第19題遞推數(shù)列求通項(xiàng)模型思想是主線 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第19題遞推數(shù)列求通項(xiàng)，模型思想是主線對(duì)負(fù)整數(shù)a，數(shù)，，依次成等差數(shù)列．（1）求a的值；（2）若數(shù)列滿足（），，求的通項(xiàng)公式；（3）若對(duì)任意，有，求m的取值范圍．第（1）小題，根據(jù)數(shù)，，依次成等差數(shù)列，列方程即可；第（2）小題思路一是將遞推式兩邊同除以，構(gòu)造等差數(shù)列寫出通項(xiàng)公式；第（3）小題，在有了的通項(xiàng)公式之后，運(yùn)用含參不等式恒成立的條件實(shí)施參變分離，求m的取值范圍，（1）解：依題意有，即．解得或，∵，∴．（2）（構(gòu)造等差數(shù)列）原遞推式即為，兩邊同除以，有．從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴，∴．（3）解：由對(duì)均成立得對(duì)均成立．∵，兩邊同除，得，得對(duì)恒成立，而時(shí)，最小，為，∴．1．設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，．第（1）小題，根據(jù)數(shù)，，依次成等差數(shù)列，列方程即可；第（2）小題思路二是利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列寫出通項(xiàng)公式；第（3）小題，在有了的通項(xiàng)公式之后，運(yùn)用含參不等式恒成立的條件實(shí)施參變分離，求m的取值范圍.（1）解：依題意有，即．解得或，∵，∴．（2）（構(gòu)造等比數(shù)列）由，令，比較兩式得，故原式為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－2的等比數(shù)列．∴，∴．（3）解：由對(duì)均成立得對(duì)均成立．∵，兩邊同除，得，得對(duì)恒成立，而時(shí)，最小，為，∴．2．設(shè)數(shù)列滿足：，（），數(shù)列滿足：．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．第（1）小題，根據(jù)數(shù)，，依次成等差數(shù)列，列方程即可；第（2）小題思路三是利用迭代法求通項(xiàng)公式；第（3）小題，在有了的通項(xiàng)公式之后，運(yùn)用含參不等式恒成立的條件實(shí)施參變分離，求m的取值范圍，（1）解：依題意有，即．解得或，∵，∴．（2）（迭代法）由得（3）解：由對(duì)均成立得對(duì)均成立．∵，兩邊同除，得，得對(duì)恒成立，而時(shí)，最小，為，∴．3．已知數(shù)列中，，，求.【點(diǎn)評(píng)】由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)類型和方法：第一類：型如的一階遞推式，可改寫為的形式，左端通過(guò)“累加”可以消項(xiàng)；右端是關(guān)于n的函數(shù)，可以求和．故運(yùn)用“累加法”必定可行，即．第二類：型如的遞推式，可改寫為的形式．左端通過(guò)“迭乘”可以消項(xiàng)；右端通常也可以化簡(jiǎn)，故運(yùn)用“迭乘法”必定可行，即．第三類：型如（，）的遞推式，可由下面兩種構(gòu)造法求通項(xiàng)公式．構(gòu)造法一：由及，兩式相減得，得是首項(xiàng)為，公比為p的等比數(shù)列，先求的通項(xiàng)公式，再利用“累加法”求的通項(xiàng)公式．構(gòu)造法二：若，則顯然是以為首項(xiàng)、q為公差的等差數(shù)列；若，，，則構(gòu)造數(shù)列，滿足．運(yùn)用待定系數(shù)法，解得，則是首項(xiàng)為，公比為p的等比數(shù)列．第四類：型如（，，）的遞推式，運(yùn)用取倒數(shù)，構(gòu)造數(shù)列，滿足，運(yùn)用換元法，即令，得，從而轉(zhuǎn)換為第三類．第五類：型如（，，）的遞推式，運(yùn)用兩邊取對(duì)數(shù)法得，令，轉(zhuǎn)化為型，即第三類，再運(yùn)用待定系數(shù)法．第六類：型如（，，）的遞推式，可構(gòu)造數(shù)列，滿足，運(yùn)用待定系數(shù)法解得，，從而由等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；進(jìn)一步推廣，若遞推式中包含n的二次項(xiàng)、三次項(xiàng)，則構(gòu)造的數(shù)列中也同樣包含對(duì)應(yīng)次數(shù)項(xiàng)．第七類：型如（，）的遞推式，可在等式兩邊同除以，構(gòu)造數(shù)列，滿足，令，則轉(zhuǎn)化為，即第一類，再利用“累加法”求通項(xiàng)公式．第八類：型如滿足：，，（p、q是常數(shù)）的遞推式，則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列，可構(gòu)造數(shù)列，滿足，則即，為方程的兩個(gè)根，此方程稱之為特征方程，則數(shù)列的通項(xiàng)公式均可用特征根求得（即轉(zhuǎn)化為第七類進(jìn)一步求解）．第九類：型如（，，，）的遞推式，利用不動(dòng)點(diǎn)法，其中的根為該數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，若該數(shù)列有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則為等比數(shù)列；若該數(shù)列有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即方程等根時(shí)，為等差數(shù)列，這就是不動(dòng)點(diǎn)求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法．除上述9種類型之外還有換元法、數(shù)學(xué)歸納法（歸納一猜想一論證）等．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，，已知，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B． C． D．當(dāng)取得最小值時(shí)，（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）5．函數(shù)的最小值是，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．6．已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）7．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.已知數(shù)列中，，滿足___________，求數(shù)列的通項(xiàng)an.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）8．在數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2024·廣東佛山·一模）9．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)試問(wèn)數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若，求的通項(xiàng)公式.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題設(shè)形式可以看出，題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列an的面的一個(gè)方程，即一個(gè)遞推關(guān)系，所以應(yīng)該對(duì)此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)若對(duì)方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個(gè)類似等差數(shù)列的形式，對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行討論，分類求其通項(xiàng)即可．