高中數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)Ⅰ2.3冪函數(shù)講義新人教A版必修省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

2.3冪函數(shù)1/30目標(biāo)導(dǎo)航2/30新知探求課堂探究3/30新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成【情境導(dǎo)學(xué)】導(dǎo)入請用描點(diǎn)法在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出初中已熟知函數(shù)y=x,y=x2,y=圖象,并觀察它們共同特點(diǎn).答案:這些函數(shù)都是以冪底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù),它們圖象都過點(diǎn)(1,1).這類函數(shù)稱之為冪函數(shù).4/30知識探究1.冪函數(shù)概念普通地,函數(shù)

叫做冪函數(shù),其中

是自變量,

是常數(shù).探究1:冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)自變量有何區(qū)分?答案:冪函數(shù)是形如y=xα(α∈R),自變量在底數(shù)上,而指數(shù)函數(shù)是形如y=ax(a>0且a≠1),自變量在指數(shù)上.y=xαxα2.冪函數(shù)圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1圖象如圖:5/30探究2:冪函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限?答案:第四象限.這是因?yàn)閥=xα中當(dāng)x>0時(shí),y不可能小于0.3.冪函數(shù)性質(zhì)增減增增減6/30【拓展延伸】函數(shù)y=xn(n=,p,q∈Z,|p|與|q|互質(zhì))圖象7/308/30自我檢測1.(概念)以下函數(shù)中是冪函數(shù)為(

)(A)①③④ (B)③ (C)③④ (D)全不是B解析:依據(jù)冪函數(shù)定義,xa系數(shù)為1,指數(shù)位置a為一個(gè)常數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0可知,只有③滿足定義,故選B.9/30BB10/30B5.(單調(diào)性)若f(x)=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α取值范圍為

.

答案:(0,+∞)11/30題型一冪函數(shù)概念課堂探究·素養(yǎng)提升解析:(1)②⑦為指數(shù)函數(shù),③中系數(shù)不是1,④中解析式為多項(xiàng)式,⑤中底數(shù)不是自變量本身,所以只有①⑥是冪函數(shù),故選B.(2)由冪函數(shù)定義可知m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故選C.12/30方法技巧

冪函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)特征:(1)解析式是單項(xiàng)式;(2)冪指數(shù)為常數(shù),底數(shù)為自變量,系數(shù)為1.13/3014/30(A)偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)(B)偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)(C)奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)(2)冪函數(shù)f(x)=xm是偶函數(shù),在x∈(0,+∞)為增函數(shù),則m值能夠?yàn)?/p>

(填序號).

①-1;②2;③4;④-1或2.(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=xm是偶函數(shù),在x∈(0,+∞)為增函數(shù),所以m是正偶數(shù),所以m值可能是2或4.答案:(1)D

(2)②③15/30題型二冪函數(shù)圖象【例2】(1)(·安慶高一期末)冪函數(shù)y=f(x)圖象過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)圖象是(

)16/30(2)(·江西高一月考)若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中圖象如圖,則a,b,c,d大小關(guān)系是(

)(A)d>c>b>a(B)a>b>c>d(C)d>c>a>b(D)a>b>d>c解析:(2)在第一象限內(nèi),x=1右側(cè)部分圖象,圖象由下至上,冪指數(shù)增大,所以a>b>c>d.故選B.17/30方法技巧依據(jù)冪函數(shù)圖象比較指數(shù)大小,可依據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性以及圖象改變判斷,也可利用特征,如令x=2,作出直線x=2與各圖象交點(diǎn),由指數(shù)函數(shù)y=2x單調(diào)性即可由交點(diǎn)縱坐標(biāo)確定指數(shù)大小關(guān)系.18/3019/3020/3021/30題型三冪函數(shù)性質(zhì)【例3】

比較以下各組數(shù)大小:(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(2)冪函數(shù)y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上為減函數(shù),因?yàn)?>-2>-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3.22/30解:(3)冪函數(shù)y=x-0.1在(0,+∞)上為減函數(shù),因?yàn)?<1.1<1.2,所以1.1-0.1>1.2-0.1.23/30方法技巧

比較冪值大小,關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)適當(dāng)函數(shù),若指數(shù)相同而底數(shù)不一樣,則考慮冪函數(shù);若指數(shù)不一樣底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù);若底數(shù)不一樣,指數(shù)也不一樣,需引入中間量,利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,也能夠借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象.24/30即時(shí)訓(xùn)練3-1:比較以下各組中兩個(gè)數(shù)大小:(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x1.5在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以0.71.5>0.61.5.25/30解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上遞增,所以9-3m>0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2,又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以9-3m為奇數(shù),故m=2.所以f(x)=x3.【備用例3】(·連城一中高一期中)已知冪函數(shù)f(x)=x9-3m(m∈N*)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且在R上函數(shù)值隨x增大而增大.(1)求f(x)表示式;26/30(2)求滿足f(a+1)+f(3a-4)<0a取值范圍.27/30題型四易錯(cuò)辨析——對冪函數(shù)了解不全致誤【例4】若(a+1)