新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示培優(yōu)練習(xí)題

1.4空間向量的應(yīng)用

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1.理解直線的方向向量與平面的法向1.數(shù)學(xué)抽象：對(duì)直線的方向向量、平面

量.的法向量的概念理解.

2.能用向量語言表述線線、線面、面面2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算直線的方向向量和平

的垂直、平行關(guān)系.面的法向量.

3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)3.邏輯推理：直線、平面位置關(guān)系的判

系的一些定理(包括三垂線定理).定與證明.

第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

出備知

知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

(1)點(diǎn)的位置向量

在空間中，取一定點(diǎn)。作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P

就可以用向量舁來表示，向量舁稱為點(diǎn)尸的位置向量.

(2)空間直線的向量表示

如圖，a是直線/的方向向量，在直線/上耽通=a,取定

空間中的任意一點(diǎn)。，可以得到點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存

在實(shí)數(shù)3使歷5=0A+以①，將屈=a代入①式得53=向

+國.

(3)空間中平面的向量表K

如圖，取定空間任意一點(diǎn)。，可以得到，空間一點(diǎn)P位于平

面A3C內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使林=OA+

做點(diǎn)撥--------------------------------

(1)直線的方向向量通常有無數(shù)個(gè)，同一條直線的方向向量都是共線向量.它

們的模不一定相等.

(2)給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量a,就可以確定唯一一條過點(diǎn)A且平

行于向量a的直線.

圓TH在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，E在尸C上，且CE=

3EP,設(shè)協(xié)=a,AD=b,AP=c,以｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，求直線

AE的一個(gè)方向向量.

【解】如圖所示，座=AC+CE=AB+AD+|(APP

-AC)=AB+AD+|(AP-AB-AD)=|ABADA^^\\D

3廣11,3工—―c

+4AP=4叫g(shù)c

113

故直線AE的一個(gè)方向向量是aa+4b+-^c.

陶題技巧------------------------------

求直線的方向向量關(guān)鍵是找到直線上兩點(diǎn)，用所給的基向量表示以兩點(diǎn)為起

點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，其難點(diǎn)是向量的運(yùn)算.

＜跟蹤訓(xùn)練(多選)若M(l,0,-1),NQ,1,2)在直線/上，則直線/的

一個(gè)方向向量是〃=()

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(—3,0,1)

解析：選AB.由題知疚=(1,1,3),

因?yàn)镹在直線/上，

可知AB符合條件.

知識(shí)點(diǎn)二平面的法向量

如圖，直線l±a,取直線/的方向向量a,則a叫做平面alZ

的法向量.過空間點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面a,可以用

a

集合表示為｛Pla?#=0).

微點(diǎn)撥--------------------------------

(1)平面a的一個(gè)法向量垂直于與平面a平行的所有向量.

⑵一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，且它們互相平行.

?TH如圖，在四棱錐尸ABCD底面A3CD為

矩形，必，平面A3CD,E為尸。的中點(diǎn)，AB=AP=1,AD

=小，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一

個(gè)法向量.

【解】因?yàn)橐?，平面ABCD,底面A3CD為矩形，所

以A3,AD,AP兩兩垂直.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,

0,0),D(0,小,0),E)0,坐，J,B(l,0,0),C(l,小，0),

于是靠=[o,坐，/公=(1,小,0).

設(shè)n=(x,y,z)為平面ACE的一個(gè)法向量,

fn.AC=0,卜+小丫=0，

叫[“一.AE=0,叫[「A，+J22一—°C，

x=一小y,

所以《

、z=~\[3y.

令y=-l,貝i]x=z=d§.

所以平面ACE的一個(gè)法向量為“=(/,—1,小).

—一題多變(變?cè)O(shè)問)本例條件不變，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面

PCD的一個(gè)法向量.

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),C(l,小,0),所以近=(1,^3,—1)即為

直線PC的一個(gè)方向向量.

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z).因?yàn)椤?0,小，0),所以的=(0,73,

—1).

n-PC=Q,

則j_

LnPD=O,

x=0,

所以八.

令y=1,貝i]z=\[3.

所以平面PCD的一個(gè)法向量為〃=(0,1,小).

圈題技巧---------------------------------

待定系數(shù)法求平面法向量的步驟

(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z).

(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線的向量屈，AC.

\n-AB=Oy

(3)列方程組：由〃，檢，nLAC,列出方程組|一

\<n-AC=O.

[〃AB=O,

(4)解方程組：j_

[〃.AC=O.

(5)賦非零值：取其中一個(gè)為非零值(常取±1).

(6)得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

<跟蹤訓(xùn)練已知三點(diǎn)A(l,0,1),6(0,1,1),C(l,1,0),求平面ABC

的一個(gè)法向量.

