5-1-期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1第五章〔上〕：期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)根底第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價(jià)的三種方法第二節(jié)博弈論方法第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制第四節(jié)概率方法第五節(jié)風(fēng)險(xiǎn)第六節(jié)多期二叉樹和套利2024/5/102第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價(jià)的三種方法某股票現(xiàn)價(jià)為100美元，在一年后股價(jià)可以是90美元或120美元，概率并未給定，即期利率是5%。一年之后到期執(zhí)行價(jià)為105美元的股票期權(quán)的公平價(jià)格是多少？2024/5/103三種方法博弈論方法資產(chǎn)組合復(fù)制方法概率方法或期望價(jià)值方法第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價(jià)的三種方法2024/5/104兩個(gè)假定：第一，到期日的價(jià)格只能是兩種特定價(jià)格中的一種；第二，第一個(gè)假設(shè)對三種方法都適用。第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價(jià)的三種方法2024/5/105博弈論研究的是理性的人之間如何進(jìn)行策略選擇的。第二節(jié)博弈論方法2024/5/106第二節(jié)博弈論方法假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為，股票的價(jià)格為，構(gòu)造如下的資產(chǎn)組合：買入股期權(quán)和股股票，假設(shè)或表示賣空。那么時(shí)資產(chǎn)組合的價(jià)值這里、是未知的。當(dāng)時(shí)：2024/5/107第二節(jié)博弈論方法一、約減隨機(jī)項(xiàng)讓不取決于股價(jià)漲跌該項(xiàng)策略說明應(yīng)該賣出兩股期權(quán)的同時(shí)買入一股股票。2024/5/108二、期權(quán)定價(jià)第二節(jié)博弈論方法解得：2024/5/109三、套利假設(shè)做市商愿意以7.25美元的價(jià)格購置期權(quán)，此時(shí)期權(quán)價(jià)格被高估了，于是出現(xiàn)套利空間。策略1：買入1股股票，賣出2股期權(quán)。本錢：第二節(jié)博弈論方法2024/5/10101年末沖銷該頭寸：投資組合：股票——期權(quán)的凈值為90美元；歸還債務(wù)本利：于是無風(fēng)險(xiǎn)利潤：。第二節(jié)博弈論方法2024/5/1011假設(shè)做市商以7.00美元的價(jià)格提供期權(quán)，現(xiàn)在期權(quán)的價(jià)格被低估了。如何操作？第二節(jié)博弈論方法2024/5/1012策略2：逆向操作：買入2股期權(quán)，而賣出1股股票。〔無風(fēng)險(xiǎn)利潤：$0.30〕

第二節(jié)博弈論方法2024/5/1013結(jié)論：期權(quán)的價(jià)格一旦偏離理論價(jià)格一定幅度，投資者或者套利者可以利用這個(gè)時(shí)機(jī)通過大量買賣期權(quán)和股票賺取無風(fēng)險(xiǎn)利潤?？梢哉J(rèn)為：市場反響快，以至任何可利用的套利時(shí)機(jī)已經(jīng)被利用，整個(gè)市場已不存在套利時(shí)機(jī)。第二節(jié)博弈論方法2024/5/1014四、一般公式第二節(jié)博弈論方法

構(gòu)造資產(chǎn)組合：買入1股衍生產(chǎn)品和賣空股票。資產(chǎn)組合的初始價(jià)值為：

選擇，使得資產(chǎn)組合的價(jià)值與股票的最終價(jià)值無關(guān)2024/5/1015第一節(jié)博弈論方法2024/5/1016第一節(jié)博弈論方法Δ量，期權(quán)價(jià)值變化與股票價(jià)格變化之比第一節(jié)博弈論方法資產(chǎn)組合的初始價(jià)值：資產(chǎn)組合的最終價(jià)值：

假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，時(shí)間長度為那么2024/5/1017于是得到衍生產(chǎn)品的定價(jià)公式：(3-1)否那么，市場將會(huì)出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)。如何證明？2024/5/1018第一節(jié)博弈論方法一、背景2024/5/1019第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制二、資產(chǎn)組合匹配

2024/5/1020包含a單位的股票和b單位的現(xiàn)金，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)利率為r，那么在t=0時(shí)：2024/5/1021第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-2〕

