數(shù)學(xué)建模-彩票中的數(shù)學(xué)(建模論文)

彩票中的數(shù)學(xué)設(shè)每期彩票的銷售量足夠多的前提下，由貝努利大數(shù)定律歸結(jié)為正態(tài)分用彩民的博彩心理變化構(gòu)造了評判方案合理性的判別函數(shù)，利用MATLAB6.1軟件編程計算，判別出題目所給方案的獎金設(shè)置的優(yōu)劣。并且利用這個判別函數(shù)，我們建立了求解最優(yōu)方案的非線形規(guī)劃模型。通過求解所建立的模型，找到在給定的彩票銷售注數(shù)下最優(yōu)方案，極其獎項和獎金額的設(shè)置。本模型可操作性強，它使彩票運作有章可循，在今后類似活動中有科學(xué)的指導(dǎo)作用?！娟P(guān)鍵詞】彩票二項分布期望收益率博彩心理判別函數(shù)一、問題的重述近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然局垂復(fù)A號球中搖出先個特別那再碼，構(gòu)感成獎量碼根據(jù)犟灌號碼鳥市奧號碼相待游不羧基本及磺序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表一(X表示未選中的號碼)。表一一等獎g二等獎三等獎四等獎五等獎“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01~33個號碼球中一個一個地?fù)u出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~33個號碼中任選7個組成一注(不可重復(fù)),根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案，先從01~36個號碼球中一個一個地?fù)u出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01~36個號碼中任選7個組成一注(不可重復(fù)),根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表二33選7(7/36選6+1(6一等獎★選7中(6+1)二等獎選7中(6+1)三等獎★選7中(5+1)四等獎★五等獎★選7中(4+1)六等獎★選7中(4+1)七等獎(選7中(4)★注：●為選中的基本號碼；★為選中的特別號碼；O為未選中的號碼。選7中(3+1)以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%,投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎。現(xiàn)在常見的銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎金設(shè)置方案如表三，其中一、二、三等獎為高項獎，后面的為低項獎。低項獎數(shù)額固定，高項獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封電倉衡猾售愿額條意項鑒部的計第領(lǐng)賣慧額]×單項獎比例序號方案獎項一等獎比例二等獎比三等獎比例三四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎金額備注例6+1418按序5按序36+1/105按序6+1/105按序0T2t566+1/2955555七5373器66cG525555426+1/3656+1/365(1)根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩二、模型的假設(shè)及符號說明2.1模型的假設(shè)(4)假設(shè)彩票的發(fā)行費用不計，彩票總獎金比例一般為銷售總金額的50%;(5)假設(shè)彩票的宣傳工作做得很到位，在某一區(qū)域，一段時期內(nèi)潛在的購買力是固定的(6)假設(shè)高項獎按給定的百分比分配，且按當(dāng)期各獎項實際中獎注數(shù)平均分配該獎項獎金2.2符號說明7TX+=4ξXy(6):表示一注中獎彩票被取走的獎金比率，即單注彩票的平均收益率；(7)P:表示第i等獎的中獎概率(i=1,2,…,7);(12)f:判別方案合理性的判別函數(shù)。3.1求兩種類型彩票每注中各獎項的概率等獎到七等獎的概率。由古典概率問題求得傳統(tǒng)型和樂透型概率如下(共可分為4類):(1)傳統(tǒng)型(10選6+1)CMP=CMP=CM(3)樂透型(N選M+1)P=342P=41995Pb=CM+1P=CN+(4)無特殊所給的29種方案可歸納為15類，利用上述公式對不同的M和N,具體概率值計算見附錄中的程序(一)iNN其期望與方差分別為Ec=x4EE1+xE+Eξ?