人教版初二上冊壓軸題數學質量檢測試題帶解析(一)

人教版初二上冊壓軸題數學質量檢測試題帶解析（一）1．操作發(fā)現：如圖1，D是等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，易證AF=BD（不需要證明）；類比猜想：①如圖2，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其它作法與圖1相同，猜想AF與BD在圖1中的結論是否仍然成立。深入探究：②如圖3，當動點D在等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′你能發(fā)現AF，BF′與AB有何數量關系，并證明你發(fā)現的結論。③如圖4，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其它作法與圖3相同，猜想AF，BF′與AB在上題②中的結論是否仍然成立，若不成立，請給出你的結論并證明。2．請按照研究問題的步驟依次完成任務．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．【簡單應用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數（可直接使用問題（1）中的結論）【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數為；【拓展延伸】（4）在圖4中，若設∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關系，直接寫出結論．3．在平面直角坐標系中，點A(a，0)，點B(0，b)，已知a，b滿足．（1）求點A和點B的坐標；（2）如圖1，點E為線段OB的中點，連接AE，過點A在第二象限作，且，連接BF交x軸于點D，求點D和點F的坐標；：（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作交AB于點P，M是EP延長線上一點，且，連接MO，作，ON交BA的延長線于點N，連接MN，求點N的坐標．4．已知，．（1）若，作，點在內．①如圖1，延長交于點，若，，則的度數為；②如圖2，垂直平分，點在上，，求的值；（2）如圖3，若，點在邊上，，點在邊上，連接，，，求的度數．5．如圖1,在平面直角坐標系中,,動點從原點出發(fā)沿軸正方向以的速度運動,動點也同時從原點出發(fā)在軸上以的速度運動,且滿足關系式,連接,設運動的時間為秒.(1)求的值;(2)當為何值時，(3)如圖2,在第一象限存在點,使,求.6．如圖1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y軸于點B，CD⊥x軸于點D．（1）求證：△AOB≌△COD；（2）如圖2，連接AC，BD交于點P，求證：點P為AC中點；（3）如圖3，點E為第一象限內一點，點F為y軸正半軸上一點，連接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，點G為AF中點．連接EG，EO，求證：∠OEG＝45°．7．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長BA、CD交于點E，記BC＝m，DC＝n，求證：．8．如圖1，在平面直角坐標系中，點在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，設，且．（1）直接寫出的度數．（2）如圖2，點D為AB的中點，點P為y軸負半軸上一點，以AP為邊作等邊三角形APQ，連接DQ并延長交x軸于點M，若，求點M的坐標．（3）如圖3，點C與點A關于y軸對稱，點E為OC的中點，連接BE，過點B作，且，連接AF交BC于點P，求的值．【參考答案】2．①成立，證明見詳解；②AF+BF′=AB，證明見詳解；③不成立，AF=AB+BF′，證明見詳解.【分析】類比猜想：①通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；深入探究：②AF+BF′=解析：①成立，證明見詳解；②AF+BF′=AB，證明見詳解；③不成立，AF=AB+BF′，證明見詳解.【分析】類比猜想：①通過證明△BCD≌△ACF，即可證明AF=BD；深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的對應邊BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，所以AF+BF′=AB；③結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；通過證明△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；再結合（2）中的結論即可證得AF=AB+BF′．【詳解】解：類比猜想：①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等邊三角形的性質）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（全等三角形的對應邊相等）；深入探究：②如圖示AF+BF′=AB；證明如下：由①條件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，∴同理可證△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；③結論不成立．新的結論是AF=AB+BF′；如圖示：證明如下：∵等邊△DCF和等邊△DCF′，由①同理可知：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD（全等三角形的對應邊相等）；又由②知，AF=BD；∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.3．（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據三角形內角和定理即可證明；（2）如圖2，根據角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根據三角形內角和定理即可證明；（2）如圖2，根據角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點睛】本題考查三角形內角和，三角形的外角的性質、多邊形的內角和等知識，解題的關鍵是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．4．