PB.若PB=4,則PA長為

.答案3或

解析由題意可知點(diǎn)P是以C為圓心,5為半徑圓和以B為圓心,4為半徑圓交點(diǎn),連接BP1,

CP1,因?yàn)锽

+BC2=C

,所以CB⊥BP1,同理,CB⊥BP2,所以B,P1,P2三點(diǎn)共線,因?yàn)锳C⊥BC,BC⊥BP1,AC=BP1=4,所以四邊形ACBP1是矩形,所以AP1=3,在Rt△AP1P2中,由勾股定理得AP2=

=

.

90/2053.(浙江溫州,16,5分)如圖,在矩形ABCD中,AD=8,E是邊AB上一點(diǎn),且AE=

AB.☉O經(jīng)過點(diǎn)E,與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G(∠GEB為銳角),與邊AB所在直線相交于另一點(diǎn)F,且EG∶EF

=

∶2.當(dāng)邊AD或BC所在直線與☉O相切時(shí),AB長是

.答案4或1291/205解析如圖,連接EO,連接GO并延長,交EF于N點(diǎn),則GN⊥AB.∴EN=NF.又∵EG∶EF=

∶2,∴EG∶EN=

∶1.又∵GN=AD=8,∴設(shè)EN=x,則GE=

x,依據(jù)勾股定理得(

x)2-x2=64,解得x=4,∴GE=4

.設(shè)☉O半徑為r,由OE2=EN2+ON2得r2=16+(8-r)2,∴r=5.設(shè)BC所在直線與☉O相切于K點(diǎn),連接OK.∴OK=NB=5,∴EB=9.又AE=

AB,∴AB=12.當(dāng)AD與☉O相切時(shí),同理可求出AB=4.評析本題考查了切線性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理綜合應(yīng)用,解答本題關(guān)鍵在于正

確添加輔助線,并進(jìn)行分類討論,利用勾股定理求出對應(yīng)圓半徑.92/2054.(陜西,23,8分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上中線CD為直徑作☉O,分別

與AC、BC相交于點(diǎn)M,N.(1)過點(diǎn)N作☉O切線NE與AB相交于點(diǎn)E,求證:NE⊥AB;(2)連接MD,求證:MD=NB.

93/205解析(1)連接ON,則OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D為斜邊AB中點(diǎn),∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.

(2分)∵NE是☉O切線,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB.

(4分)(2)連接ND,則∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四邊形CMDN是矩形,

(6分)∴MD=CN.94/205由(1)知,CD=BD,∴CN=NB,∴MD=NB.

(8分)

思緒分析(1)連接ON,由OC=ON可得∠DCB=∠ONC,依據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜

邊二分之一得出CD=DB,進(jìn)而得出∠DCB=∠B,再推出ON∥AB,然后依據(jù)切線性質(zhì)得出ON⊥

NE,最終得到結(jié)論;(2)依據(jù)圓周角定理可得∠CND=∠CMD=90°,進(jìn)而判斷四邊形CMDN為矩

形,得出MD=CN,然后依據(jù)等腰三角形三線合一推出CN=NB,從而得到結(jié)論.解題技巧針對含有切線解答題,首先要想到是作“輔助線”,由此取得更多能夠證實(shí)題

目要求條件.普通作“輔助線”方法為“見切點(diǎn),連圓心”,從而結(jié)構(gòu)直角(垂直),然后利用

切線性質(zhì)及其它幾何知識進(jìn)行證實(shí)或計(jì)算.95/2055.(江西,20,8分)如圖,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑作圓,與BC相切

于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.(1)求證:AB為☉O切線;(2)若BC=6,tan∠ABC=

,求AD長.

96/205解析(1)證實(shí):過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,即∠OEB=90°.∵BC切☉O于點(diǎn)C,∴∠OCB=∠OEB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠D=90°,∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.∴OE=OC.∴AB為☉O切線.(2)∵BC=6,tan∠ABC=

,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8.∴AB=

=10.∵AB與BC均為☉O切線,∴BE=BC=6.∴AE=AB-BE=10-6=4.設(shè)OC=OE=x,則在Rt△AEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴OB=

=

=3

.97/205∵S△BOA=

AB·OE=

BO·AD,∴AB·OE=BO·AD.∴10×3=3

AD,∴AD=2

.

98/205思緒分析(1)過點(diǎn)O作OE⊥AB,先由∠BCO=∠D=90°及∠AOD=∠BOC求得∠CBD=∠OAD,

再由∠AOD=∠BAD推出∠ABD=∠OAD,進(jìn)而得到∠ABD=∠CBO,繼而證實(shí)OE=OC,最終得證

AB為☉O切線;(2)先求得AC=8,AB=10,由切線長定理可知BE=BC=6,AE=4,在Rt△AOE中依據(jù)勾股定理求得

OE=3,最終利用等面積法求得AD長.方法指導(dǎo)證實(shí)圓切線時(shí),能夠分以下情況證實(shí):①若已知直線與圓公共點(diǎn),則采取判定定理法,其基本思緒是:連接該點(diǎn)與圓心,證實(shí)這條半

徑與直線垂直即可,可簡述為有切點(diǎn),連半徑,證垂直.②若直線與圓交點(diǎn)未知,則采取數(shù)量關(guān)系法,其基本思緒是:過圓心作直線垂線段,證實(shí)垂

線段長等于圓半徑,可簡述為無切點(diǎn),作垂線,證相等.99/2056.(遼寧沈陽,22,10分)如圖,BE是☉O直徑,點(diǎn)A和點(diǎn)D是☉O上兩點(diǎn),過點(diǎn)A作☉O切

線交BE延長線于點(diǎn)C.(1)若∠ADE=25°,求∠C度數(shù);(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑長.

