高數(shù)下冊復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)（向量代數(shù)一＞無窮級數(shù)）知識(shí)點(diǎn)

向量與空間幾何

向量：向量表示（（a%））;向量運(yùn)算（向量積）；向量的方向和投影

空間方程：曲面方程（旋轉(zhuǎn)曲面和垂直柱面）；直線方程（參數(shù)方程和投影方程）

平面方程：點(diǎn)法式（法向量）、一般式、截距式；平面夾角和距離

直線方程：一般式、對稱式（方向向量）、參數(shù)式；直線夾角；平面交線（法向量積）

切平面和切線：切線與法平面；切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)極限：趨近方式，等階代換

偏微分和全微分：高階微分（連續(xù)則可等）；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（Jacobi行列式）；

多元函數(shù)極值：偏導(dǎo)數(shù)判定；拉格朗日乘數(shù)法（條件極值）

重積分

二重積分：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)；對稱性；換元法

三重積分：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)；對稱性

重積分的應(yīng)用：曲面面積；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；引力

曲線與曲面積分

曲線積分：弧長積分；坐標(biāo)曲線積分（參數(shù)方程）；格林公式

面積積分：對面積積分；坐標(biāo)面積積分；高斯公式

無窮級數(shù)

級數(shù)收斂：通項(xiàng)極限

正項(xiàng)級數(shù)：調(diào)和級數(shù)；比較法和比較極限法；根值法；極限法；絕對收斂和條件收斂

暴級數(shù)：收斂半徑和收斂域；和函數(shù)；麥克勞林級數(shù)（二次展開）

Fourier級數(shù)：傅里葉系數(shù)（高次三角函數(shù)積分）；奇偶延拓；正弦和余弦級數(shù)；一般周期的

傅里葉級數(shù)

矢量分析與場論（空間場基礎(chǔ)）

方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)：向量參數(shù)式；偏導(dǎo)數(shù)；方向余弦

梯度（grad）:方向?qū)?shù)的最值；梯度方向；物理意義（熱導(dǎo)方向與電場方向）

格林公式：曲線積分一＞二重積分；曲線方向與曲面方向

全微分原函數(shù)：場的還原；折線積分

通量與散度

高斯公式：閉合曲面一＞三重積分；曲面外側(cè)定向；曲面補(bǔ)齊；向量表達(dá)（通量）

散度（div）：通量的體積元微分；物理意義（有源場（電場））

環(huán)流量與旋度

斯托克斯公式：閉合曲線一＞曲面積分；向量積定向；行列式表達(dá)；向量表達(dá)；物理意義（環(huán)

通量）

旋度（rot）:行列式斯托克斯公式；物理意義（有旋場（磁場））

第八章向量與解析幾何

向量代數(shù)

定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示

叵=axi+ayj+a.k=(%,ay,az)

向量有大小、有方向.記作叵］或踵］

%=PKjxa,ay=prjya,az=prjza

模向量回的模記作問+a；+a^

和差c=a+b+bx,ay+by,az+bz

c=a+b

過,則值

(ax,ay,az)

單位向量

la；++az

cosa=*,cos/=&見

，COS/=j-j

設(shè)團(tuán)與|羽軸的夾角分別為a,p,Ya\a\\a\

刃不，幺

則方向余弦分別為|cosc，COS0,cosy

ea=(cos(z,cos尸，cos/)

COS2df+cos2y5+cos2/=1

a-b=\a^cosO,團(tuán)為向量2與6的夾

點(diǎn)乘（數(shù)量積）

ab=aAxbAx+ayvbyv+a￡.hz7

角

c=absinOiJk

叉乘（向量積）

。為向量a與b的夾角axb=%ay

b包

向量回與回，BJ都垂直瓦y

定理與公式

垂直aLb<^>ab+ab+ab=0

a_L8=a-8=0“xYyvyzz7

平行a//boaxb=Qa//b<^>—=—=—

么bybz

ab“_______"也+*+a也

交角余弦兩向量夾角余弦c'c\sA-

ab/a：+a；+a；ya；

向量回在非零向量］”上的投影

?_aA+ayby+azbz

投影prja=acos(aAb)=荒1

bh、b：+b；

平面直線

法向量￥={A,6,C}點(diǎn)心（%0，%*0）方向向量?={帆,〃,。}點(diǎn)加0（%,%*0）

X—%=y—%=z—zO

卜=0⑺，切“線”方程：

。'4)〃'?0)研%)

