高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線與方程3.4.1曲線與方程省公開課一等獎新名師獲獎?wù)n件

§4曲線與方程

4．1曲線與方程

第三章圓錐曲線與方程1/47學(xué)習(xí)導(dǎo)航

第一章慣用邏輯用語學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解曲線和方程關(guān)系．2．了解曲線與方程概念．(重點(diǎn))3．掌握用直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、交軌法等求方程方法和步驟．(難點(diǎn))學(xué)法指導(dǎo)1.經(jīng)過直線、圓和圓錐曲線與其方程關(guān)系，了解曲線上點(diǎn)與其方程實(shí)數(shù)解一一對應(yīng)關(guān)系．2．經(jīng)過直接法等求曲線方程，體會直接法等在求曲線方程中應(yīng)用.2/471.曲線與方程概念普通地，在平面直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C(看作滿足某種條件點(diǎn)集合或軌跡)上點(diǎn)與一個(gè)二元方程實(shí)數(shù)解建立了以下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)坐標(biāo)都是________________；(2)以這個(gè)方程解為坐標(biāo)點(diǎn)都在____________，那么,這條曲線叫作方程曲線，這個(gè)方程叫作曲線方程．這個(gè)方程解曲線上3/472.求曲線方程(直接法)普通步驟(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用__________表示曲線上任意一點(diǎn)M坐標(biāo)；(2)寫出符合條件點(diǎn)M集合____________；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程____________；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式；(5)說明以化簡后方程解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線上.簡記為：建系、列式、代換、化簡、證實(shí)．普通地，步驟(5)能夠省略不寫，如有特殊情況，能夠適當(dāng)說明，另外也能夠省略(2)，直接列出曲線方程．(x，y)D＝{M|p(M)}f(x，y)＝04/473．求曲線方程方法(1)按動點(diǎn)特點(diǎn)求軌跡方程普通有以下幾個(gè)方法：①條件直譯法(直接法)基本思想：依據(jù)形成軌跡幾何條件和圖形性質(zhì)，直接寫出所求動點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)系，即題設(shè)中有顯著等量關(guān)系，或可用平面幾何知識推出等量關(guān)系，可用直譯法．②定義法定義法求軌跡有兩種類型，一是若能確定動點(diǎn)軌跡滿足某已知曲線定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，則可依據(jù)曲線定義直接寫出軌跡方程；二是動點(diǎn)軌跡與圓錐曲線相關(guān)，則可利用圓錐曲線定義求出動點(diǎn)軌跡方程．5/47③相關(guān)點(diǎn)代入法基本思想：假如所求軌跡中動點(diǎn)，伴隨另一動點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動,而另一動點(diǎn)又在某一條已知曲線C：f(x，y)＝0上運(yùn)動．這類問題常設(shè)法利用軌跡中動點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，表示已知曲線上動點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)，再將它代入已知曲線C方程f(x，y)＝0即可．④參數(shù)法基本思想：有時(shí)極難直接找出動點(diǎn)坐標(biāo)滿足關(guān)系，可借助中間變量——參數(shù)，建立動點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間聯(lián)絡(luò)，然后消去參數(shù)得到曲線方程．使用參數(shù)法求軌跡方程關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)參數(shù)和怎樣消去參數(shù)．解題普通步驟為：引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù),得到一個(gè)等價(jià)普通方程.6/47注意：設(shè)置參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)：突出主要矛盾，抓住問題關(guān)鍵，使運(yùn)算相對簡便，通常與圓相關(guān)問題，設(shè)角為參數(shù)；與過定點(diǎn)直線相關(guān)問題，與兩條相互垂直直線相關(guān)問題,設(shè)直線斜率為參數(shù)；與動點(diǎn)相關(guān)，與兩條直線或直線與曲線交點(diǎn)相關(guān)問題，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)．7/47⑤交軌法在求動點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)軌跡問題,這類問題經(jīng)常經(jīng)過解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用．(2)求曲線方程要注意以下幾點(diǎn)，這也是在求軌跡方程時(shí)需要注意：①坐標(biāo)系建立不一樣，同一曲線方程也不一樣．②普通地，求哪個(gè)點(diǎn)軌跡方程,就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y),而不是設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等．8/47③化簡方程化簡到什么程度，書本沒有給出明確要求，普通指將方程f(x，y)＝0化成x，y整式．假如化簡過程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏點(diǎn)．④“軌跡方程”是坐標(biāo)關(guān)系式，是一個(gè)方程，有時(shí)要在方程后依據(jù)需要指明變量取值范圍，而“軌跡”是點(diǎn)集合，是曲線，是幾何圖形．故求點(diǎn)軌跡除了寫出方程外，還必須指出這個(gè)方程所代表曲線形狀、位置、范圍、大小等.所以說，求軌跡方程和求軌跡是有所不一樣．9/4710/471．判斷正誤(正確打“√”，錯(cuò)誤打“×”)(1)在求曲線方程時(shí)，假如點(diǎn)有了坐標(biāo)或曲線有了方程，則說明已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系(