100/205解析(1)連接OA,

∵AC為☉O切線,OA是☉O半徑,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵?=?,101/205∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°,∵∠OAC=90°,∴OA=

OC,設(shè)☉O半徑為r,∵CE=2,∴r=

(r+2),∴r=2,∴☉O半徑為2.102/2057.(北京,22,5分)如圖,AB是☉O直徑,過☉O外一點(diǎn)P作☉O兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分別

為C,D,連接OP,CD.(1)求證:OP⊥CD;(2)連接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP長.

103/205解析(1)證實(shí):∵PC,PD是☉O兩條切線,∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.(2)設(shè)OP與CD交于點(diǎn)Q,連接OD.104/205∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,∴OQ=OD·sin60°=2×

=

,DQ=OD·cos60°=1.∵PD是切線,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,∴PQ=DQ·tan30°=1×

=

.∴OP=PQ+QO=

.思緒分析本題第(1)問能夠經(jīng)過切線相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來處理.本題第

(2)問需要添加輔助線結(jié)構(gòu)三角形來推導(dǎo)角度數(shù),借助特殊角三角函數(shù)處理問題.105/2058.(新疆烏魯木齊,23,10分)如圖,AG是∠HAF平分線,點(diǎn)E在AF上,以AE為直徑☉O交

AG于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AH垂線,垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.(1)求證:直線BC是☉O切線;(2)若AC=2CD,設(shè)☉O半徑為r,求BD長度.

106/205解析(1)證實(shí):連接OD,∵AG是∠HAF平分線,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在☉O上,∴直線BC是☉O切線.

(4分)

(2)在Rt△ACD中,設(shè)CD=a(a>0),則AC=2a,AD=

a,連接DE,∵AE是☉O直徑,∴∠ADE=90°,107/205由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,得△ACD∽△ADE,∴

=

,即

=

,∴a=

r,由(1)知,OD∥AC,∴

=

,即

=

,∵a=

r,∴BD=

r.

(10分)思緒分析(1)連接OD,利用平行線判定以及等腰三角形性質(zhì)證實(shí)OD∥AC,從而證實(shí)直

線BC是圓O切線;(2)連接DE,由AE是圓O直徑可推∠ADE=90°,深入可證△ACD∽△ADE,再結(jié)合(1)列等式即可求出BD長.108/2059.(云南昆明,21,8分)如圖,AB是☉O直徑,ED切☉O于點(diǎn)C,AD交☉O于點(diǎn)F,AC平分∠

BAD,連接BF.(1)求證:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求☉O半徑.

109/205解析(1)證法一:連接OC.

(1分)∵ED切☉O于點(diǎn)C,∴OC⊥DE,∴∠OCE=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,

(3分)∴OC∥AD,∴∠D=∠OCE=90°,∴AD⊥ED.

(4分)證法二:連接OC,

(1分)∵ED切☉O于點(diǎn)C,110/205∴OC⊥DE,∴∠OCD=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,

(3分)∵∠OCA+∠ACD=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∴∠D=90°,∴AD⊥ED.

(4分)

111/205(2)解法一:設(shè)線段OC與BF交點(diǎn)為H.∵AB是☉O直徑,∴∠AFB=∠HFD=90°,

(5分)∵∠OCD=∠D=90°,∴四邊形HFDC是矩形,∴∠CHF=90°,即OC⊥BF,FH=DC=4,

(6分)∴FB=2FH=8.

(7分)在Rt△BFA中,∠AFB=90°,AF=2,由勾股定理可得AB=

=

=2

,∴☉O半徑為

.

(8分)解法二:過點(diǎn)O作ON⊥AF于點(diǎn)N.

(5分)∵OC⊥DE,AD⊥ED,∴∠OND=∠D=∠OCD=90°,∴四邊形ONDC是矩形,

(6分)112/205∴ON=CD=4,∵ON⊥AF,AF=2,∴AN=

AF=1.

(7分)在Rt△OAN中,∠ONA=90°,由勾股定理可得OA=

=

=

,∴☉O半徑為

.

(8分)

思緒分析(1)連接OC,則OC⊥DE,由AC平分∠BAD及OA=OC,得∠OAC=∠DAC=∠OCA,從

而得OC∥AD或∠CAD+∠ACD=90°,進(jìn)而證得AD⊥ED;(2)設(shè)線段OC與BF交點(diǎn)為H,則四邊

形HFDC是矩形,從而得到FB=8,進(jìn)而利用勾股定理求解即可,或過O作ON⊥AF于點(diǎn)N,則AN=1,

在矩形ONDC中,ON=CD=4,由勾股定理求解即可.解題關(guān)鍵本題考查了圓切線性質(zhì),勾股定理,矩形性質(zhì).第(2)問中解法二關(guān)鍵是過O

作ON⊥AF,結(jié)構(gòu)矩形和直角三角形.113/20510.(北京,24,5分)如圖,AB是☉O一條弦,E是AB中點(diǎn),過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作

☉O切線交CE延長線于點(diǎn)D.(1)求證:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O半徑.

114/205解析(1)證實(shí):∵BD是☉O切線,∴∠OBD=90°.∵CE⊥OA,∴∠ACE=90°.∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°.∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠EBD=∠AEC.又∵∠AEC=∠BED,∴∠BED=∠EBD,∴DB=DE.115/205(2