安徽省安慶市賽口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

安徽省安慶市賽口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x﹣a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（f（b））=b，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A．[﹣，1﹣] B．[1﹣，ln2﹣1] C．[﹣，ln2﹣1] D．[﹣，0]參考答案：C考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：利用反函數(shù)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題．解答： 解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f﹣1（x）的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，∵y=f（x）的圖象與y=f﹣1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f﹣1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，令：lnx+x﹣a=x，則方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx﹣x，設(shè)g（x）=lnx﹣x則g′（x）=﹣=，當(dāng)g′（x）=0．解得x=2，∴函數(shù)g（x）=在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e]上為減函數(shù)，∴g（x）≤g（2）=ln2﹣1，g（1）=﹣，g（e）=1﹣e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣，ln2﹣1]故選：C點(diǎn)評(píng)：本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題2.已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，則A∩B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式求得集合A，求函數(shù)定義域得集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（1﹣x）（1+x）＞0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|lg（x+9）＜1}={x|0＜x+9＜10}={x|﹣9＜x＜1}，則A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故選：A．3.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a﹣（a∈R）是純虛數(shù)，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則把a(bǔ)﹣（a∈R）可以化為（a﹣3）﹣i，再利用純虛數(shù)的定義即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是純虛數(shù)，∴a﹣3=0，解得a=3．故選D．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且,

則等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

參考答案：A因?yàn)?，所以，解得，所以，即，選A.5.如圖所示的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S和T的值依次是 (

)A．2500,2500

B．2550,2550

C．2500,2550

D．2550,2500參考答案：D6.設(shè)為不同的平面，為不同的直線，則的一個(gè)充分條件為（

）．A、，，

B、，，C、，，

D、，，參考答案：D7.某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8~10歲，11~12歲，13~14歲，15~16歲四個(gè)年齡段回收的問卷依次為：120份，180份，240份，份。因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11~12歲學(xué)生問卷中抽取60份，則在15~16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為（

）A．60

B．80

C．120

D．180參考答案：C略8.參考答案：C9.設(shè)函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（x）=f（2﹣x），當(dāng)x∈時(shí)，f（x）=sinx，則函數(shù)g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為（）A．6 B．7 C．13 D．14參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】確定函數(shù)的周期為4，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的零點(diǎn)，即方程|cos（πx）|=f（x）的零點(diǎn)，利用圖象可得結(jié)論．【解答】解：由題意，函數(shù)f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x），則﹣f（﹣x）=f（2﹣x），可得f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期為4，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間上的零點(diǎn)，即方程|cos（πx）|=f（x）的零點(diǎn)，畫y=|cos（πx）|函數(shù)圖象，∵兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴方程|cos（πx）|=f（x）的零點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由圖象可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，可得所有零點(diǎn)的和為6，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．10.命題“對(duì)任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.對(duì)任意的參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸垂直的直線與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為_______；參考答案：12.已知拋物線經(jīng)過圓的圓心，則拋物線的準(zhǔn)線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)H3

H7圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)，代入拋物線方程可得，所以其準(zhǔn)線方程為，圓心到直線的距離，所以拋物線的準(zhǔn)線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為：.故答案為.【思路點(diǎn)撥】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心，代入拋物線方程可得，即其準(zhǔn)線為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng).13.已知向量，，，則實(shí)數(shù)

．參考答案：解析：由，則，所以，又由，所以，解得，故答案為.14.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝的最小值為______________.參考答案：略15.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,已知,，，則△ABC的面積為

.參考答案：16.已知銳角△ABC的面積為3，BC=4，CA=3，則角C的大小為

．參考答案：60°【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)三角形的面積公式S=absinC，由銳角△ABC的面積為3，BC=4，CA=3，代入面積公式即可求出sinC的值，然后根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的大?。窘獯稹拷猓河深}知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案為60°．17.已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形。若PA=2,則球O的表面積為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，（I）若x∈[0，2]，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為P，第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為Q，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，求∠POQ的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（I）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式可得，再利用單調(diào)性即可得出．（II）由題意得P，Q．根據(jù)距離公式及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I），，解得，∵x∈[0，2]時(shí)，或，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（II）由題意得P，Q．根據(jù)距離公式，，，根據(jù)余弦定理，19.（2016秋?安慶期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）﹣m．若函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＞1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出x1，x2，令t=，得到0＜t＜1，構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（t）＜h（1），從而證出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g（x）=lnx+﹣m的兩個(gè)零點(diǎn)，所以lnx1+﹣m=0，lnx2+﹣m=0．兩式相減，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=，那么x1=，x2=．令t=，其中0＜t＜1，則x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），則h′（t）=．因?yàn)?＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，可知＞1，故x1+x2＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，函數(shù)的構(gòu)造、換元思想，是一道中檔題．20.已知a、b為正實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）若函數(shù)f(x)的最大值為1，求的最小值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式公式進(jìn)行求解；（2）由（1）得，再根據(jù)基本不等式可得的最小值.【詳解】解：（1）因?yàn)椋院瘮?shù)的最大值為.（2）由（1）可知，，因?yàn)椋?，所以，即，且?dāng)時(shí)取“”，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式、絕對(duì)值不等式等知識(shí)，運(yùn)用基本不等式時(shí)，要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件，熟練運(yùn)用絕對(duì)值不等式也是解決本題的關(guān)鍵.21.在如右圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：解：(（1）證明1：因?yàn)椋凇髦?，由余弦定理可得．………………?分所以．所以．………3分因?yàn)?，，、平面，所以平面．……?分證明2：因?yàn)?，設(shè)，則．在△中，由正弦定理，得．……1分因?yàn)?，所以．整理得，所以．…?分所以．…………………3分因?yàn)?，，、平面，所以平面．………?分

（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以．因?yàn)?，所以平面．…………?分取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槭堑妊菪危?，，所以．所以△是等邊三角形，且．取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則．因?yàn)槠矫?，，所以．因?yàn)?，所以平面．所以為直線與平面所成角．…10分

因?yàn)槠矫?，所以?/p>