+xE=nAx+nBxs+nRxó+nPxXi=r(n-Zξ*x*),i=1,2,3可表示單注彩票的收的數(shù)學(xué)期望是否接近于1來評價彩民抽獎的收益率，這是因為表示一注彩票的平均收益金額。(1)求每注彩票的平均收益率E假設(shè)L表示高項獎的項數(shù)，J表示總獎項數(shù)，!=*Z+1Px*+2[1-(1-P)]-*Z+1nP[1-(1-P)]x1 JLLJE(F)=AZP+②nP(-②AZP[1-(1-P)]xr…(1)求出題目表三中29種方案，可求出不同n下每注彩票的平均收益率(見表0),從運算結(jié)果看，隨表0析表7898:47268:5884300萬8:§892根據(jù)收益分析表1,我們得到以下排序方式：該順序反映了這些方案的平均收益，但是，單純考慮單注獎金的平均收益，并沒有綜合考慮博彩心理和公平因素，因此這只是一種不全面的排序方式，還需要綜合考慮其他因素。(2)求風(fēng)險概率一等獎能取走的金額頭,又一等獎單注保底金額60萬元，封頂777我們稱該公式為公平尺度。,,,,(2)則(當(dāng)n是定值時，其值是常數(shù))。下面研究如何刻畫公平程度的數(shù)學(xué)表達(dá)式：同理反映了低項獎的公平程度。3.4博彩心理的因素分析：彩民的興趣大小與單注收益率、公平性相關(guān)。對一個方案，彩民的看法主要是由收益決定的，我們用這個量的某個函數(shù)來衡量該方案對彩民的吸引力，而彩民的看法是一個心理因素，是一個很難準(zhǔn)確衡量的量。根據(jù)心理學(xué)的知識，人的心理情況的變化可用博彩心理函數(shù)來近似刻畫，博彩心理與單注的收益率有關(guān)，因此，取博彩心理函數(shù)為-nt其中其中綜合以上的分析，影響方案合理性的因素有三個：收益期望，公平因子，搏彩因素。由此來構(gòu)(1)評價函數(shù)的構(gòu)造(第一問的解答)方案的吸引力函數(shù)f=博彩心理函數(shù)*公平因子，即：根據(jù)彩票目前每期開獎的有關(guān)資料，以及題目中對單注一等獎獎金的約束，取彩票銷售注數(shù)n=200萬注進(jìn)行計算。我們可以確定給定的各種方案的優(yōu)劣(見排序表，即表2)。表1判別函數(shù)的值表表2排序表排序排序623序號方案1212345676.12386.30266.09144.24474.15644.10784.2731295/604.0083 由此得到對29個方案的排序為：9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,pixiN29個方案的公平因子：(1.0×10)下面的數(shù)據(jù)反映了對應(yīng)的方案的公平程度0.19820.40780.40150.38860(2)第二問的模型及解答由問題一的求解結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)型和無特別號(23號)的方案已不可能列入最優(yōu)方案中，因此，問題二中只需在樂透型彩票的兩種方案(M/N和M+1/N)進(jìn)行討論，我們需要求出當(dāng)M,N取何值，取幾個獎項，高項獎的百分比r及低項獎的獎金額xk為多少時方案最優(yōu)。最優(yōu)方案的目標(biāo)函數(shù)仍然為問題一的判別函數(shù)，其中的變量M,N,r,x,根據(jù)題目的表3給出的數(shù)據(jù)和問題一的討論，滿足如下的條件：kk+15≤M≤7,29≤N≤60,0.5≤r×0.8(i=1,2,3),x>x(k=1,2,,6)。600000≤x1≤5000000,xi=npi由公平原則而N最大為60,因此，,可約束x≤60x+1。綜合以上的分析可得到問題二的求解模型為：maxf=w(t)×μ=(1-ent)×μ把樂透型的兩種情況的概率P代入上式，利用MATLAB6.1編程計算得到此非線形規(guī)劃問題的最的銷售注數(shù)n=50萬，100萬，150萬，250萬，300萬，500萬注時，應(yīng)選擇的最優(yōu)方案：計算結(jié)果注數(shù)最優(yōu)方案N100萬82150萬50250萬20300萬60350萬0.II50400萬20500萬7/364.8960.800.100.101432810五、模型優(yōu)缺點的討論1.優(yōu)點：本模型全面考慮了彩票的收益、公平性及博彩心理，建立了一個對彩票方案進(jìn)行評價的模型。結(jié)合實例，用本模型可以尋找給定摸彩方法的最優(yōu)方案，并能對給定方案進(jìn)行評價。它利用評價函數(shù)，運用公平因子，結(jié)合收益原則，建立了優(yōu)化模型，這種方法是本模型最突出的特色。