于是資產(chǎn)組合的價(jià)值和衍生證券的價(jià)值一致，該資產(chǎn)組合復(fù)制了衍生證券V。2024/5/1022第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-3〕根據(jù)〔3-2〕解得：第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制2024/5/1023將U和D分開得2024/5/1024第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-4〕其中三、期望價(jià)值定價(jià)方法無套利定價(jià)概率〔風(fēng)險(xiǎn)中性概率〕2024/5/1025第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-5〕〔3-6〕2024/5/1026第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制如何理解式〔3-5〕可表示概率？2024/5/1027第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制定義:命題:風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度必是線性定價(jià)測度定理:市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度四、如何記憶用來定價(jià)的概率

2024/5/1028第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制2024/5/1029第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制〔3-7〕

例股票現(xiàn)在的價(jià)格為50美元。一年后，它的價(jià)格可能是55美元或40美元。一年期利率為4％?，F(xiàn)計(jì)算兩種看漲期權(quán)的價(jià)格，一種執(zhí)行價(jià)為48美元，另一種執(zhí)行價(jià)為53美元。同時(shí)，為一執(zhí)行價(jià)為45美元的看跌期權(quán)定價(jià)。2024/5/1030第二節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制假設(shè)股價(jià)為100美元，將來上漲時(shí)價(jià)格為l20美元，下跌時(shí)價(jià)格為90美元。假設(shè)觀察一年的市場行為，股票上漲的概率的合理選擇(見圖3-5)，是使股票的期望回報(bào)大致在15％左右，該回報(bào)比將100美元投資于平安的銀行賬戶要高得多。()。2024/5/1031第四節(jié)概率方法2024/5/1032第四節(jié)概率方法2024/5/1033第四節(jié)概率方法引入一個(gè)假想的投資者(HypothesisInvestor)，從此以后稱為H．I．，其有如下特征：〔1〕H．I．為風(fēng)險(xiǎn)中性投資者，這與保守投資者有很大差異。一位風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者是風(fēng)險(xiǎn)無差異的，即對于他來說，確定得到1美元的投資并不比期望值為1的不確定性投資更有吸引力。大多數(shù)人并非風(fēng)險(xiǎn)中性?！?〕對于H．I．而言，同等回報(bào)的股票和無風(fēng)險(xiǎn)投資之間是沒有差異的。第四節(jié)概率方法構(gòu)造一個(gè)包含1股股票的資產(chǎn)組合，那么美元，且一年以后以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資100美元，那么一年后得105〔r=0.05〕風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者，將這些投資同等看待，即：2024/5/1034

重要說明：所求出的p值并不一定和投資者的觀點(diǎn)以及股票市場漲跌的實(shí)際概率相對應(yīng)，它僅僅是一個(gè)產(chǎn)生與無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)相等的股票回報(bào)。2024/5/1035第四節(jié)概率方法2024/5/1036第四節(jié)概率方法假設(shè)執(zhí)行價(jià)為105，那么期權(quán)合約的價(jià)值為：假設(shè)某公司的股票以60美元出售，一年以后的價(jià)格表現(xiàn)見圖3-6所示。2024/5/1037第五節(jié)對沖風(fēng)險(xiǎn)交易商提供一個(gè)執(zhí)行價(jià)為65美元，一年后到期的看漲期權(quán)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.048，問期權(quán)的公平價(jià)格？如果交易商的報(bào)價(jià)為6.35美元賣出看漲期權(quán)，6.00元買入，兩者之差稱為交易商的差價(jià)。一客戶以每股6.35美元的價(jià)格購入100000股〔1000手〕看漲期權(quán)，交易商現(xiàn)在持有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)很大的頭寸，決定通過購置股票對沖風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該買入多少股票，獲利情況如何？2024/5/1038第五節(jié)對沖風(fēng)險(xiǎn)第五節(jié)對沖風(fēng)險(xiǎn)解：2024/5/1039第五節(jié)對沖風(fēng)險(xiǎn)2024/5/1040買入：此時(shí)，本錢：因此，借貸3000000-635000第五節(jié)對沖風(fēng)險(xiǎn)情形1：股價(jià)上升到80情形2：股價(jià)下跌至502024/5/10412024/5/1042第六節(jié)兩期二叉樹2024/5/1043第六節(jié)兩期二叉樹2024/5/1044第六節(jié)兩期二叉樹假設(shè)兩期后一個(gè)衍生產(chǎn)品對應(yīng)于股票二叉樹中的每一個(gè)最終結(jié)果都有一個(gè)特定的價(jià)值，分別為如圖3-9所示。那么如何確定衍生產(chǎn)品的價(jià)格2024/5/104