（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)28.3 銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形+矩形模型解析版

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)28.3銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-三角形+矩形模型【方法技巧】已知AB、BE的長度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度數(shù)，過較短的邊AB作高BE，構(gòu)造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加減求解。1．（2022?澄邁縣模擬）如圖，某教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂部A在地面上的影子F與墻角C的距離為18m（B、F、C在同一直線上）．求教學(xué)樓AB的高；（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，則四邊形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m設(shè)教學(xué)樓AB的高為xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，∠AEG＝22°∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，解得：x≈15m．答：教學(xué)樓AB的高約為15m．2．為了方便學(xué)校藍(lán)球隊(duì)晚間訓(xùn)練，學(xué)校操場安裝了高桿燈照明（如圖所示），俊強(qiáng)和同學(xué)們想知道高桿燈的高度，進(jìn)行了如下測量工作：俊強(qiáng)同學(xué)在A處用自制的測傾器測得燈桿頂部D的仰角為22°，朝著燈桿向前走12米到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈桿頂部D的仰角為45°，已知俊強(qiáng)眼睛到地面的距離為1.7米（即圖中AE、BF的長），求燈桿DC的高度．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【解答】解：連接EF并延長，交CD于點(diǎn)G，則EG⊥CD，AB＝EF＝12米，F(xiàn)G＝BC，AE＝BF＝CG＝1.7米，在Rt△DFG中，∠DFG＝45°，則DG＝FG，設(shè)DG＝FG＝x米，則EG＝（x+12）米，在Rt△DEG中，∠DEG＝22°，tan22°＝≈0.40，解得x＝8，∴CD＝DG+CG＝8+1.7≈10（米）．即燈桿CD的高度約為10米．3．（2020?新賓縣模擬）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號形式）【解答】解：作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO?tan60°＝100（米）．設(shè)PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：電視塔OC高為100米，點(diǎn)P的鉛直高度為（米）．4．（2015?通遼）如圖，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測得假山坡腳C與建筑物水平距離BC＝25米，與涼亭距離CE＝20米，某人從建筑物頂端測得E點(diǎn)的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）【解答】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度為i＝1：，∴設(shè)EF＝x，則FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，則FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高為（35+10）m．5．（2018?黃岡）如圖，在大樓AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，樓高AB＝60米，在斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上．（1）求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值；（2）求斜坡CD的長度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，則AC＝＝＝20（米）答：坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值是20米．（2）設(shè)CD＝2x，則DE＝x，CE＝x，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∴60﹣x＝20+x，∴x＝40﹣60，∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），∴CD的長為（80﹣120）米．6．如圖，為了測量小河對岸大樹BC的高度，小明在點(diǎn)A處測得大樹頂端B的仰角為37°，再從點(diǎn)A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測得樹頂端B的仰角為26.7°．求大樹BC的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【解答】解：如圖，過點(diǎn)D分別作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD?sin30°＝2m，AG＝AD?cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°?AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°?AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝（4+8）m．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大樹BC的高度約為11.2m7．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌CD，小明在斜坡上B處測得標(biāo)識牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來在地面A處測得標(biāo)識牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．求標(biāo)識牌CD的高．【解答】解：過點(diǎn)B作BF⊥EA，交EA的延長線于點(diǎn)F，作BG⊥DE于點(diǎn)G．則BF＝EG，BG＝EF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，sin30°＝，cos30°＝，∴BF＝5米，AF＝米，∵AE＝10米，∴BG＝EF＝AF+AE＝（10+5）米，在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，∴BG＝CG，即CG＝（10+5）米，∴CE＝CG+EG＝（15+5）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝10米，tan60°＝，∴DE＝10米，∴CD＝CE﹣DE＝15+5﹣10＝（15﹣5）米．即標(biāo)識牌CD的高為（15﹣5）米．∴漁輪的航程BC約為10海里，海軍艦艇的航程AB約為26海里．8．春節(jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)處大樓的大屏幕時(shí)出現(xiàn)了“新年快樂”幾個(gè)大字，小明想利用剛學(xué)過的知識測量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測得“新”字底端D的仰角為60°，再沿著坡面AB向上走到B處，測得“新”字頂端C的仰角為45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假設(shè)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．（1）求點(diǎn)B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD長保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.732）【解答】解：（1）如圖，過B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD約為13.4m．9．如圖，某大樓（DE）的頂部樹有一塊廣告牌CD，實(shí)踐小組在斜坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°．已知斜坡AB的坡比為1：，AB＝10米，AE＝15米．求廣告牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥DE于點(diǎn)M，作BH⊥EA的延長線于點(diǎn)H，∴BH＝ME，BM＝EH，∠CBM＝45°，∠DAE＝60°，在Rt△ABH中，AB＝10米，斜坡AB的坡比為i＝1：＝tan∠BAH＝，設(shè)BH＝x米，則AH＝（x）米，由勾股定理