高三數(shù)學一輪復(fù)習講義橢圓教師

課題：橢圓知識點一、橢圓的第一定義1.文字形式：在平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．2.代數(shù)式形式：集合知識點二、橢圓的第二定義1.若動點P(x,y)和定點F(c,0)的距離與它到定直線:的距離的比是常數(shù)(0<c<a),則動點P的軌跡是橢圓.2.橢圓的標準方程：焦點在軸時，；焦點在軸時，3.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)準線a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b24.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷(1)代數(shù)法：把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.記該一元二次方程根的判別式為Δ，①若Δ＞0，則直線與橢圓相交；②若Δ＝0，則直線與橢圓相切；③若Δ＜0，則直線與橢圓相離．(2)幾何法：在同一直角坐標系中畫出橢圓和直線，利用圖象和性質(zhì)可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．5．直線與橢圓的相交長問題：（1）弦長公式：設(shè)直線與橢圓有兩個公共點則弦長公式為或．【典型例題】【例1】橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由橢圓，可得，，則，

∵，，∴，，則橢圓的離心率為，故選C.【例2】橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為，離心率為，則該橢圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：由題意，設(shè)橢圓的標準方程為；則，解得，即橢圓的標準方程為．【例3】已知,是橢圓的兩焦點，過的直線交橢圓于,，若的△周長為8，則橢圓方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的定義有：周長為，又，焦點在軸上，故橢圓的方程為.故選A.【例4】如果橢圓上一點到焦點的距離為6，則點到另一個焦點的距離為（）A．10B．6C.12D．14【答案】D試題分析：由橢圓的定義知，∵，∴．故選：D.【例5】已知橢圓的長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的方程是（）A．B．C.D．【答案】C試題分析：設(shè)焦距為，則有，解得，所以橢圓【例6】、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且∠，則Δ的面積為（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：由題：，則：又：，∠,可得；，解得；，則：．【舉一反三】1．橢圓的長軸長為（）A．2B．4C．3D．6【答案】D試題分析：由橢圓的標準方程可知，該橢圓的焦點在軸上，并且長半軸的長是，從而可知橢圓的長軸長為，故選D.2．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A試題分析：由橢圓方程可知3．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：由題意可知，所以橢圓方程為4．直線過橢圓左焦點F1和一個頂點B，則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】C試題分析：直線與坐標軸的交點為.所以.所以橢圓中.,.所以橢圓的離心率.故C正確.5．過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：，焦點為，由兩點間距離公式可知點到的距離之和為，所以橢圓方程為6．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵橢圓，∴，，∵，，∴，∴.故選D.【課堂鞏固】1．短軸長等于8，離心率等于的橢圓的標準方程為（）A．B．或C．D．或【答案】D試題分析：，，，解得，，若焦點在軸，那么方程是，若焦點在軸，那么方程是，故選D.2．過點的直線與橢圓交于兩點,且點平分弦,則直線的方程為()A.B.C.D.【答案】B解析：設(shè)，則由題設(shè)可得，，即，故由直線的點斜式方程可得，即，應(yīng)選答案B。3.已知兩點、，且是與的等差中項，則動點的軌跡方程是(）A.B.C.D.【答案】C試題分析：由題意可知，所以點P的軌跡為橢圓，其中，所以方程為4.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B試題分析：如圖，在橢圓中，，在中，，且，代入解得，所以橢圓的離心率為，故選B.5．設(shè)橢圓()的左、右焦點分別為，，是上的點，，，則的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：由題意得，設(shè)，因為，，所以，又，所以，所以橢圓的離心率為，故選D．6．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點A（2，0），則橢圓的標準方程為（）A．B．C．或D．或【答案】D試題分析：①若a＝2，則b＝1，此時方程為；②若b＝2，則a＝4，此時方程為,故選D．7．定義：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，，所以，故橢圓的方程是.8．橢圓的中心在坐標原點，左、右焦點在軸上，已知分別是橢圓的上頂點和右頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率為_____.【答案】【解析】由于軸，所以點坐標為，由兩直線平行斜率相等得，化簡得，故離心率為.9．已知橢圓的左、右焦點為，離心率為，過的直線交于兩點，若的周長為，則的方程為__________．【答案】試題分析：由題意得橢圓的離心率為，所以，又因為過的直線交于兩點，若的周長為，根據(jù)橢圓的定義可知，周長，即，即，所以，又由，所以橢圓的方程為．10．已知橢圓上的點到左焦點的距離為3，為的中點，為坐標原點，則__________.【答案】試題分析：因為橢圓的實軸長為，所以，由橢圓的定義得，而是的中位線，所以.11．已知橢圓：的左焦點為，點是橢圓上一點，點是的中點，是橢圓的中心，，則點到橢圓的左準線的距離為．【答案】試題分析:設(shè)右焦點為,則由橢圓的定義,依據(jù)題設(shè)可得,即,,所以,由橢圓的第二定義可得,故,應(yīng)填答案.12．已知橢圓的兩個焦點是，點在該橢圓上，若，則的面積是____________．【答案】試題分析：由題意，又，∴，，而，∴，．【課后練習】正確率：________1．焦點為，，長軸長為10的橢圓的標準方程為（）A.B.C.D.【答案】B根據(jù)題意知：所以有，且焦點在軸，故方程為，選B.2．已知橢圓上的一點到橢圓的一個焦點的距離等于4，那么點到橢圓的另一個焦點的距離等于（）A．2B．4C．6D．8【答案】B試題分析：由橢圓方程可知，由橢圓定義可知點到橢圓的另一個焦點的距離等于84=43．若橢圓的離心率為，則（）A．3B．C．D．2【答案】D試題分析：由橢圓的離心率為，即，所以，所以，故選D．4．若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線離心率為()A.B．5C.D．2【答案】A試題分析：本題已知：焦點坐標，漸近線方程為：,距離為：化簡得：，又：，得：5．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）A．2B．6C．4D．12【答案】C【解析】試題分析：如圖，設(shè)橢圓的另外一個焦點為，則．6．若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為，一個焦點的坐標是（3，0），則橢圓的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：由題意可知，解方程組得，所以方程為7．已知橢圓的長軸在x軸，短軸的一個端點和兩個焦點的連線構(gòu)成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為.【答案】【解析】試題分析：設(shè)橢圓方程為，由題意，，則，，，橢圓標準方程為．8．已知圓經(jīng)過橢圓D（）的右焦點和上頂點，則橢圓D的離心率為．【答案】試題分析：在方程中，令得．令，得．據(jù)題意得所以．9．已知橢圓的長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標準方程是【答案】或．解：由題意知，2a=8，∴a=4，又，∴c=3，則b2=a2﹣c2=7．當橢圓的焦點在x軸上時，橢圓方程為；當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓方程為．故答案為：或．10．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，則橢圓+=1的離心率為．【答案】解：不等式x2﹣ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，可得1，2為方程x2﹣ax+b=0的解，即有1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，c==，則離心率e==．故答案為：．11．已知直線x﹣2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，那么這個橢圓的方程為，離心率為．【答案】試題分析：一個焦點為F（﹣2，0），短軸的一個頂點為F（0，1），可得c=2，b=1，故a=，從而得到橢圓的方程為．解：直線x﹣2y+2=0與x軸的交點為A（﹣2，0），與y軸的交點B（0，1），故橢圓的一個焦點為F（﹣2，0），短軸的一個頂點為F（0，1），故在橢圓中，c=2，b=1，∴a=，故這個橢圓的方程為，故答案為．12．中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，若，則橢圓的方程為________．【答案】試題分析：設(shè)，由得，，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為．