解：設(shè)平面ABC的法向量為"=(x,y,z),

由題意得屈=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).

,,\n-AB=—%+y=0,

因?yàn)?_LA3,n±BC,所以j

\<nBC=x—z=0.

令％=1,得y=z=l,所以平面ABC的一個(gè)法向量為〃=(1,1,1).

關(guān)鍵能力0提升

考點(diǎn)確定空間中點(diǎn)的位置

EB1已知點(diǎn)A(2,4,0),B(l,3,3),如圖，以油的方

向?yàn)檎?，在直線A3上建立一條數(shù)軸，P,。為軸上的兩點(diǎn)，且

分別滿足條件：

(1)AP：PB=1：2；

(2)AQ：QB=2：1.

求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解】(1)由已知，得麗=2AP,

即沅？-OP=2(OP-OA),

則歷5=|OA+105.

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y,z),

則上式換用坐標(biāo)表示，

21

得avJ-(4O-

,y)1=3,33Z)

-)+

43583

---

即+

X-3--3y-33

因此，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(I，y,lj.

(2)因?yàn)锳Q:QB=2：1,

所以恁=-2QB,即麗-OA=-2(0B-OQ),則麗=-0A+

20B.

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為y,z。，

則上式換用坐標(biāo)表示，

得(V,y,/)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'

=6.

因此，。點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2,6).

陶題技巧---------------------------------

求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)，一般要根據(jù)具體的題目條件恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

向量式列出方程組，把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，解方程組即可得點(diǎn)的坐標(biāo).

＜跟蹤訓(xùn)練已知點(diǎn)A(l,-2,0)和向量a=(—3,4,12),若向量協(xié)//a,

且海|=2⑷，則點(diǎn)3的坐標(biāo)為()

A.(-5,6,24)

B.(-5,6,24)或(7,-10,-24)

C.(-5,16,-24)

D.(-5,16,—24)或(7,-16,24)

解析：選B.設(shè)3(x,y,z),AB=(x-1,y+2,z),依題意有

卜-1y+2z

[二=丁

、(x-1)2+(y+2)2+z2=[(-3)2+42+122]X4,

尤=-5x=7,

解得jy=6,或?y=-10,即點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-5,6,24)或(7,-10,

、z=24、z=-24.

-24).

N課堂鞏固O自1測

1.若A(0,2,1),B(3,2,—1)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量為()

A.(—3,0,16)B.(9,0,-6)

C.(-2,0,2)D.(-2,1,3)

解析：選檢

B.=(3,0,-2)=|(9,0,—6).故選B.

2.已知直線/的一個(gè)方向向量為nz=(2,—1,3),且直線/過A(0,y,3)

和3(—1,2,z)兩點(diǎn)，則y—z=()

A.0B.2

c.tD.3

解析：選A.由題知，AB=(-1,2—y,z—3),因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向

量為m=(2,—1,3),所以AB=km,所以一1=2左，2—y=—kyz—3=3左，解

13

得左=一］,y=z=2,所以y—z=0.故選A.

3.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),a的一個(gè)法向量為〃=(3,1,2),

則下列點(diǎn)P中，在平面。內(nèi)的是()

A.P(l,-1,1)B.3,I)

C.尸(1,-3,I)D.P(-1,3,一§

解析：選B.對(duì)于選項(xiàng)A,PA=(1,0,1),PAn=5,所以必與n不垂直,

因此

排除A;同理可排除C,D.對(duì)于選項(xiàng)BPA=fl,-4,,PAn=0,B

正確.

4.如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=90°,SA,平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1,

試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量；

(2)求平面SAB的一個(gè)法向量；

解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD,AB,AS所在的直線分別為

無軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,

0,0),5(0,1,0),C(l,1,0),0,0),S(0,0,

1).

⑴因?yàn)镾A,平面ABCD,

所以布=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.

(2)因?yàn)锳DLSA,ABHSA=A,AB,SAu平面ABS,

所以AD,平面SAB,

所以Ab=|j,0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量.

f課后取標(biāo)三檢測

［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.已知點(diǎn)A(4,1,3),BQ,-5,1),C為線段AB上一點(diǎn)，>AC=1AB,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.Q,一今1）-3,2)

B.

-T1)

D.住

解析：選C.因?yàn)镃為線段A3上的一點(diǎn)，JLAC=|AB,

所以病=1AB.由此可求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)C(x,y,z),則AC=(x—4,y—1,z—3).