卜=〃⑺，切向量

[z=①(t),

亍=3'?o)，〃'&)，◎'(%))法平“面”方程：

(p'(t0)(x-x0)+)(，—%)+。'"0)(z-Zo)=O

切“線”方程：%一%0二Of二Z-Z。

[y=0(x)切向量1。'(%)”'(%)

[z=〃(x)f=(1,(p'(x),〃'(x))法平“面”方程：

(x-/)+。'(%)(y-%)+〃'(工0)(z-z(,)=0

法向量

空切平“面”方程：

間F(x,y,z)=0〃=（工（Xo，%，Zo）,工(飛，:Vo，Zo)(x-/)+工(%，%,ZoXy-%)

+工(%，為，

曲g（X（p為，Zo）,Zo)(Z-z0)=0

面

F（x0,j0,z0））法”線”方程：

X-/J-Joz—z0

工（/，為，2（））Fy（x0,y0,z0）F:（x0,y0,z0）

〃=（一力（?），先），切平“面”方程：

一工,（%，%）J）工（%，%）（》一%）+fy（%，%）（、一%）-（z—Zo）=0

或

z=f（x,y）法“線”方程：

%_/_y_%_z-zo

力CWo），T），OWo）fvOWo）-1

第十章重積分

o"%,y)對于無是奇函數(shù)，

即/(—羽y)=—/(%,y)

1=<f(x,y)dxdyf(x,y)對于x是偶函數(shù),

△

即/(-羽y)=f(x,y)

A是。的右半部分

計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)

1.畫出積分區(qū)域

2.選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)

關(guān)于坐標(biāo)變量易分離

3.確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙

4.確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域

5.計(jì)算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性

「投影法

(1)利用直角坐標(biāo)\a*.

［截面法Pl59一例1

w(“z)dv=w：;wPl60一例2

投影y，z)dz

Z](x,y)

0

x-rcos3

(2)利用柱面坐標(biāo)4y=rsin^

2=Z

三重積分相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)

"ay"

適用范圍：P161一例3

①積分區(qū)域表面用樣而坐標(biāo)表示肝方程簡單：如旅轉(zhuǎn)體

②被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分重f(x2+y2)f(x2+z2)

jjj/(%,y,z)dV=Jdzj,dej；/(pcosapsinO,

空間立體物的

質(zhì)量x=pcos0=rsincos<9

(3)利用球面坐標(biāo)<y-夕sin。=rsin^sin^

質(zhì)量=密度回z=rcoscp

面積

aQ=rsin(pdrd(pdO

P165—10-(1)

適用范圍：

①積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;如，球體，錐體.

②被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如，/(x2+y2+z2)

/=」；d8；f(Psin(pcosdpsincpsin0,pcos(p)p1sincpAp

ax

(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性

第十一章曲線積分與曲面積分

曲線積分與曲面積分

積分類型計(jì)算方法典型例題

參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）

第一類曲線積分—1=f⑺Nd(0+U?⑦#

⑴[L:y=e(x)

