新教材2023年高中數(shù)學(xué)綜合測(cè)試新人教A版必修第一冊(cè)

第一章綜合測(cè)試

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知】={1,2,3},B=U|KX5},則（C）

A.ARBB.JGB

C./C8={2,3}D.AC6={x|lQ<3}

［解析］根據(jù)集合與元素的概念可得A選項(xiàng)錯(cuò)誤；陣?yán)ニ?不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)

誤；根據(jù)集合間的運(yùn)算可得/C8={2,3},所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C.

2.命題“Vx〉0,x—2x+l〉0"的否定是（A）

A.3x〉0,2x+lW0

B.Vx>0,/一2矛+1/0

C.3xWO,xJx+IWO

D.VxWO,2x+lW0

［解析］含有量詞的命題的否定，一改量詞將"V"改為‘勺"，二否結(jié)論將改

為“W"，條件不變，故選A.

3.設(shè)aGR,則a>3是|a|〉3的（D）

A.既不充分也不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.充分不必要條件

［解析］由“a>3”能推出“|a|〉3”,充分性成立；反之由㈤>3無(wú)法推出a>3,必要

性不成立.故選D.

4.已知集合/={xGR，+x—6=0},8={xGR|ax—l=0},若醫(yī)4則實(shí)數(shù)a的值

為（D）

A.［或一］B.—§或］

c.，或一］或oD.一§或萬(wàn)或o

［解析］/={-3,2},:醫(yī)4；.一3^6或2G6或8=0；.?.—34—1=0,或2a-l=

0或a=0.a—?或|■或0.故選D.

5.已知〃，則“十1=0”是“皿=?！背闪⒌模ˋ）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

［解析］由1=0得*=1,得加=力，777—77=0,即充分性成立；當(dāng)勿=刀=0時(shí)，滿足

nn

/一〃=0,但*-1=0無(wú)意義，即必要性不成立，即“四一1=0”是“勿一77=0”成立的充分

nn

不必要條件，故選A.

6.集合{y￡N|y=—f+6,x￡N}的真子集的個(gè)數(shù)是(C)

A.9B.8

C.7D.6

［解析］x=0時(shí)，尸6；x=l時(shí)，y=5；x=2時(shí)，y=2；x=3時(shí)，y=—3.

所以{p￡N|y=-3+6,x￡N}={2,5,6}共3個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)為吸一1=7個(gè)，

故選C.

7.命題F(〃)￡N且廣(〃)>〃”的否定形式是(C)

A.VF?4N且/*(〃)WT?

B.V/*(〃)&N且_f(77)>〃

C.372^N,/*(〃)住N或/*(〃)WT?

D.377^N,/1(〃)隹N或/*(〃)>〃

［解析］命題“V〃￡N,廣(〃)￡1*1且*〃)>〃”的否定形式是m〃￡N,F(〃)&N或

n,故選C.

8.已知全集〃=R,〃={才|水一1},N={x|x(x+2)<0},則圖中陰影部分表示的集合

是(A)

A.{x\—1^X0}

B.{x|—l〈x〈0}

C.{x|—2<x<—1)

D.{x|x〈一1}

［解析］題圖中陰影部分為vn(［:寓,

因?yàn)?{x|x<—l},

所以［陽(yáng)={x|x］一1},

又N={x|x(x+2)<0}={x［—2<X0},

所以Ml（［就={x］—lWx〈O}.故選A.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）

9.下列命題中，是全稱量詞命題的有（BC）

A.至少有一個(gè)x使;^+2矛+1=0成立

B.對(duì)任意的x都有V+2x+l=0成立

C.對(duì)任意的x都有/+2x+l=0不成立

D.存在x使V+2x+l=0成立

［解析］A和D中用的是存在量詞“至少有一個(gè)”“存在”，屬存在量詞命題，B和C

用的是全稱量詞“任意的”，屬全稱量詞命題，所以B、C是全稱量詞命題.故選BC.

10.以下滿足{0,2,（0,1,2,3,4}的集合/有（AC）

A.（0,2,4}B.{0,1,3,4}

C.{0,1,2,4}D.{0,1,2,3,4}

［解析］由題意可知，集合/包含集合{0,2,4）,同時(shí)又是集合{0,1,2,3,4}的

真子集，則所有符合條件的集合A為{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.選項(xiàng)BD

均不符合要求，排除.故選AC.

11.下列命題中真命題的是（AB）

A.“a〉6>0”是“吉〉甘”的充分條件

B.“a〉6”是“3a>36”的充要條件

C.“a〉b”是“隆〉國(guó)"的充分條件

D.“a>6”是?a?b町的必要條件

［解析］當(dāng)a>6>0時(shí)旨>況A正確；B正確；對(duì)于C,當(dāng)a=l,6=-2時(shí)，滿足a>6,

但故C不正確；對(duì)于D,“a>6”與“ac'WA"'沒(méi)有關(guān)系，不能相互推出，因此

不正確.故選AB.

12.設(shè)全集為〃在下列選項(xiàng)中，是醫(yī)/的充要條件的有（BCD）

A.4U8=8B.（［/）Cl8=0

c.（［Ma（［㈤D.JU久而=u

［解析］由Venn圖可知，B,C,D都是充要條件，故選BCD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知集合/={0,1,2,3,4,5},集合6={1,3,5,7,9},則Venn圖中陰影

部分表示的集合中元素的個(gè)數(shù)為3

AB

［解析］由Venn圖及集合的運(yùn)算可知，陰影部分表示的集合為［式/C面.

