廣東省高州市2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

高州市2024屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合是A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則A．4 B．6 C．7 D．94．已知，，則下面結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則有最小值4 D．若，則5．雙曲線的離心率e的可能取值為A． B． C． D．36．如圖，已知正六邊形的邊長為4，對(duì)稱中心為O，以O(shè)為圓心作半徑為2的圓，點(diǎn)M為圓O上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．7．自“”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，隨著算力等硬件底座逐步搭建完善，大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用．函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測試得知，則當(dāng)把變量減半時(shí)，A． B．3 C．1 D．或38．若正四面體的棱長為，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則下列結(jié)論正確的是A．的最小正周期為 B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)10．某社區(qū)有甲、乙兩隊(duì)社區(qū)服務(wù)小組，其中甲隊(duì)有3位男士、2位女士，乙隊(duì)有2位男士、3位女士．現(xiàn)從甲隊(duì)中隨機(jī)抽取一人派往乙隊(duì)，分別以事件和表示從甲隊(duì)中隨機(jī)抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示從乙隊(duì)（甲隊(duì)已經(jīng)抽取一人派往乙隊(duì)）中隨機(jī)抽取一人抽到的是男士，則A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則A． B．函數(shù)是奇函數(shù) C． D．的一個(gè)周期為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．13．已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為________．14．已知a，b，c為的三邊長，且a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，若恒成立，則M的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，A，B，C分別為邊a，b，c所對(duì)的角，且滿足．（1）求的大??；（2）的角平分線交邊于D，向量在上的投影向量為，，求．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．17．（本小題滿分15分）《中華人民共和國愛國主義教育法》已于2024年1月1日起施行．該法以法治方式推動(dòng)和保障新時(shí)代愛國主義教育，對(duì)于傳承和弘揚(yáng)民族精神，凝聚力量，推進(jìn)強(qiáng)國建設(shè)、民族復(fù)興，意義重大而深遠(yuǎn)．某社區(qū)為了了解社區(qū)居民對(duì)《中華人民共和國愛國主義教育法》的了解，針對(duì)社區(qū)居民舉辦了一次關(guān)于《中華人民共和國愛國主義教育法》的知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為優(yōu)秀），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的年齡的第74百分位數(shù)；（2）在第四組和第五組中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在第四組中的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若第二組社區(qū)居民的年齡的平均數(shù)與方差分別為26和2，第三組社區(qū)居民的年齡的平均數(shù)與方差分別為32.5和3.75，求這20人中年齡在區(qū)間上的所有人的年齡的方差．18．（本小題滿分17分）已知橢圓的右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)為B關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P，Q為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率之積為，，D為垂足，求的最小值．19．（本小題滿分17分）已知集合，其中且，，若對(duì)任意的x，，都有，則稱集合A具有性質(zhì)．（1）集合具有性質(zhì)，求m的最小值；（2）已知A具有性質(zhì)，求證：；（3）已知A具有性質(zhì)，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由．高州市2024屆高考適應(yīng)性考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．【答案】B【解析】，，．故選B．2．【答案】D【解析】由題得，，．故選D．3．【答案】C【解析】．，．故選C．4．【答案】C【解析】因?yàn)?，，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，式子不成立，B錯(cuò)誤；若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；因?yàn)?，所以，，故D錯(cuò)誤．故選C．5．【答案】D【解析】由，得到或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，雙曲線，，所以，故選D．6．【答案】C【解析】如圖所示：連接，設(shè)，連接，依題意得，，，．則，．因?yàn)?，所以．（三角函?shù)的有界性）所以．故選C．7．【答案】A【解析】，，，（舍）．，．故選A8．【答案】A【解析】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．作，垂足為N，，為三棱錐的高．由正四面體的棱長為，易知，，．設(shè)，則，．由，得．解得．．．故選A．9．【答案】ABD（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】選項(xiàng)A．．故A正確；選項(xiàng)B，易知為最大值或最小值，是的一條對(duì)稱軸的方程．，．．，，故B正確；選項(xiàng)C，，不是最值，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，此區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)．故選ABD．10．【答案】ABC（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】依題意，事件，事件不能同時(shí)發(fā)生，．，，，．·．．故選ABC．11．【答案】AC（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分）【解析】令，則，所以，A選項(xiàng)正確；令，則，即，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，令，則，令，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，，C選項(xiàng)正確；令，則，所以，，所以，的一個(gè)周期為6，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC．12．【答案】60【解析】展開式的通項(xiàng)為．令，得，則的常數(shù)項(xiàng)為．13．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，則，則、、、，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．14．【答案】【解析】由a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，故有，即恒成立，故，，則，，由a，b，c為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因?yàn)楸厝怀闪?，所以，即，解得，所以，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，故恒成立，故M的取值范圍是．15．【答案】（1）（2）【解析】（1），，，，由正弦定理得，，，，，，，；（2），，，延長，過點(diǎn)B作，，，，，，．設(shè)，則，在中，，，，解得，（舍），．16．【答案】（1）（2）【解析】（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意．綜上所述，．17．【答案】（1）36（2）2（3）【解析】（1）由于；，所以這20人的年齡的第74百分位數(shù)為：；（2）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數(shù)為人，第五組的人數(shù)為人，隨機(jī)變量X的取值為12，3，有，，，隨機(jī)變量X的分布列為：X123P有；（3）由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，故各組中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，第二組和第三組分別抽取7人和6人，設(shè)第二組、第三組的社區(qū)居民的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第二組和第三組所有社區(qū)居民的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，因此，這20人中年齡在區(qū)間上的所有人的年齡的方差為．18．【答案】（1）（2）【解析】（1）由點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，由直線的斜率為，可得直線的斜率為，有①，又由線段的中點(diǎn)在直線上，有②，聯(lián)立方程①②解得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，由題意得直線斜率不為零，設(shè)，由，得，即，所以，由，得，即，所以，所以，所以，化簡得，所以或，若，則直線過橢圓的右頂點(diǎn)，不符合題意，所以，所以過定點(diǎn)，因?yàn)椋珼為垂足，所以D在以為直徑的圓上，，的中點(diǎn)為，又，所以．所以的最小值為，即的最小值為．19．