2024年同步備課高中數(shù)學(xué)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)課件新人教A版必修第二冊(cè)

9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律.但有時(shí)候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征.1）對(duì)于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會(huì)更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；2）對(duì)于一個(gè)國家國民的身高情況，我們可能會(huì)更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等.引

入在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).引

入(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．

如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．下面我們通過具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).例4利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).探究新知9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

例4利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).因?yàn)閿?shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡單隨機(jī)樣本，所以我們可以據(jù)此估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79ｔ，其中位數(shù)約為6.8ｔ.探究新知9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6解：將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得第50個(gè)數(shù)和第51個(gè)數(shù)均為6.8，由中位數(shù)的定義，可得100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8ｔ.思考：小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù).但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較.哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？通過簡單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79ｔ變?yōu)?.483ｔ，中位數(shù)沒有變化，還是6.8ｔ.探究新知概念辨析小結(jié)：1）樣本平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；2）中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變.3）與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感.探究:平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？探究新知一般來說，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來說，1）如果直方圖的形狀是對(duì)稱的（圖1），那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；2）如果直方圖在右邊“拖尾”（圖2），那么平均數(shù)大于中位數(shù)；3）如果直方圖在左邊“拖尾”（圖3），那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.探究新知例5某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.探究新知分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實(shí)上是幾種不同的類別.對(duì)于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386探究新知解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適.由于全國各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理.小結(jié)：1）眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息.2）眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.3）眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值也不敏感.概念辨析概念辨析對(duì)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；課堂練習(xí)探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù).例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖.這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎？在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布.這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).探究新知因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，探究新知

樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替探究新知根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，

中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間［4.2，7.2）內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值，如圖所示.眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個(gè)實(shí)際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間［4.2，7.2）內(nèi)的居民用戶最多.這個(gè)信息具有實(shí)際意義.探究新知在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)的各自特點(diǎn)，并研究了用樣本的特征量估計(jì)總體的特征量的方法.需要注意的是，這些特征量有時(shí)也會(huì)被利用而產(chǎn)生誤導(dǎo).例如，假設(shè)你到人力市場(chǎng)去找工作，有一個(gè)企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，你該如何理解這句話？探究新知這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況.1）可能這個(gè)企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；2）可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低（如大多數(shù)是5萬元左右），而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達(dá)到100萬元，在這種情況下年收入的平均