1=1f（X,y}ds

x=以力-1=j：f(x,y(x))Jl+y'2(x)小

曲形構(gòu)件的質(zhì)量(2)CP189-例1

y=。⑺-

/貝里一我笛反qP190-3

x=cos3

弧長

(3)r=r{0}{a<0</3)L:<

y=r(6)sin0

『/(廠(6)cos。,r(6)sin8)J尸(6)+r,2(0)d0

1=

（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）

=0⑺（彈調(diào)地從1到齊）

P196-例1、例2、

=。（力

Hl例3、例4

/Pdr+Qdy=，⑺,〃⑺]。'⑺+Qcp⑺,〃⑺]“⑺成

（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）

條件：①L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）

平面第二類曲線②P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

積分￡P(guān)dx+Qdy=(半-

結(jié)論：lyP205一例4

P214-5⑴(4)

[滿足條件直接應(yīng)用

1=Pdx+Qdy

L應(yīng)用：有瑕點(diǎn)，挖洞

[不是封閉曲線，添加輔助線

⑶利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑法）

變力沿曲線所做[Pdx+Qdy=0

等價(jià)條件:。絲=盟②

的功dxdy

P211-例5、例6、

(3)￡P(guān)dx+Q

2dy-亍路徑無關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)例7

④尸d0+Qdy具有原誑I數(shù)|M（X,y）

（特殊路徑法，偏積分方L湊微分法）

（4）兩類曲線積分的聯(lián)系

/=￡P(guān)dx+Qdy=，(「cosa+Qcos0)ds

（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）

空間第二類曲線fPdx+Qdy+Rdz=

積分JTJa

P240-例1

1=[Pdx+Qdy+Rc7

：（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）

條件：①L封閉，分段光滑，有向

②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

變戈沿曲線所做

的功

￡P(guān)dx+Qdy+Rdz

結(jié)論：=0?(史-絲心dz+(丑-雪dzdx+冬-駕如/y

dydzdzdxdxdy

一滿足條件直接應(yīng)用

應(yīng)用：［不是封閉曲線，添加輔助線

第一類曲面積分投影法

I=^f(x,y,z)dv同：|z=2(x,y)|投影到底升面

z_____

P217-例1、例2

曲面薄片的質(zhì)量

質(zhì)量=面密度岡

類似的還有投影到?河面和如|面的公式

面積

(1)投影法

①Pdydz=±jjp(x(y,z),y,z)dydz

2Dyz

園:z=z(x,y),岡為￡的法向量與因軸的夾角

前側(cè)取|cos/>0；后側(cè)取"日’，cos/<0

第二類曲面積分②jjQdzdx=±jjp(x,y(x,z),z)dzdx

ZDy2P226-例2

園:y=y(x：z)］,叫*園的法向量與凹軸的夾角

(3)|Qdxdy=±

z

流體流向曲面一園：|x=x(y,z5,回為國的法向量與回軸的夾角

側(cè)的流量上側(cè)取costz>0|；下側(cè)取“臼"，|cose<0

(2)高斯公式右手法則取定E的側(cè)

條件：①園封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域?的外側(cè)

②P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

PdydZ+P231-例1、例2

結(jié)論：fM3

:滿足條件直接應(yīng)用

應(yīng)用：［不是封閉曲面，添加輔助面

(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系

jjPdydz+Qdzdx+RdMy=jj(尸cosa+。cos夕+Rcosy)dS

P228-例3

Szdz

轉(zhuǎn)換投影法:dydz=(---)dxdydzdx=(---)dxdy

dxdy

所有類型的積分：

①定義：四步法——分割、代替、求和、取極限；

②性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；

③對坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。

第十二章級數(shù)

高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式：

基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分:

.2"1—I/?x,2du

sinX=-----y，COSX=----Tu=ts—,ax=---------r

1+W1+W21+M2

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

三角函數(shù)公式:

?誘導(dǎo)公式：

數(shù)

角口、sincostgctg

-a-sinacosa-t部-ctgx

90°-acosasinactgatgx

90°+acosa-sina-ctgx-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatgx

270°+a-cosasina-ctgx-tga

360°-a-sinacosa-tgx-ctga

360°+asinacosatgxctga

?和差角公式:?和差化積公式:

?倍角公式:

?半角公式:

正弦定理：=上=，=2k■余弦定理：=a'+/-2a灰:osC

sinAsinBsinC

7171

■反三角函數(shù)性質(zhì):arcsinx=---arccosxarctgx=---arcct^x

22

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

（MV產(chǎn)這C'g”

k=0

M（—1）???（"—左+1））

=UV+而j）M+〃（〃—1）M（"-2）V，，+.nna?,w

?十UV+,■+uv

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理:，(。)-f(a)=/化)出-a)

柯西中值定理J3)—=/垃

F(b)-F(a)尸?

