行列式的基本性質(zhì)

行列式的基本性質(zhì)也就是:若則第2頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1).當(dāng)位于第一行第一列的情形,即證明:

先證由定義,按第一行展開得(2).再證一般情形(第i行除外,其它元素全為零),此時(shí)第3頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天得第4頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中得第5頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第6頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是證畢.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法或

證明:把行列式D的第i行的每個(gè)元素按下面的方式拆成n個(gè)數(shù)的和,再根據(jù)性質(zhì)3,可將D

表示成n個(gè)行列式之和:第7頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天引理第8頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天證畢.同理,若按列證明,可得

推論.

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明:

不妨設(shè)i＜j,考慮輔助行列式第9頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天←第i行←第j行其中第i行與第j行對(duì)應(yīng)元素相同,又將按第j行展開,有于是得第10頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天上述證法按列進(jìn)行,同理可得證畢.小結(jié):關(guān)于代數(shù)余子式的性質(zhì)有:(1).(2).或簡(jiǎn)寫成:第11頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天題設(shè)階行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和第12頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.利用定理一計(jì)算前面的例1解:D第13頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.計(jì)算0000解:按第一行展開,有第15頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天遞推公式第17頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天(按第一行展開)記住這類解法!第18頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.證明范德蒙(Vandermonde)行列式說(shuō)明:第19頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天關(guān)于范德蒙行列式注意兩點(diǎn)形式——↓按升冪排列，形成等比數(shù)列,且從0次方開始；結(jié)果——共n(n-1)/2

項(xiàng)的乘積,可正可負(fù)可為零.對(duì)于范德蒙行列式,我們的任務(wù)就是：利用它計(jì)算行列式因此要牢記范德蒙行列式的形式和結(jié)果.第20頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天▋▋▋?nèi)绲?1頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天下面我們來(lái)證明范德蒙(Vandermonde)行列式.證明:用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)榈?2頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第23頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天按歸納法假設(shè),有故第24頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天２利用范德蒙行列式計(jì)算例４計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。第25頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天解第26頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第27頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天題：計(jì)算第28頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天７用數(shù)學(xué)歸納法例5證明第29頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法第30頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天評(píng)注第32頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)第34頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3克萊姆法則一、克萊姆法則二、齊次線性方程組有 非零解的充要條件第35頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天(14)定理二（克來(lái)姆法則）設(shè)線性方程組的系數(shù)行列式一、克萊姆法則(15)第36頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天則線性方程組(14)有唯一解:(16)其中(第i行)(第j列)第37頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明:先驗(yàn)證(16)是(14)的解,即驗(yàn)證:D≠0?按第1列展開按第2列展開按第n列展開因?yàn)?17)第38頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天由定理一及引理再證(14)只有一個(gè)解.000第39頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天將以上n個(gè)恒等式相加,就有第40頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)定理一及其推論,上式為證畢.第41頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天

用克萊姆法則解線性方程組時(shí),必須具備兩個(gè)條件:注意1.未知數(shù)個(gè)數(shù)=方程個(gè)數(shù);2.系數(shù)行列式≠0.第42頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.解線性方程組解:第43頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天又因?yàn)榈?4頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天第45頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)線性方程組則稱此方程組為

非齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.一、非齊次與齊次線性方程組的概念第46頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天齊次線性方程組:(18)

定理三.

若齊次線性方程組(18)有非零解,則(18)的系數(shù)行列式D=0.證明:

反證.若D≠0,由克萊姆法則知(18)只有零解.矛盾!證畢.二、齊次線性方程組有非零解的充要條件第47頁(yè),共51頁(yè)，2024年2月25日，星期天

註:

由定理三可知,方程組(18)的系數(shù)行列式D=0是方程組(18)有非零解的必要條件.在第四章將會(huì)看到,D=0也是齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件.

齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式D=0.說(shuō)明:(1).D≠0(18)有唯一解,即零解.(3).(18)有非零解(有無(wú)窮多組解).綜合上述,得到:(2).(18)有零解:第