)(2)求曲線方程時(shí)，所建坐標(biāo)系不一樣，則求得方程也不一樣(

)(3)化簡方程“|x|＝|y|”為“y＝x”是恒等變形(

)(4)按照直接法求曲線方程步驟求解出曲線方程不用檢驗(yàn)(

)√××√11/47C解析：把點(diǎn)代入方程檢驗(yàn)知點(diǎn)A、C、D成立，B點(diǎn)不成立．12/473．如圖，方程x＋|y－1|＝0表示曲線是(

)解析：方程可化為|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故選B.B13/4714/47

曲線與方程概念(1)假如曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)都是方程F(x，y)＝0解，那么(

)A．以方程F(x，y)＝0解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線上B．以方程F(x，y)＝0解為坐標(biāo)點(diǎn)，有些不在曲線C上C．不在曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)不是方程F(x，y)＝0解D．坐標(biāo)不滿足F(x，y)＝0點(diǎn)不在曲線C上D15/47(2)“以方程f(x，y)＝0解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線C上”是“曲線C方程是f(x，y)＝0”(

)A．充分無須要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也無須要條件B16/47[解析]

(1)條件中曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)都是方程F(x，y)＝0解．滿足定義中純粹性，不過以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，這是無法判斷．故D正確．(2)依據(jù)曲線方程概念，“曲線C方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程f(x，y)＝0解”和“以方程f(x，y)＝0解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線C上”兩層含義，可知是必要不充分條件．17/47方法歸納處理這類問題要從兩方面入手：(1)曲線上點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個(gè)方程解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程曲線，方程是曲線方程．18/471.設(shè)方程f(x，y)＝0解集非空，假如命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0點(diǎn)都在曲線C上”是不正確，則以下命題正確是(

)A．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0點(diǎn)都不在曲線C上B．曲線C上點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方程f(x，y)＝0C．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上D．一定有不在曲線C上點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0D19/47解析：本題考查命題形式等價(jià)轉(zhuǎn)換．所給命題不正確，即“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0點(diǎn)不都在曲線C上”是正確．“不都在”包含“都不在”和“有在，有不在”兩種情況，故A、C錯(cuò)，B顯然錯(cuò)．20/47方程與曲線判斷21/4722/47方法歸納(1)判斷方程表示什么曲線，必要時(shí)要對方程適當(dāng)變形，變形過程中一定要注意與原方程等價(jià)，不然變形后方程表示曲線就不是原方程曲線．(2)判斷點(diǎn)是否在方程所表示曲線上，只需將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，若方程成立，則點(diǎn)在曲線上；若方程不成立，則點(diǎn)不在曲線上．23/47C24/47求軌跡方程設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過原點(diǎn)O作圓任意弦，求所作弦中點(diǎn)軌跡方程．25/4726/4727/4728/47方法歸納求軌跡方程關(guān)鍵是建立恰當(dāng)坐標(biāo)系(已給不需建系)，常見建系方法有：①以已知定點(diǎn)為原點(diǎn)；②以已知定直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)；③以已知線段所在直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)，以已知線段中點(diǎn)為原點(diǎn)；④以已知相互垂直兩定直線為坐標(biāo)軸；⑤讓盡可能多已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．總之一句話：遵照垂直性和對稱性標(biāo)準(zhǔn)．29/473.已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(1，0)，求滿足條件點(diǎn)C軌跡方程．30/4731/47求曲線2y2＋3x＋3＝0與曲線x2＋y2－4x－5＝0公共點(diǎn)．兩曲線交點(diǎn)問題32/4733/47方法歸納曲線與曲線交點(diǎn)問題需要解方程組．34/474．已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b取值范圍．35/4736/47易錯(cuò)警示因不注意方程等價(jià)變形或忽略隱含條件而致誤(·安陽高二檢測)已知點(diǎn)Q(2，0)和圓x2＋y2＝1，動點(diǎn)M到圓O切線長等于圓O半徑與|MQ|和，求動點(diǎn)M軌跡方程．37/4738/4739