又短=(-2,-6,-2),

所以(x—4,y—1,z—3)=^(—2,—6,—2),

解得x=3,y=—1,z='.所以c[3,—1,J-

2.已知A(l,0,0),3(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)法向量

是()

A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)

解析：選D.屈=(-l,1,0),AC=(-l,0,1).設(shè)平面ABC的法向量為

f—%+y=0,

〃=(x,y,z),則有，

—x+z=(),

取x=—1,則y=—1,Z=—1.故平面ABC的法向量是(一1,-1,-1).

3.從點(diǎn)A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,—12)的方向取線段A3,且A3=34,

則3點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(18,17,-17)B.(—14,—19,17)

C.(6,$11D.1—2,一冷，13)

解析：選A.設(shè)3點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),則AB=Aa(A>0),即(x—2,y+1,z—

7)=A(8,9,-12),因?yàn)閨A3|=34,所以聲百麗百I奇=34,得2=2,所

以x=18,y=17,z=—\7.

4.(多選)如圖，四棱柱A5C0-ALBICLDI為棱長為1的正個(gè)

AJ_________n

方體，貝M/

7、/G

A.直線DDi的一個(gè)方向向量為(0,0,1)NF'Z

B.直線的一個(gè)方向向量為(0,1,1)

C.平面A5BA1的一個(gè)法向量為(0,1,0)’

D.平面BCD的一個(gè)法向量為(1,1,1)

解析：選ABC.因?yàn)锳Ai〃DDi,筋1=(0,0,1),所以A正確；ADi//BC\,

451=(0,1,1),所以B正確；AD,平面A331A1,AD=(0,1,0),所以C正

確；ACi=(l,1,1),顯然與平面BCD不垂直，所以D錯(cuò)誤.

5.棱長為1的正方體ABCD-ALBICLDI在空間直角坐標(biāo)系中的

位置如圖所示，則直線DBi的一個(gè)方向向量為.

解析：由題意知。(0,0,0),B1(1,1,1),所以屬1=(1,1,

1),即直線OB的一個(gè)方向向量是(1,1,1).

答案：(1,1,1)(答案不唯一)

6.(2022?杭州高二月考)已知直線I的一個(gè)方向向量v=(2,1,3),且/過

A(0,y,3)和3(—1,-2,z),則y=,z=.

解析：因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向量v=(2,1,3),且/過A(0,y,3)和3(—1,

—=2九

—2,z),所以屈=(-1,-2-y,z—3)=〃2,1,3),所以，一2一丁=九解

、z—3=3九

^=-|,

3

得jk一萬,

3

，

<z=Z\

33

答案：一］2

7.如圖，在三棱臺(tái)ABC-AiBiCi中，AB=2AiBi,BiD

=2DCi,CE=ECi,^AB=a,AC=b,AAi=c,以｛a,'f：/\￡

A,c｝為空間的一個(gè)基底，求直線AE,AD的一個(gè)方向向量.處三二3c

解：AD=A4i+A7Ci+Gb

=AAi+A1C1+gCi3i

=AAI+1AC+1(JAB—|AC

=76A3B+173-AC+A4I

=ya+^b+c

所以直線AD的一個(gè)方向向量是1a+M+c.

o3

AE=AC+CE=AC+|CC1

=AC+|(CA+A4I+|AC)

,3I

所以直線AE的一個(gè)方向向量為肚+呼.

[B能力提升]

8.若A(0,2,羽，-LD,不一2,1,|j是平面a內(nèi)的三點(diǎn),

設(shè)平面a的法向量為a=(x,y,z),則x：y：z=()

A.2：3：(-4)1：1：

c.-]:i:iD.3：2：4

解析：選A.因?yàn)闄z=fl,—3,—3,AC=1—2,—1,—3,且a=(x,

—>/

ABa=x—3y—'^z=Q,

y,z)是平面a(平面ABC)的法向量，所以<解得x=§y,

ACa=-2x—y—^z=0.

4

z=—gy.令y=3,得x=2,z=—4.所以x：y:z=2:3：(—4).故選A.

9.(多選)(2022?天津五十五中高二月考)已知平面a={P,?用>=0},其中點(diǎn)

Po(l,2,3),法向量"=(1,1,1),則下列各點(diǎn)中在平面a內(nèi)的是()

A.P(3,2,1)B.P(—2,5,4)

C.P(—3,4,5)D.P(2,-4,8)

解析：選ACD.對(duì)于A,A>=(2,0,-2),1X2+1X0+1X(-2)

=0,故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B,PbP=(-3,3,1),H-A>=1X(-3)+1X3+1X1

=1WO,故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C,前=(-4,2,2),H-A>=1X(-4)+1X2

+1X2=0,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D,ftP=(l,-6,5),?A>=1X1+1X(-

6)+lX5=0,故選項(xiàng)D正確.故選ACD.

10.已知平面a內(nèi)的兩個(gè)向量a=(l,1,1),