又/={0,1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},

：.AQB=(1,3,5},：.［AAn^)={0,2,4},

即Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個(gè)數(shù)為3,故答案為3.

14.已知集合/={1,2,3},6={x|—3x+a=0},若/C6W。，則a的值為3或6或

［解析］由題意可知—［引才號(hào)］.若4。分0,貝隙=1或曰=2或弓=3,得a=3或6或

IoIuo0

9.

15.已知集合/={x|加一3x+l=0},若/中只含有一個(gè)元素，則a的值為0或，

若A的真子集個(gè)數(shù)是3,則a的范圍是上水0或?！吹?

faWO9

［解析］集合力中只含一個(gè)元素????8=0或|八"八，解得3=0或乃=彳；

〔△=9—4a=04

??3的真子集個(gè)數(shù)是3個(gè)，

.??〃/—3x+l=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，

aWO,9

解得水0或0<a<-

△=9—4a0,

??a的取值范圍是水0或。〈水,

16.在下列所示電路圖中，下列說(shuō)法正確的是(1)(2)(3］(填序號(hào)).

⑴如圖①所示，開(kāi)關(guān)/閉合是燈泡夕亮的充分不必要條件;

(2)如圖②所示，開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡6亮的必要不充分條件；

(3)如圖③所示，開(kāi)關(guān)/閉合是燈泡6亮的充要條件；

(4)如圖④所示，開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡6亮的必要不充分條件.

［解析］(1)2閉合，B亮；而8亮?xí)r，4不一定閉合，故4是6的充分不必要條件，因

此正確；(2)月閉合，6不一定亮；而8亮，/必須閉合，故4是8的必要不充分條件，因此

正確；(3)/閉合，B亮;而8亮，/必閉合，所以/是8的充要條件，因此正確；(4)/閉

合，6不一定亮；而6亮，/不一定閉合，所以4是6的既不充分也不必要條件，因此錯(cuò)誤.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真

假.

(1)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；

(2)末位是0的實(shí)數(shù)能被2整除；

(3)3x>l,/-2>0；

(4)存在實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根；

(5)奇數(shù)的平方還是奇數(shù).

［解析］(1)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，因此是存在量詞命題，真命題.

(2)命題中省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，真命題.

(3)命題中含有存在量詞，勺”，是存在量詞命題，真命題.

(4)命題“存在實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根”，是存在量詞命題，真命題.

(5)命題中省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，真命題.

18.(本小題滿分12分)已知集合—{矛居―12才+20<0,A-￡R},N={X\x

eR}.

⑴當(dāng)勿=2時(shí)，求〃

(2)在①充分條件，②必要條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題

中的"存在，求出力的取值范圍；若問(wèn)題中的小不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在正實(shí)數(shù)以，使得"xe”’是"XRW的.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［解析］M—{x\/—12jr+20<0,x^R}={x|2〈x〈10},

當(dāng)勿WO時(shí)，N=。；當(dāng)〃〉0時(shí)，N—{x\1—.

(1)當(dāng)m=2時(shí)，N—{x\—1<X3},故〃Pl{式12<x<3}.

f1—mW2,

(2)選擇①充分條件，則有此兒則〃〉0,且,、解得力三9,在正實(shí)數(shù)〃，

［1+10,

使得是"XW的充分條件,

m的取值范圍為{引029}.

選擇②必要條件，則有建必

f1一卯三2,

0>0時(shí)，,不成立，

［1+RWIO,

所以不存在正實(shí)數(shù)處使得“XGM是"XRW的必要條件.

19.(本小題滿分12分)設(shè)集合{x\—Kx<4},夕=卜|一5〈求|［,C={x\1—

2水x〈2a}.

(1)若。=。，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵若存。且正(ZG而，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解析］⑴因?yàn)镃=31-2水水2目=。，

所以1―2222己，所以aW；,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(2)因?yàn)镃={x\l-2a<x<2a\^0,

所以1—2水2a,即於(

因?yàn)?={x|—1〈王<4},5=卜|一5<王<||,

所以/nA=,x|—l〈x〈泉

"1—2a'—1,

因?yàn)樵贕4C而，所以S

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是“3〈aw|J.

20.(本小題滿分12分)已知全集〃=R,集合/={x|4x—l〉x+2},8={削-1〈求2〃一

3).

(1)當(dāng)勿=4時(shí)，求

(2)若4C皮恰好包含了兩個(gè)整數(shù)，寫(xiě)出這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合的所有子集.

［解析］(1)因?yàn)槿?R,集合/={x14x—l〉x+2}={x1x〉l),

當(dāng)勿=4時(shí)，［/={x|Ml},集合6={x|—l〈x<5},

所以(［④CB={x|-1〈啟1}.

(2)因?yàn)锳—{x|4x—l>x+2}={x|x>l},

B={x\—1＜水2"一3}.

4G8恰好包含了兩個(gè)整數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)是2,3,

則集合{2,3}的所有子集為：。，{2},{3},{2,3}.

21.(本小題滿分12分)求證：方程2x—3勿=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要

條件是一￡〈水0.

［解析］⑴充分性：:一￡〈欣0,

?,?方程x—2x—3%=0的判別式△=4+12勿＞0,

且一3勿＞0,

???方程2x—3%=0