（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結合題意，根據絕對值和乘方的性質，得，，通過求解一元一次方程，得，；結合坐標的性質分析，即可得到答案；（2）解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結合題意，根據絕對值和乘方的性質，得，，通過求解一元一次方程，得，；結合坐標的性質分析，即可得到答案；（2）如圖，過點F作FH⊥AO于點H，根據全等三角形的性質，通過證明，得AH=EO=2，FH=AO=4，從而得OH=2，即可得點F坐標；通過證明，推導得HD=OD=1，即可得到答案；（3）過點N分別作NQ⊥ON交OM的延長線于點Q，NG⊥PN交EM的延長線于點G，再分別過點Q和點N作QR⊥EG于點R，NS⊥EG于點S，根據余角和等腰三角形的性質，通過證明等腰和等腰，推導得，再根據全等三角形的性質，通過證明，得等腰，再通過證明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．（2）如圖，過點F作FH⊥AO于點H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°，∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE，在和中∴∴AH=EO=2，FH=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2，4)∵OA=BO，∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1，0)∴D(-1，0)，F(-2，4)；（3）如圖，過點N分別作NQ⊥ON交OM的延長線于點Q，NG⊥PN交EM的延長線于點G，再分別過點Q和點N作QR⊥EG于點R，NS⊥EG于點S∴∴，∴∴∴∴等腰∴NQ=NO，∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴，∴∵，∴∵點E為線段OB的中點∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP，∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO∵，∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴．∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO，∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4，MS=OE=2∴N(-6，2)．【點睛】本題考查了直角坐標系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、絕對值、乘方的知識；解題的關鍵是熟練掌握直角坐標系、全等三角形、等腰三角形的性質，從而完成求解．5．（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據等腰直角三角形的性質，連接，得，，所對的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質計算可得；②構造“一線三垂直”模型，證解析：（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據等腰直角三角形的性質，連接，得，，所對的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質計算可得；②構造“一線三垂直”模型，證明三角形，利用面積比等于等高的三角形的底邊的比，結合已知條件即可解得．（2）構造等邊，通過證明，等邊代換，得出等腰三角形，代入角度計算即得．【詳解】（1）①連接ＡＥ，在，因為，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．②過Ｃ作交ＤＦ延長線于Ｇ，連接ＡＥＡＤ垂直平分ＢＥ，，，，，故答案為：；（2）以AB向下構造等邊，連接DK，延長AD，BK交于點T，，，，，，，等邊中，，，，，在和中，，等邊三角形三線合一可知，BD是邊AK的垂直平分線，，，，，故答案為：．【點睛】考查了等腰直角三角形的性質，外角的性質，等腰三角形的判定和性質，構造等邊三角形的方法證明全等，全等三角形的性質應用很關鍵，熟記幾何圖形的性質和判定是解決圖形問題的重要方法依據．6．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關系式轉化為非負數和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動點運動方向有兩種情況，分情況根據列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關系式轉化為非負數和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動點運動方向有兩種情況，分情況根據列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當動點沿軸正方向運動時，如解圖-2-1：

當動點沿軸負方向運動時，如解圖-2-2：（3）過作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造三角形是本題的關鍵．7．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據即可證明；（2）過點作軸，交于點，得出，由平行線的性質得，由軸得，由得，故可得，從而得出，推出，根據證明，得出即可得證；（3）延解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據即可證明；（2）過點作軸，交于點，得出，由平行線的性質得，由軸得，由得，故可得，從而得出，推出，根據證明，得出即可得證；（3）延長到，使，連接，，延長交于點，根據證明，得出，，故，由平行線的性質得出，進而推出，根據證明，故，，即可證明．【詳解】（1）軸于點，軸于點，，，，，，；（2）如圖2，過點作軸，交于點，，，軸，，，，，，，，在與中，，，，即點為中點；（3）如圖3，延長到，使，連接，，延長交于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，利用做輔助線作全等三角形是解決本題的關鍵．8．(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據菠菜四邊形的定義結合各個特殊四邊形的定義即可得出結論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據菠菜四邊形的定義結合各個特殊四邊形的定義即可得出結論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據已知條件可得，進而可得，得出由平分線的性質結合等腰三角形的性質可得BD平分，過點D作于點H，作于點N，則DH=DN,則，由此即可得出結論．（1）根據菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過A作，交CB的延長線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為1