第五節(jié)最大值與最小值,極值的應用問題

微積分講義設計制作5/11/2024§4.5最大值與最小值，（一）最大值與最小值

（二）極值應用問題舉例極值的應用問題5/11/2024（一）最大值與最小值第四章中值定理與導數(shù)的應用函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間上必取得最大值與最小值。則函數(shù)在函數(shù)的最大（?。┲蹬c函數(shù)的極大（?。┲凳遣煌母拍?。是區(qū)間上的最大（?。┲?，是指是區(qū)間上所有函數(shù)值中最大（?。┱叨菂^(qū)間上的極大（?。┲?，是指5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用者?？梢娮畲螅ㄐ。┲凳菂^(qū)間上的全局中的所有函數(shù)值中的最大（?。└拍?，是包含在內(nèi)的一個的鄰域個鄰域的局部概念。而極大（小）值則是區(qū)間內(nèi)的一5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用大值與最小值的步驟：（1）求出函數(shù)的全部駐點和不可導的點；（2）計算這些點的函數(shù)值及區(qū)間端點的（3）比較它們的大小，函數(shù)值；一般而言，其中最大（?。┱呒磪^(qū)間上的最大（?。┲?。求連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用內(nèi)可導，而無極小值，則此極大值即最大值。特別的，若在上連續(xù)，在若在內(nèi)有且僅有一個極大值而無極大值，則此極小值即最小值。若在內(nèi)有且僅有一個極小值，5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用

例1求在區(qū)間上的最大值與最小值。

解在§4.4例2中已求出在駐點處取到極小值，在導數(shù)不存在的點處取得極大值。計算區(qū)間端點處的函數(shù)值5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用比較這些值的大?。旱迷谏咸幦〉米钚≈翟诩疤幦〉米畲笾?/11/2024

（二）極值應用問題舉例

第四章中值定理與導數(shù)的應用四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋方盒，問截掉的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？例2將邊長為的一塊正方形鐵皮，方盒的容積為解設小正方形的邊長為，5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用求得令得因為只有點在區(qū)間內(nèi)，所以只需對進行檢驗。當時，當時，也是最大值所以函數(shù)在點處取得極大值，即當截去的小正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的時，所做成的方盒容積最大。5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用

例3要做一個容積為的圓柱形罐頭筒，怎樣設計才能使所用材料最??？

解顯然要材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最小。設罐頭筒的底面半徑為，高為，總表面積為由體積公式有所以5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用得此時高為也是最小值令又因此在點處為極小值，即當罐頭筒的高和底直徑相等時，用料最省。5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用

例4在§1.5的例2中，曾求得一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和與每批產(chǎn)量的函數(shù)關系為其中為年產(chǎn)量，為每批次的生產(chǎn)準備費，為每臺產(chǎn)品的庫存費，問在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)多少臺時，最小？5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用

解因為取得極小值，也是最小值。（舍去）即要使庫存費與生令有所以又因因此當時產(chǎn)準備費之和最小的最優(yōu)批量應為。5/11/2024內(nèi)容小結連續(xù)函數(shù)的最值最值點應在極值點和邊界點上找作業(yè)P19620---31第四章中值定理與導數(shù)的應用應用題可根據(jù)問題的實際意義判別5/11/2024備用題第四章中值定理與導數(shù)的應用1.設函數(shù)試求在上的最大值和

解令得內(nèi)唯一的駐點5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用最大值為也是最大值點。故是極大值點，5/11/2024第四章中值定理與導數(shù)的應用

2.設在內(nèi)的駐點為并求最小值。問為何值時，