它使獎金的設(shè)置有章可循，在今后類似活動中有較科學(xué)的指導(dǎo)作用。2.缺點：本模型是對固定的銷售注數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，分析了給定摸彩方法的分析評價并求其最優(yōu)方案，沒有能夠脫離銷售注數(shù)考慮問題。而且沒有解決設(shè)計不同的方案還會影響到銷售注數(shù)。通過本模型的適當(dāng)調(diào)節(jié)，當(dāng)然可以處理這種情況。在本模型的兩個函數(shù)中，我們把概率也看作變量的情況下，運用條件極值的有關(guān)知識，即可解決這個問題。六、給報紙寫的一篇短文在高節(jié)奏的現(xiàn)代社會，人們的生活節(jié)拍加快，緊張的精神狀態(tài)渴求得到放松。彩票悄然走進(jìn)人們的生活，正在默默地發(fā)揮著心理按摩醫(yī)生的作用。彩票是建立在機會均等的基礎(chǔ)上，公平競爭的娛樂性游戲。它把窮人和富翁的距離變得不再遙遠(yuǎn)。它將成為社會保障基金多元化來源的一種，可以集中利用社會的閑散資金，“取之于民，用之于民”,用大家樂于支出的錢，辦大家希望辦成的事。不過值得注意的是，當(dāng)前人們在對彩票業(yè)的認(rèn)識和相關(guān)宣傳中存在著諸多似是而非的誤區(qū)。為了促進(jìn)這項具有重大意義的事業(yè)發(fā)展，我們通過對“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種彩票的各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置的數(shù)學(xué)分析，給廣大彩民如下幾點建議：一、購買彩票，奉獻(xiàn)愛心彩票是籌集資金的有效手段，在市場經(jīng)濟條件下，我國要大力發(fā)展教育、體育事業(yè)，搞好福利事業(yè)，完善社會保障體系，這些都需要大量資金，根據(jù)民政部門有關(guān)規(guī)定，彩票銷售總額的30%要作為社會福利基金專項專用，福利基金的三分之二用于本地區(qū)的社會福利事業(yè)，三分之一上交中央或本地政府調(diào)劑使用。所以購買一注彩票，既為自己增加了一次發(fā)財?shù)臋C會，也為社會奉獻(xiàn)了一片二、把握尺度，合理購彩較高的預(yù)期收益總和較大的預(yù)期風(fēng)險相聯(lián)系。投資彩票游戲，并不是獲取收益的正常途徑。把彩票作為一種消遣，一種娛樂，把握尺度，合理購彩。忌當(dāng)成職業(yè)，透支賒帳博彩。彩民應(yīng)謹(jǐn)慎理智購彩，每期適當(dāng)投入幾元，既能買個希望夢想回家，也能享受開獎時刻的心動，又不至于因盲目的投入引發(fā)“家庭經(jīng)濟危機”。三、講究投注的科學(xué)性，樹立彩民良好形象彩號的出現(xiàn)隨意性強，本身縣有不可預(yù)測，是一種科學(xué)刺激、往往能帶給人驚喜的游戲。因此，彩票本身就是玩的心動與瀟灑。做一個文明彩民，將科學(xué)購彩進(jìn)行到底，把買彩當(dāng)作一項娛樂，重在參與。至今為止，還沒有發(fā)現(xiàn)哪一期特等獎的號碼是人為地被預(yù)先“研究”出來的。事實上，買彩者“心想”未必一定“事成”。購買者一定要理智對待。從我們對“傳統(tǒng)型”和“樂透型”彩票中各種獎項出現(xiàn)的可能性、對彩民的吸引力等因素的綜合分析中，可以看出，每注“樂透型”彩票比“傳統(tǒng)型”彩票的平均收益率大，而且樂透型彩票的趣味性也很高，它正逐漸成為世界彩票業(yè)的主流。周而復(fù)始的夢想與希望，帶給人們的是一種輕松愉悅的心理體驗過程，它能使人們在平時工作和生活中長期繃緊的神經(jīng)得以放松，使人們在不知不覺中擁有一種快樂的心情。這就是彩票游戲的七、參考文獻(xiàn)[1]高強《從經(jīng)濟學(xué)角度審視博彩現(xiàn)象》陜西經(jīng)貿(mào)學(xué)院學(xué)報2001.10[2]吳珊娜《彩票的運行機理》[3]何文章《數(shù)學(xué)建模與實驗》哈爾濱工程大學(xué)出版社2002.3[4]何文章《大學(xué)數(shù)學(xué)實驗》哈爾濱工程大學(xué)出版社2000.8[5]母麗華《數(shù)學(xué)實驗》黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社2002.8[6]呂盛鴿《概率統(tǒng)計在彩票選號中的應(yīng)用》統(tǒng)計與決策2001.8[7]許乘《概率論與樹理統(tǒng)計》哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