2024年雅禮中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月高考模擬試卷附答案解析

年雅禮中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月高考模擬試卷2024.05一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．某中學(xué)的高中部共有男生1200人，其中高一年級(jí)有男生300人，高二年級(jí)有男生400人．現(xiàn)按分層抽樣抽出36名男生去參加體能測(cè)試，則高三年級(jí)被抽到的男生人數(shù)為（

）A．9 B．12 C．15 D．182．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸4．已知橢圓和拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且，橢圓的離心率為．則拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為（

）．A．； B．；C．； D．；5．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）

A． B．1 C． D．6．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．7．加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖）．已知橢圓：，是直線：上一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，連接（是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)為直角時(shí)，直線的斜率（

）

A． B． C． D．8．已知，，，則（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)，為兩條不重合的直線，為一個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．已知，下列判斷正確的是（

）A．若，且，則B．時(shí)，直線為圖象的一條對(duì)稱軸C．時(shí)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．若在上恰有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．若實(shí)數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．且 B．的最小值為9C．的最小值為 D．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則．13．?dāng)?shù)列滿足，則.14．設(shè)為雙曲線的一個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，為的漸近線上的兩點(diǎn)，滿足，，則的漸近線方程是．四?解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．為了了解高中生運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況和性別之間的關(guān)系，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了100名高中生的情況，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，并把每天參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，時(shí)間不超過(guò)30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)欠佳”，已知運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)與運(yùn)動(dòng)欠佳的人數(shù)比為3∶2，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為2∶1，運(yùn)動(dòng)欠佳的男生有5人.(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間達(dá)標(biāo)與性別因素有關(guān)系；性別運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)欠佳男生女生合計(jì)(2)現(xiàn)從“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中任選2.人進(jìn)行體能測(cè)試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.參考公式，.0.10.050.012.7063.8416.63516．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．17．如圖，已知在正三棱柱中，，且點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).

(1)過(guò)點(diǎn)作三棱柱截面交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，過(guò)分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．19．設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式.(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)對(duì)于正整數(shù)時(shí)，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，證明：.1．C【分析】由題意按分層抽樣的方法用36乘以高三年級(jí)的男生數(shù)占總男生數(shù)的比例即可求解.【詳解】高三年級(jí)被抽到的男生人數(shù)為.故選：C.2．B【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合M，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B3．C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.4．B【詳解】由橢圓與拋物線的對(duì)稱性知，軸，且，故根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．所以橢圓過(guò)點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓離心率為，因此，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．5．D【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】在正八邊形中，連接，則，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故選：D

6．C【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：C．7．D【分析】利用特殊的長(zhǎng)方形（即邊長(zhǎng)與橢圓的軸平行）求得蒙日?qǐng)A方程，進(jìn)而可求得直線：為圓的切線，由，即可得出結(jié)果.【詳解】由橢圓：可知：，當(dāng)如圖長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和，其對(duì)角線長(zhǎng)為，因此蒙日?qǐng)A半徑為4，圓方程為，當(dāng)為直角時(shí)，可知點(diǎn)當(dāng)在圓，因?yàn)榈街本€的距離為，所以直線：為圓的切線，因?yàn)橹本€，，所以.故選：D.

8．A【分析】由條件得到，，從而得到，，即可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出，從而得出結(jié)果.【詳解】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，則，所以，得到，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，得到在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于判斷的大小，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.9．BD【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系，判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，直線可能在平面內(nèi)，可能與平面相交，也可能平面平行，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)直線為平面內(nèi)的任意一條直線，因?yàn)?，，所以，又，所以，即b與內(nèi)任意直線垂直，所以，故B正確.對(duì)于C，若，，則直線與直線可能平行，也可能異面，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，過(guò)直線作平面，使得平面與平面相交，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，又，，所以，則，故D正確.故選:BD10．BD【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，對(duì)于，根據(jù)條件，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以直線為的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得，為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意，則，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零，所以，解得，故D正確.故選：BD.11．ABD【分析】對(duì)于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于BC，利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由，可得，所以且，即，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，可得，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．12．【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，則，所以.故答案為：.13．【分析】當(dāng)時(shí)求出，當(dāng)時(shí)，作差即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，當(dāng)時(shí)不成立，所以.故答案為：14．【分析】由角平分線定理，結(jié)合余弦定理，求得，再求的正切值，進(jìn)而即可求得漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

依題意，為的角平分線，且，設(shè)，由角平分線定理可得：，則；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的漸近線方程是．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的漸近線方程，常見(jiàn)有三種方法：①直接求出，從而得解；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，從而得解；③求得其中一個(gè)漸近線的傾斜角（或斜率），從而得解.15．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，能(2)【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值比較得結(jié)論；（2）由分層抽樣確定男女生人數(shù)，利用組合數(shù)公式和古典概型求解.【詳解】（1）100名高中生，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)與運(yùn)動(dòng)欠佳的人數(shù)比為3∶2，則運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)為，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為2∶1，則運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的女生有40人，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的男生有20人，列聯(lián)表為性別運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)欠佳男生20525女生403575合計(jì)6040100零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間達(dá)標(biāo)與性別因素?zé)o關(guān)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間達(dá)標(biāo)與性別因素有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.（2）因?yàn)椤斑\(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的男生?女生分別有20人和40人，按分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則男生?女生分別抽到2人和4人，則選中的2人中恰有一人是女生的概率為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，．17．(1)(2)【分析】（1）將平面延展得到點(diǎn)，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量利用夾角公式求解即可.【詳解】（1）由正三棱柱中，，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，可得，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則四邊形為所求截面，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，所以因此，所以.

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，

以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）首先得到、的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計(jì)算可得；（2）①設(shè)，則直線的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進(jìn)而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進(jìn)而得其對(duì)應(yīng)的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式得、，進(jìn)而得．【詳解】（1）對(duì)于橢圓：，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.（2）①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以．又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，為定值．②由相似比可知，，解得，所以橢圓：，其左、右頂點(diǎn)分別為，，恰好為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，易知直線、的斜率均存在且不為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為．由，得，設(shè)，，則，，所以，同理可得，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題