當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是立格朗日中值定理.

曲率：

弧微分公式：ds=Jl+y%%,其中V=%ga

平均曲率衣=%.△a:從M點(diǎn)到M，點(diǎn)，切線斜率的傾角妣量；As：MM弧長。

A5

M占的曲率.K-lim'a__卜1

J.Y_L八、、|_|JM-L-l-1?上、AA1A1I--------?

2。ASdsJ（l+y，2）3

直線：K=0;

半徑為〃的圓：K=—.

a

定積分的近似計(jì)算：

b1

矩形法:Jy(x)土(%+%+???+y.T)

a

梯形法：j/(X)~+J?)+J1+,1,+Jn-1]

a

2b—Z7

拋物線法三丁[(%+y?)+2(y2+y4+…+先_2)+4(%+%+…+%T)]

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功:W=『s

水壓力：F=p-A

引力：F=心生,k為弓、力系數(shù)

r

_1b

函數(shù)的平均值：y=----ff(x)dx

b-aa

i%

均方根\----ff2(t)dt

\b-aa

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：d=M1般2I=J(%2—再)2+(%—%)2+.2—4)2

向量在軸上的投影Pr/“N5=而<05夕，9是吞與M軸的夾角。

Prj,（4+?2）=Pr/4+Prj%2

a-b=同卡,。$8=4也+%%+見%是一個(gè)數(shù)量

ah+〃力、,+ah

兩向量之間的夾角cosO=AAYyyzz7

I222Ij2T~17~2

qq+ay+az?4么+by+bz

ijk

，同二同卡卜也夕例:線速度：v=wxr.

c=axb=4ayaz

久比bz

%ay%

向量的混合積合應(yīng)]=(@xB)i=b=,x斗同cosa,a為銳角時(shí),

bxbyz

g0

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點(diǎn)法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中力=

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程1+2+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該■的距離：三=>”效+生。|

7A2+B2+C2

x=xQ-\-mt

空間直線的方程=%="叢=二包X其中8=｛私〃，閉滲數(shù)方程加

mnp

[z=z0+p.

二次曲面：

222

1、橢球面=+與+二=1

a-b2c2

22

2、拋物面工+匕=45應(yīng)同號(hào))

2p2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面二+當(dāng)-彳=1

abc

222

雙葉雙曲面二-1+二=1(馬鞍面)

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

du7du

全微分：dz=—dx+—dyxH---dyH-d-z-

dxdy'喂"dydz

全微分的近似計(jì)算：Az?dz=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dzdzdudzdv

Z=f[n(t),v(t)]—=------1-

dtdudtdvdt

z=f[z/(x,y),v(x,j)]"="dudzdv

OXOUdxdvdx

當(dāng)"=v=v(x,y)時(shí)，

,du.du,7Sv7Sv7

du='—dx~\---dydv='—dx-\---dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

d2y_dF

隱函數(shù)F(x,y)=O,蟲=—竺，e(-乙)十金(-軍：)也

dxFydxdxFy②Fydx

aFdz_

隱函數(shù)尸(％,y,z)=0,—7二一一

oxFdy

zFz

dFdF

F(x,y,w,v)=Oj=d(F,G)「F

隱函數(shù)方程組，dudv=u工

G(x,y,u,v)=06(w,v)dGdGG“G,

dudv

du15(F,G)加1d(F,G)

dxJ5(%,i，)dxJd(u,x)

du_1d(F,G)dv_16（F,G）

dyJ5(y,v)dyJ0(",y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

X="⑺

空間曲線^=“⑺在點(diǎn)M（Xo，%,z°）處的切線方程"=『=三合

“、。仇）W（t。）。仇）

Z=①（I）

在點(diǎn)M處的法平面方程："'優(yōu)）（％-%0）+/伉）（＞一治）+/優(yōu)）（z—Zo）=O

若空間曲線方程為"羽''⑦=°,則切向量了={f，工Fz工工F

G；G,G；G,G]