2002.3程序一：為了求各方案各獎項的概率，編寫了jiecheng.m,c.m和gl.m文件：%求階層jiecheng.m文件functiony=jiecheng(x)jiecheng=1;jiecheng=1;%求解組合數(shù)c.m文件functiony=c(n,m)y=jiecheng(m)/(jiecheng(n)*jiecheng(m-n));%求解概率gl.mB?FOF{)§0^6)8/(10^6)18/(10^6)261/(10^6)342/(10^5)419.95/(10^4)0];p(2,:)=[1/c(7,29)c(7-1,7)/c(7,29)c(7-1,7)*c(1,29-7-1)/c(7,29)c(7-2,7)*c(1,29-7-1)/c(7,29)c(7-2,7)*c(2,29-7-1)/c(7,29)c(7-3,7)*c(2,29-7-1)/c(7,29)c(7-3,7)*c(3,29-7-1)/c(7,29)];c(6-2,6)*c(2,29-6-1)/c(6+1,29)c(6-2,6)*c(3,29-6-1)/c(6+1,29)c(6-3,6)*c(3,29-6-1)/c(6+1,29)];p(4,:)=[1/c(7,30)c(7-1,7)/c(7,30)c(7-1,7)*c(1,30-7-1)/c(7,30)c(7-2,7)*c(1,30-7-1)/c(7,30)c(7-2,7)*c(2,30-7-1)/c(7,30)c(7-3,7)*c(2,30-7-1)/c(7,30)c(7-3,7)*c(3,30-7-1)/c(7,30)];p(5,:)=[1/c(7,31)c(7-1,7)/c(7,31)c(7-1,7)*c(1,31-7-1)/c(7,31)c(7-2,7)*c(1,31-7-1)/c(7,31)c(7-2,7)*c(2,31-7-1)/c(7,31)c(7-3,7)*c(2,31-7-1)/c(7,31)c(7-3,7)*c(3,31-7-1)/c(7,31)];p(6,:)=[1/c(7,32)c(7-1,7)/c(7,32)c(7-1,7)*c(1,32-7-1)/c(7,32)c(7-2,7)*c(1,32-7-1)/c(7,32)c(7-2,7)*c(2,32-7-1)/c(7,32)c(7-3,7)*c(2,32-7-1)/c(7,32)c(7-3,7)*c(3,32-7-1)/c(7,32)];p(7,:)=[1/c(7,33)c(7-1,7)/c(7,33)c(7-1,7)*c(1,33-7-1)/c(7,33)c(7-2,7)*c(1,33-7-1)/c(7,33)c(7-2,7)*c(2,33-7-1)/c(7,33)c(7-3,7)*c(2,33-7-1)/c(7,33)c(7-3,7)*c(3,33-7-1)/c(7,33)];p(8,:)=[1/c(7,34)c(7-1,7)/c(7,34)c(7-1,7)*c(1,34-7-1)/c(7,34)c(7-2,7)*c(1,34-7-1)/c(7,34)c(7-2,7)*c(2,34-7-1)/c(7,34)c(7-3,7)*c(2,34-7-1)/c(7,34)c(7-3,7)*c(3,34-7-1)/c(7,34)];p(9,:)=[1/c(7,35)c(7-1,7)/c(7,35)c(7-1,7)*c(1,35-7-1)/c(7,35)c(7-2,7)*c(1,35-7-1)/c(7,35)c(7-2,7)*c(2,35-7-1)/c(7,35)c(7-3,7)*c(2,35-7-1)/c(7,35)c(7-3,7)*c(3,35-7-1)/c(7,35)];p(10,:)=[1/c(7,35)c(7-1,7)*c(1,35-7)/c(7,35)c(7-4,7)*c(4,29-7)/c(7,35)00];p(11,:)=[1/c(6+1,36)c(7,7)*c(1,36-6-1)/c(6+1,36)c(7-2,7)*c(2,29-7)/c(7,35)c(6-1,6)*c(1,36-6-1)/c(6+1,36)c(7-3,7)*c(3,29-7)/c(7,35)c(6-1,6)*c(2,36-6-1)/c(6+1,36)c(6-2,6)*c(2,36-6-1)/c(6+1,36)c(6-2,6)*c(3,36-6-1)/c(6+1,36)c(6-3,6)*c(3,36-6-1)/c(6+1,36)];p(12,:)=[1/c(7,36)c(7-1,7)/c(7,36)c(7-1,7)*c(1,36-7-1)/c(7,36)c(7-2,7)*c(1,36-7-1)/c(7,36)c(7-2,7)*c(2,36-7-1)/c(7,36)c(7-3,7)*c(2,36-7-1)/c(7,36)c(7-3,7)*c(3,36-7-1)/c