（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可以采取分析法的思路，由結(jié)論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達(dá)到證明不等式的目的．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，即，當(dāng)，且時(shí)，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即，數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）證明：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)，且時(shí)，，要證對(duì)于一切正整數(shù)，，只需證，即證不等式成立，綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)，有，【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，研究數(shù)列的性質(zhì)的能力，本題中遞推關(guān)系的形式適合用取倒數(shù)法將所給的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的形式，兩邊取倒數(shù)，條件許可的情況下，使用此技巧可以使得解題思路呈現(xiàn)出來(lái)．?dāng)?shù)列中有請(qǐng)多成熟的規(guī)律，做題時(shí)要注意積累這些小技巧，在合適的情況下利用相關(guān)的技巧，可以簡(jiǎn)化做題．在（2）的證明中，采取了分析法的來(lái)探究解題的思路，通過(guò)本題希望能進(jìn)一步熟悉分析法證明問(wèn)題的技巧．2．．【分析】利用輔助法，對(duì)于數(shù)列的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，根據(jù)數(shù)列構(gòu)造法，可得答案.【詳解】∵，兩邊同時(shí)除以得．令，則．兩邊同時(shí)加上得．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．∴，∴．∴．又∵，∴，3．【解析】由已知遞推關(guān)系變形湊出一個(gè)等比數(shù)列的形式，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解．【詳解】?jī)蛇叧艘缘茫海?，，，則，構(gòu)成等比數(shù)列，公比為，則，∴，即，∴，即數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，∴，∴，∴.所以：.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列，屬于中檔題．4．BCD【分析】結(jié)合題意，借助與、與的關(guān)系可計(jì)算出，結(jié)合的性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】由為數(shù)列的前項(xiàng)積，故，即有，當(dāng)時(shí)，，故有，即，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，故A錯(cuò)誤，B正確；，故C正確；由，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故取最大值時(shí)，，又，故取最小值時(shí)，，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在點(diǎn)在于借助與、與的關(guān)系，計(jì)算出，即可逐項(xiàng)判斷.5．【分析】利用得到，通過(guò)取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列，借助等比數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值是，所以當(dāng)時(shí)，，解得.所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，又，所以，所?所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用，通過(guò)配方、取對(duì)數(shù)構(gòu)造出等比數(shù)列.6．【分析】根據(jù)題設(shè)條件式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造滿足條件，從而利用待定系數(shù)法求得，從而得到成等比數(shù)列，由此得解.【詳解】設(shè)滿足條件，因?yàn)?，所以成公比?的等比數(shù)列，則，即，由得，則由的不定性解得，．所以，使，即成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2．所以，故．7．答案見(jiàn)解析【分析】若選①，由可得，即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，然后可求出，若選②，由可得，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，可得，若選③，由可得，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，然后可求出.【詳解】若選①，因?yàn)橛?，可得，因?yàn)?，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，即；若選②，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，即可得；若選③，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.8．【分析】法一，由，令，解得，即在等式兩邊同減去，可構(gòu)造出形式，從而兩邊再同取倒數(shù)可得，由此配湊常數(shù)，可構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得等比數(shù)列通項(xiàng)，解可得；法二，利用特征方程有兩個(gè)不等式根：，確定構(gòu)造方向，先構(gòu)造兩個(gè)等式,再作比即可構(gòu)造特殊數(shù)列，即可求得特殊數(shù)列的通項(xiàng)，再解出即可.【詳解】法一，由兩邊減去得，，兩邊取倒數(shù)得，，兩邊同加得，，由，則，所以有，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，故，解得.法二：因?yàn)?，兩邊同減去得①，兩邊同加上得②，由已知，則，①②兩式相除得，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.【點(diǎn)睛】已知分式一次型數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)的問(wèn)題解法：法一，化歸法.當(dāng)時(shí)，遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再裂項(xiàng)構(gòu)造即可；當(dāng)時(shí)，為了保持取倒數(shù)后分母一致性，通常可以令，可由解得的值，即可得到構(gòu)造方向，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化將問(wèn)題又化歸為的情形再求解.法二，特征根法求解.先構(gòu)造特征方程，解方程得根，若，則為等比數(shù)列；若，則為等差數(shù)列.9．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先將等式變形為，再討論和兩種情