G（x,y,z）=O（jyy

曲面b(x,y,z)=0上一點(diǎn)舷(Xo，%/。)，則：

1、過此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程FY(xo,yo,zo)(x-xo)+Fy(xo,yo,zo)(y-yo)+Fz(xo,yo,zo)(z-zo)=O

3、過此點(diǎn)的法線方程：八人一=——=—」一

工（Xo，No，Zo）Fy（x0,y0,z0）F:（x0,y0,z0）

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為g=gcos9+gsin°

cloxdy

其中夕為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^-T+^-J

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是或=grad/(x,y)-6,其中。=cos9?：+sin°J為/方向上的

dl

單位向量。

—是gra(|f(x,y)在/上的投影。

81

多元函數(shù)的極值及其求法:

期(%，%)=%(/，為)=0,令：匕(%，%)=AfXy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<0,(%,%)為極大值

AC-B2〉0時(shí),《

A>0,(%,%)為極小值

則：＜AC—臺(tái)2<0時(shí),無幡

AC-B2=0時(shí),不確定

重積分及其應(yīng)用:

jj/(x,y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

(SzY

曲面z=/(x,y)的面積A=jj+dxdy

D

jjxp{x.y)d(jM、\\yp(x,y)d(y

平面薄片的重心：元=/Dy—————----------

MJJ夕(x,y)dcyMy)da

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對于入軸=0y2mMy)db,對于y軸/y=0%2p(%,y)db

DD

平面薄片(位五。丹面)對z軸上質(zhì)點(diǎn)M(OQQ),(Q〉O)的引力：/=｛工耳，工｝,其中:

工叫一3絲一卜山"工=-M［夕

D(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

%=rcosO

柱面坐標(biāo):y=rsin^,jjjJ(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,0,z)rdrdOdz,

2r二2r。。

其中：F(r,6,z)=/(rcos^,rsin^,z)

%=rsin^7co

球面坐標(biāo)Xy=rsin^sin^,dv=rd(p?rsin(p?de?dr=r2sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

2萬冗r((p,9)

的(蒼以2)dxdydz=\\\F(r,(p,6)r2sm(pdrd(pde=^dO^d(pjF(r.(p,3)r2sincpdr

QQ000

加卜.2$雅加其中〃=*v

重心：X=y=^\\\ypdv,

2222

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:4=JJJ(y+Z?)源MIy=jjj(x+z)pc/wIz=jjj(x+y)/x/v

。。。

曲線積分:

第一類曲線積分(對睚:的曲線積分)：

設(shè)/'(x/)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為「=9"),(屋三⑶,則：

)=甲(t)

P___________X-t

jf(x,y)ds=f[(p(t),i//(t)]yj(p'2(t)+y/'2(t)dt(tz<P)特殊情況:

Lay=。⑺

第二類曲線積分(對坐示的曲線積分)：

「二叫則:

設(shè)L的參數(shù)方程為

y=岫

B

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J+09⑺，以/)]/")}dt

La

兩類曲線積分之間的^^：jPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos/?)ds,其中a和尸分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向鄱方向角。

格林公式：ff-—)dxdy={Pdx+Qd端林公式-空)dxdy=fPdx+Qdy

J

dxdyL'dxdy?'

