圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

PAGE【2020中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)】：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當(dāng)前的政治形勢、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等??；三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點(diǎn)詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。c(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．7.圓內(nèi)接四邊形（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角（即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角）．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r．要點(diǎn)詮釋：圓的確定：①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點(diǎn)詮釋：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線l經(jīng)過⊙O上的一點(diǎn)A；②OA⊥l．（4）三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

（5）三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.

要點(diǎn)詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.3．圓和圓的位置關(guān)系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請看下表：要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運(yùn)動來理解．④“R-r”時(shí)，要特別注意，R＞r．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究1．和圓有關(guān)的最長線段和最短線段了解和圓有關(guān)的最長線段與最短線段，對有關(guān)圓的性質(zhì)的了解極為重要，下面對有關(guān)問題進(jìn)行簡單論述．(1)圓中最長的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長的弦．過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，是與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦，如圖②，P是⊙O內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的直徑AB，過P作弦CD⊥AB于P，則CD是過點(diǎn)P的最短的弦．(2)圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上．如圖所示，P在⊙O外，連接PO交⊙O于A，延長PO交⊙O于B，則在點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)連接的線段中，PB最長，PA最短．(3)圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長的線段與最短的線段也都在過圓心的直線上．如圖所示，P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，直徑過點(diǎn)P，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則PB最長、PA最短．2．與三角形內(nèi)心有關(guān)的角(1)如圖所示，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC=90°+．(2)如圖所示，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，．(3)如圖所示，E是△ABC內(nèi)角與外角的平分線的交點(diǎn)，∠E=．如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，則∠DOE＝180°－∠A．(5)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，．如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，則．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用 1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過半徑OA的中點(diǎn)P，∠OPC＝60°，求弦BC的長．【總結(jié)升華】圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問題．2．如圖所示，在⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)M，，連接AC．(1)求證：△MAC是等腰三角形；(2)若AC為⊙O直徑，求證：AC2＝2AM·AB．【總結(jié)升華】本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：【變式】如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，則()A．B．C．D．與的大小關(guān)系無法確定3．已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥半徑AO于D．(1)求證：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半徑．【總結(jié)升華】解決圓周角的問題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉(zhuǎn)化為同弧所對圓心角的一半的角；二是將圓周角的頂點(diǎn)移動到使其一邊經(jīng)過圓心．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用4．已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N，交BC的延長線于點(diǎn)E，直線CF交EN于點(diǎn)F，且∠ECF＝∠E．(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且AC＝CE，求MO的長．【總結(jié)升華】有關(guān)切線的判定，主要有兩種類型，若題目已經(jīng)給出了直線與圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法(此題就如此)；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法，簡稱“作垂直證半徑”．舉一反三：【變式】如圖所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面積為S．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，求內(nèi)切圓半徑r．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．(1)判斷△DCE的形狀；(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且，求證△DCE≌△OCB．【總結(jié)升華】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△AOC是正三角形．舉一反三：【變式】如圖所示，PQ＝3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q，則AB＝________．6．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)P是AB延長線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的長及∠CMP的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P在AB的延長線上運(yùn)動，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變化，請求出∠CMP的度數(shù)；若點(diǎn)P在直徑BA的延長線上，PC切⊙O于點(diǎn)C，則∠CMP的大小是否變化？【總結(jié)升華】解第(2)小題時(shí)，引用“設(shè)∠CPA＝α”這一方法，用代數(shù)方法計(jì)算得出結(jié)論，降低了解題的難度．舉一反三：【變式】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD與AE相交于F．求證：AC2＝AF·AE；(2)求證：AF＝CF．中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.已知兩圓的直徑分別是2厘米與4厘米，圓心距是3厘米，則這兩個圓的位置關(guān)系是（） A.相交 B.外切 C.外離 D.內(nèi)含2．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度數(shù)為（）A.70°B.35°C.30°D.20°3．已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長線上的一個動點(diǎn)，過P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D，則∠CDP等于（） A.30° B.60° C.45° D.50°第2題第3題第4題第5題4．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點(diǎn),則線段OM長的最小值為（）A.5B.4C.3D.25．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）6.如圖，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），⊙D過A、B、O三點(diǎn)，點(diǎn)C為上一點(diǎn)（不與O、A兩點(diǎn)重合），則cosC的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．已知⊙O的半徑為1，圓心O到直線的距離為2，過上任一點(diǎn)A作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，則線段AB長度的最小值為.8．如圖，AD，AC分別是⊙O的直徑和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于點(diǎn)B．若OB=5，則BC的長等于.9．如圖所示，已知⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，則AB的長為________．第8題第9題第10題10．如圖所示，在邊長為3cm的正方形中，與相外切，且分別與邊相切，分別與邊相切，則圓心距=cm．11．如圖所示，是的兩條切線，是切點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度數(shù)是.12．在圓的內(nèi)接等腰三角形ABC（三角形ABC三個頂點(diǎn)均在圓周上）中，圓心到底邊BC的距離為3cm，圓的半徑為7cm，則腰AB的長為.

三、解答題13．如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，．（1）求證：直線PB是⊙O的切線；（2）求cos∠BCA的值．14．如圖所示，點(diǎn)A、B在直線MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半徑均為1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運(yùn)動，與此同時(shí)，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r(厘米)與時(shí)間t(秒)之間的關(guān)系式為r＝1+t(t≥0)．(1)試寫出點(diǎn)A、B之間的距離d(厘米)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)問點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切?15.如圖所示，半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有