(7,36)];p(13,:)=[1/c(7,37)c(7-1,7)/c(7,37)c(7-1,7)*c(1,37-7-1)/c(7,37)c(7-2,7)*c(1,37-7-1)/c(7,37)c(7-2,7)*c(2,37-7-1)/c(7,37)c(6-3,6)*c(2,40-6-1)/c(6,40)c(6-3,6)*c(3,40-6-1)/c(6,40)];p(15,:)=[1/c(5,60)c(5-1,5)/c(5,60)c(5-1,5)*c(1,60-5-1)/c(5,60)c(5-2,5)*c(1,60-5-1)/c(5,60)c(5-2,5)*c(2,60-5-1)/c(5,60)c(5-3,5)*c(2,60-5-1)/c(5,60)c(5-3,5)*c(3,60-5-1)/c(5,60)];p%求解出風(fēng)險概率，fengxian.m文件pa=zeros(4,10);pal=zeros(20,10);pa2=zeros(3,10);pa3=zeros(1,10);(由于篇幅原因，此處的5個矩陣及輸出部分略去：)v3=[1.002000204200];fori=1:10,forj=10;r=0;fork=4:7μ=8qit(V(;1)^2*(r));a=n(i)*v(j,1)-60*10^(-4)*n(i)*p(j,1);f=1/(sqrt(2*pi)*c)*exp(-(k-u)^2/(2*c^2));endendfori=1:10forj=1:21t=0;r=0;fork=4:7r=r+v1(j,k)^2*n(i)*(n(i)-1)*pl(j,k);endu=v1(j,1)*t;k=sym('k');f=1/(sqrt(2*pi)*c)*exp(-(k-u)^2/(2*c^2));pal(j,i)=1-int(f,k,-inf,a);endendfori=1:10forj=1;30:r=0;fork=4:7endu=v2(j,1).*t;a=n(i)*v2(j,1)-60*10^(-4)*n(i)*p2(j,1);k=sym('k);f=1/(sqrt(2*pi)*c)*exp(-(k-u)^2/(2*c^2));pa2(j,i)=1-int(f,k,-inf,a);endendfori=1:10t=0;endu=v3(1)*t;a=n(i)*v3(1)-60*10^(-4)*n(i)*p3(1);k5pXRGK2*pi)*c)*exp(-(k-u)^2(2*c^2));pa3(j,i)=1-int(f,k,-inf,a);endend程序三：為了求出各獎項的中獎概率的期望，我們編寫了如下的MATLAB程序qwhgl.m:(由于篇幅原因，矩陣略寫)t=t+p(:j).*v(:j);forj=1:3h=h+(1-(1-p(:j)).^n(i)).*v(:j);t=0;forj=1:3t=t+v(:j).^2.*(1-(1-p(:j)).^n(i)).*(1-p(:j)).^n(i);e=e+v(:,k).^2.*n(i).*(1-p(:,k)).*p(:;w=w+v(:,k).*n(i).*p(:,k);w=w.^2;forj=1:3fork=4:6h=h+v(:j).^2.*((1-(1-p(:j)).^n(i)).*(e+w)-(v(:k).*n(i).*p(:k).*(1-(1-p(:j)).^n(i))).^2);(由于篇幅原因，矩陣pl、v1及輸出部分略去：)forj=4:7t=t+p1(:j).*v1(:j);h=0;forj=1:3h=h+(1-(1-p1(:j)).^n(i)).*v1(:j);f1(:,i)=t+h-l;(由于篇幅原因，矩陣p2及輸出部分略去)p2=t=0;forj=4:7t=t+p2(:j).*v2(:j);1=1+(1-(1-p2(:j)).^n(i)).*v2(:h=h+(1-(1-p2(:j)).^n(i)).*v2(:j);f2(:,i)=t+h-l;t=0;forj=2:7t=t+p3(:j).*v3(:j);h=(1-(1-p3(:,1)).^n(i)).*v3(:,1);程序四：方案的綜合評判，編寫MATLAB文件zhpp.m:(由于篇幅原因，矩陣p、v及輸出部分略去)n=[10000200001000002000005000001000000200000050000001000000020000000];p=[];a=zeros(28,10,3);b=zeros(28,10);k=zeros(28,10);r=zeros(28,10,3);h=zeros(28,10,4);d=zeros(28,10);kk=zeros(28,1);fk=zeros(28,10);t=0;forj=4:7t=t+p(:j).*v(:j);forj=1:3enda(:ij)=1-(1-p(:j).^n(i);b(:i