當(dāng)/*=—y,Q=x,即:"^—■^=2時(shí)，得至IjD的面積：A=jjdxdy=xdy-ydx

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、尸(x,y),。(羽y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且黑="。注意奇點(diǎn)，如0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在黑="時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函頻(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(%,y)

M(x,y)=jP(x,y')dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)％=%=0。

(%0，%)

曲面積分:

對面積的曲面積分于(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)]Jl+z；(%,y)+zj(x,y)dxdy

ZDxy

對坐標(biāo)的曲面積分JjP(x,y,z)dydz+Q(%,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中：

y.

jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上側(cè)時(shí)取汨1;

2Dxy

UP(x,y,z)dydz=P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前側(cè)時(shí)取汨I;

EDyz

jjQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzd^取曲面的右側(cè)時(shí)取汨1。

ED.v

兩類曲面積分之間的Pdydz+Qdzdx+Rdxdy-jj(Pcosa+Qcos￡+7?cos/)ds

高斯公式:

小空+義+空)dv=抄Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=9(Pcosa+Qcosft+Rcosy)ds

吧dxdydzzz

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：divv=—+^+—,BP：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生I勺流體質(zhì)量，若div丘＜0,則為消失..

dxdydz

通量:jjA-nds=jjAnds=jj(Pcosa+2cos/3+Rcosy)ds,

z

因此，高斯公式又可寫戌4JdivZdy=臚0

Q

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

tr/R。。、7J5PdR..,,8QdP、

JJ(—~^dydz+(Z-)dzdx+(詈；dxdy=JPdx+Qdy+Rdz

**oyozozoxoxdyr

dydzdzdxdxdyCOS。cos夕cos/

555

上式左端又可寫成H§§§J

**dxdydz￡dxdydz

PQRPQR

空間曲線積分與路徑接的條件二=(dP_dRdQ_dP

i一,一

dydzdzdxdxdy

ijk

旋度：rot4=———

dxdydz

PQR

向量場彳沿有向閉曲線"的環(huán)流量，尸d%+Qdy+Rdz=JA-tds

rr

常數(shù)項(xiàng)級數(shù):

i_n

等比數(shù)歹11:1+4+/+…+q'i=￡z￡n_

"q

等差數(shù)歹1H+2+3+…

2

調(diào)和級數(shù)」+'+』+…+!是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西判別法)：

「<1時(shí)，級數(shù)收斂

設(shè)：p=lim\Tu~,則<夕〉1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

n—>oo

夕=1時(shí)，不確定

2、比值審斂法：

「<1時(shí)，級數(shù)收斂

設(shè)：P=iim4±L,則夕〉1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

n—>ooTJ

n夕=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s“=%+%+…+M”;lims“存在，則收斂；否則制攵。

72—>00

父錯(cuò)級數(shù)—4+%—“4+…(或—%+%—的+…>0)的申斂法來布尼茲定理:

如果交錯(cuò)級數(shù)滿%A”2y那么級數(shù)收斂且其和泅其余項(xiàng)斕勺絕對加歸％。

["->00n

絕對收斂與條件收斂：

(1)“1+〃2、---(其中"〃為任意實(shí)數(shù);

(2)|?1|+|w21+1?31+???+|un|+???

如果⑵收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對攵斂級數(shù);

如果⑵發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)發(fā)散，而xW攵斂；

級數(shù)》《收斂；

n

爾弗r1/pwi時(shí)發(fā)散

P級數(shù)》行5〉1時(shí)收斂

嘉級數(shù):

1

x|<l時(shí)，收斂于-

1+X+X~+X，H+x'H----1-x

\|x|>1時(shí)，發(fā)散

對于級數(shù)(3)4+-?+a“x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

/|x|<R時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存ER,使口x|〉R時(shí)發(fā)散其中R稱為收斂半徑。

=R時(shí)不定

pw0時(shí)，R=—

p

求收斂半徑的方法：設(shè)imp,其中%,a,+i是(3)的系數(shù)，貝日夕=0時(shí)，R+oo

n—>oo