第三節(jié)泰勒公式

第三節(jié)泰勒(Taylor)公式

第三章二、泰勒公式的引入一、多項(xiàng)式的泰勒公式三、泰勒公式四、泰勒公式的應(yīng)用回顧拉格朗日中值公式:或問(wèn)題:能否推廣此公式?泰勒公式!一、多項(xiàng)式的泰勒公式問(wèn)題:說(shuō)明：在x=a(a≠0)鄰近f(x)

具有什么性質(zhì)？說(shuō)明：按x–a

的方冪把f(x)展開:…多項(xiàng)式f(x)的泰勒公式按x–a

的方冪把f(x)展開例1.解:00例2.解:按x的方冪展開,即是按x

－

0展開.牛頓二項(xiàng)展開式是泰勒公式的特例!三、泰勒公式的引入不足:1.

精確度不高;2.

誤差不能估計(jì).方法:滿足:一次多項(xiàng)式誤差：?jiǎn)栴}：能否找到三個(gè)常數(shù)，使得f(x)一次近似式則令x→

a,在上式兩端取極限得誤差：二次多項(xiàng)式：f(x)二次近似式f(x)的n次泰勒多項(xiàng)式(n次近似式):類似地，f(x)的n

階泰勒公式誤差：公式

①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.四、泰勒公式具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),①其中②則當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，泰勒中值定理：*證明：令(稱為余項(xiàng)),則有證畢.說(shuō)明:泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式佩亞諾型余項(xiàng)帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式誤差帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式.則有誤差估計(jì)式帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式:解:例3.解:例4.誤差估計(jì):其誤差由此可求

e的近似值:例5.解:在泰勒公式中取n=2m,則0＝其中（佩亞諾型）誤差:（拉格朗日型）42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近類似可得其中其中其中例6.解:例7.解:例8.

求極限解:五、泰勒公式的應(yīng)用解:例9.例10.解:例11.證：(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立).例12.證:由泰勒公式可得兩式相加,得內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.2.常用函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),思考與練習(xí)1.利用泰勒公式求解2.證:其中兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當(dāng)

時(shí),等式左邊為整數(shù);矛盾!4.

證明e

為無(wú)理數(shù).證:

時(shí),當(dāng)故e

為無(wú)理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林

(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(