圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系

PAGE【2020中考數(shù)學專項復習】：圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系【考綱要求】1.圓的基本性質和位置關系是中考考查的重點，但不會有太復雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又應用于生活．【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、圓的有關概念及性質1．圓的有關概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；三角形的外接圓、三角形的內切圓、三角形的外心、三角形的內心、圓心角、圓周角．要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點確定一個圓．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。c詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質的前提是在同圓或等圓中．7.圓內接四邊形（1）定義:圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內接四邊形．（2）性質：圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角（即它的一個外角等于它相鄰內角的對角）．考點二、與圓有關的位置關系1．點和圓的位置關系設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內d＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點詮釋：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線l經(jīng)過⊙O上的一點A；②OA⊥l．（4）三角形的內切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.

（5）三角形的內心：

三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心.三角形的內心到三邊的距離都相等.

要點詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部內心(三角形內切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內心在三角形內部.3．圓和圓的位置關系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內切、內含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內切和外切，相離包括外離和內含．其中相切和相交是重點．②同心圓是內含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“R-r”時，要特別注意，R＞r．考點三、與圓有關的規(guī)律探究1．和圓有關的最長線段和最短線段了解和圓有關的最長線段與最短線段，對有關圓的性質的了解極為重要，下面對有關問題進行簡單論述．(1)圓中最長的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長的弦．過圓內一點最短的弦，是與過該點的直徑垂直的弦，如圖②，P是⊙O內任意一點，過點P作⊙O的直徑AB，過P作弦CD⊥AB于P，則CD是過點P的最短的弦．(2)圓外一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上．如圖所示，P在⊙O外，連接PO交⊙O于A，延長PO交⊙O于B，則在點P與⊙O上各點連接的線段中，PB最長，PA最短．(3)圓內一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段也都在過圓心的直線上．如圖所示，P為⊙O內一點，直徑過點P，交⊙O于A、B兩點，則PB最長、PA最短．2．與三角形內心有關的角(1)如圖所示，I是△ABC的內心，則∠BIC=90°+．(2)如圖所示，E是△ABC的兩外角平分線的交點，．(3)如圖所示，E是△ABC內角與外角的平分線的交點，∠E=．如圖所示，⊙O是△ABC的內切圓，D、E、F分別為切點，則∠DOE＝180°－∠A．(5)如圖所示，⊙O是△ABC的內切圓，D、E、F為切點，．如圖所示，⊙O是△ABC的內切圓，D、E、F為切點，P為上一點，則．【典型例題】類型一、圓的性質及垂徑定理的應用 1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過半徑OA的中點P，∠OPC＝60°，求弦BC的長．【總結升華】圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關系解決有關垂徑定理的計算問題．2．如圖所示，在⊙O中，弦AB與CD相交于點M，，連接AC．(1)求證：△MAC是等腰三角形；(2)若AC為⊙O直徑，求證：AC2＝2AM·AB．【總結升華】本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質及三角形內角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：【變式】如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，則()A．B．C．D．與的大小關系無法確定3．已知：如圖所示，△ABC內接于⊙O，BD⊥半徑AO于D．(1)求證：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半徑．【總結升華】解決圓周角的問題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉化為同弧所對圓心角的一半的角；二是將圓周角的頂點移動到使其一邊經(jīng)過圓心．類型二、圓的切線判定與性質的應用4．已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且∠ECF＝∠E．(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)設⊙O的半徑為1，且AC＝CE，求MO的長．【總結升華】有關切線的判定，主要有兩種類型，若題目已經(jīng)給出了直線與圓有公共點，可采用“連半徑證垂直”的方法(此題就如此)；若要判定的直線與已知圓的公共點沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法，簡稱“作垂直證半徑”．舉一反三：【變式】如圖所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面積為S．⊙O是△ABC的內切圓，求內切圓半徑r．類型三、切線的性質與等腰三角形、勾股定理綜合運用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．(1)判斷△DCE的形狀；(2)設⊙O的半徑為1，且，求證△DCE≌△OCB．【總結升華】本題考查了切線的性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質．解題的關鍵是證明△AOC是正三角形．舉一反三：【變式】如圖所示，PQ＝3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q，則AB＝________．6．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點P是AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，連接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的長及∠CMP的度數(shù)；(2)若點P在AB的延長線上運動，你認為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變化，請求出∠CMP的度數(shù)；若點P在直徑BA的延長線上，PC切⊙O于點C，則∠CMP的大小是否變化？【總結升華】解第(2)小題時，引用“設∠CPA＝α”這一方法，用代數(shù)方法計算得出結論，降低了解題的難度．舉一反三：【變式】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CD⊥AB于D，CD與AE相交于F．求證：AC2＝AF·AE；(2)求證：AF＝CF．中考總復習：圓的有關概念、性質與圓有關的位置關系—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1.已知兩圓的直徑分別是2厘米與4厘米，圓心距是3厘米，則這兩個圓的位置關系是（） A.相交 B.外切 C.外離 D.內含2．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度數(shù)為（）A.70°B.35°C.30°D.20°3．已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，則∠CDP等于（） A.30° B.60° C.45° D.50°第2題第3題第4題第5題4．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點,則線段OM長的最小值為（）A.5B.4C.3D.25．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）6.如圖，O為原點，點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），⊙D過A、B、O三點，點C為上一點（不與O、A兩點重合），則cosC的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．已知⊙O的半徑為1，圓心O到直線的距離為2，過上任一點A作⊙O的切線，切點為B，則線段AB長度的最小值為.8．如圖，AD，AC分別是⊙O的直徑和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于點B．若OB=5，則BC的長等于.9．如圖所示，已知⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，則AB的長為________．第8題第9題第10題10．如圖所示，在邊長為3cm的正方形中，與相外切，且分別與邊相切，分別與邊相切，則圓心距=cm．11．如圖所示，是的兩條切線，是切點，是上兩點，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度數(shù)是.12．在圓的內接等腰三角形ABC（三角形ABC三個頂點均在圓周上）中，圓心到底邊BC的距離為3cm，圓的半徑為7cm，則腰AB的長為.

三、解答題13．如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，．（1）求證：直線PB是⊙O的切線；（2）求cos∠BCA的值．14．如圖所示，點A、B在直線MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半徑均為1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r(厘米)與時間t(秒)之間的關系式為r＝1+t(t≥0)．(1)試寫出點A、B之間的距離d(厘米)與時間t(秒)之間的函數(shù)關系式；(2)問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切?15.如圖所示，半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側有