函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)同一函數(shù)的概念：構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。=1\*GB2⑴下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與。A、①②B、①③C、③④D、①④=2\*GB2⑵判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，A、⑴、⑵ B、⑵、⑶ C、⑷ D、⑶、⑸2.函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則）：1．根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)中且。如（1）函數(shù)的定義域是____。（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_______(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是__________(答：)；（4）設(shè)函數(shù)，①若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍①；②）2．復(fù)合函數(shù)的定義域：如（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開(kāi)_________（答：）；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______（答：[1,5]）3.求函數(shù)值域（最值）的方法：1．配方法――二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)的值域（答：[4,8]）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；（3）已知的圖象過(guò)點(diǎn)（2,1），則的值域?yàn)開(kāi)_____（答：[2,5]）2．換元法――通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域?yàn)開(kāi)____（答：）；（2）的值域?yàn)開(kāi)____（答：）3．函數(shù)有界性法――直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，，的值域（答：、（0,1）、）；4．單調(diào)性法――利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，，的值域（答：、、）；5．?dāng)?shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數(shù)的值域（答：）；（3）求函數(shù)及的值域（答：、）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè)。6．判別式法――對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式：①型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）②型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：）③型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)的值（答：）④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）7．不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是__.（答：）。8．導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。（答：－48）提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫(xiě)成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？4.求函數(shù)解析式的常用方法：1．待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知為二次函數(shù)，且，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,求的解析式。（答：）2．代換（配湊）法――已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數(shù)=_____（答：）；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，=________（答：）.這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。3．方程的思想――已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+=,則=_（答：）復(fù)合函數(shù)定義域和值域練習(xí)題求函數(shù)的定義域1、求下列函數(shù)的定義域：⑴⑵⑶2、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__；函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______；3、若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域?yàn)?。知函?shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍。求函數(shù)的值域求下面函數(shù)的值域⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值。答案函數(shù)定義域：1、（1）（2）（3）2、；3、4、函數(shù)值域：5、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）6、5.函數(shù)的奇偶性：判斷函數(shù)奇偶性的前提是先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,則直接下結(jié)論，為非奇非偶函數(shù).=1\*GB2⑴確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：（f（0）=0，奇偶性的定義，圖像）①定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性____（答：奇函數(shù)）。②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（）。如判斷的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。=2\*GB2⑵函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).③若為偶函數(shù)，則。如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_(kāi)_____.④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。（f（x）為奇函數(shù)—>f(0)=0,而f（0）=0不可推出f（x）為奇函數(shù)）若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)=____（答：1）.（直接講f（0）=0帶入）6.函數(shù)的單調(diào)性。1．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號(hào)）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：）)；②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等。（1）若函數(shù)在區(qū)間（－∞，4]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）；（3）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：且）)；技巧：形如f（x1）-f（x2）/(x1-x2)>0,為增函數(shù)；形如f（x1）-f（x2）/(x1-x2)<0,為減函數(shù)。③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：（1,2）)。典型例題：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性的應(yīng)用：1.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，的大小關(guān)系是（）ABCD2..已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足＜的x取值范圍是A．（，）B．（，）C．（，）D．3.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．B．C．D．4.已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)5．(2010·溫州一模)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為_(kāi)_______．6．(2009·陜西文，10)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，則 ()A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)7．(2009·湖南示范性高中一模)函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)有相同的定義域，且都不是常數(shù)函數(shù)，對(duì)定義域中任意x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且x≠0，g(x)≠1，則F(x)＝eq\f(2f(x),g(x)－1)＋f(x) ()A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)二填空題8．設(shè)f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常數(shù))且,則f（7）=______.若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_(kāi)________.9．f(x)是偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),它們的定義域都是{x|x≠±1,x∈R}且滿足f(x)+g(x)=,則f(x)=____,g(x)=______.10、定義在上的奇函數(shù)，則常數(shù)____,_____三．判斷下列各函數(shù)的奇偶性1）f（x）=（x-2）；23456；7四．簡(jiǎn)答題：函數(shù)對(duì)一切，都有，求證：為奇函數(shù)；若，用表示.2.已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.3、定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的范圍。已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.5.函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.技巧性做法：如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等1）若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；2）若，滿足，則的奇偶性是______（答：偶函數(shù)）；3）設(shè)的定義域?yàn)?，?duì)任意，都有，且時(shí)，，又，①求證為減函數(shù)；②解不等式.（答：）．7.函數(shù)周期性：1．由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；②若恒成立，則；③若恒成立，則.2.①若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；②若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；③如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；習(xí)題練習(xí)：(1)設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于_____(答：)；(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系為_(kāi)________(答：)；（3）已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)；（4）設(shè)函數(shù)表示除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的，都有A、B、C、D、（答：A）；（5）設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足，如果，，求（答：1）； （6）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。如果，且，則的值的符號(hào)是____（答：負(fù)數(shù)）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí) （7）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）；；（8）設(shè)是定義在上以為周期的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下面正確的結(jié)論是 （）（9）函數(shù)既是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，又是以為周期的周期函數(shù)，若在上是減函數(shù)，那么在上是 （）增函數(shù)減函數(shù)先增后減函數(shù)先減后增函數(shù)10、已知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為 （）11、定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（） 12、已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（）D2`13.已知是奇函數(shù)，，則=____________．14、函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則15、設(shè)的最小正周期且為偶函數(shù),它在區(qū)間上的圖象如右圖所示的線段,則在區(qū)間上,1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為()A．－1B．0C．2．已知函數(shù)是一個(gè)以4為最小正周期的奇函數(shù)，則 （） A．0 B．－4 C．4 D．不能確定3.（2009江西）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．B．C．D．4.函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則等于()A.B.C.D.5.是定義在上的函數(shù)，且，則（）A.周期為20的奇函數(shù)B.周期為20的偶函數(shù)C.周期為40的奇函數(shù)D.周期為40的偶函數(shù)7.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值等于()A.B.C.D.8．設(shè)f（x）是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f（x）在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則下面正確的結(jié)論是（）A．B．C．D．9（07安徽）定義在R上函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