第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)98635

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容提要1.定積分的概念；2.定積分的幾何意義;3.定積分的性質(zhì)。教學(xué)要求1.理解定積分的概念；2.掌握定積分的幾何意義;3.掌握定積分的性質(zhì),會利用估值,比較大小。

1.求曲邊梯形的面積一、定積分問題的兩個實例曲邊梯形：它有三條邊是直線段，其中兩條邊互相平行，第三條邊與前兩條垂直叫做底邊，第四條邊是一條曲線弧叫做曲邊.曲邊梯形是一個矩形，abxyo面積=底×高用矩形面積近似取代曲邊梯形面積而現(xiàn)在是一條曲線，所以，不能用初等數(shù)學(xué)的方法解決.曲線上的高度是變化的，顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）abxyoabxyo因此,我們用極限求曲邊梯形面積.具體步驟如下：第一步分割第二步求近似得曲邊梯形面積A的近似值為第三步求和第四步取極限即2.求變速直線運動的路程不能按此計算路程.在很短的一段時間內(nèi)，因此，在時間間隔很短的條件下，可用勻速代替變速.與求曲邊梯形面積的方法一樣，由如下四步求路程.第一步分割第三步求和第四步取極限個分點，內(nèi)任意插入在區(qū)間第二步求近似上的路程上某時刻的速度二、定積分的概念定義作和被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和注意1.：是一個確定的常數(shù).定積分號(4)注意2.對定積分的補充規(guī)定:定理1定理3閉區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)可積.定理2第一類間斷點,注意3.定積分的存在性注意4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部都是可積的.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值abxyoabxyo三.定積分的幾何意義的幾何意義：即解根據(jù)定積分的幾何意義，證明由定積分定義,f(x)=A是常數(shù),積分和式oyxabA例3利用定義計算定積分解例4利用定義計算定積分解oyx1例5利用定積分的幾何意義求下列的定積分(1)(2)(3)(1)解(2)(3)(4)(4)證性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外，即三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)2兩個函數(shù)和（差）的定積分等于各個函數(shù)定積分的和（差），即證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）由性質(zhì)1,2可得定積分的線性性質(zhì)，即補充：不論a,b,c的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3abxyoc假設(shè)證首先，因為定積分存在，而定積分與分法無關(guān)，設(shè)c為一分點。于是[a,b]上的積分，可認為是[a,c],[c,b]上的積分之和，即對上式兩邊取極限即得證性質(zhì)4oyxab如果在區(qū)間[a,b]上則性質(zhì)5證oyxab如果在區(qū)間[a,b]上則證性質(zhì)6證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)7abxyomM則證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)8（定積分中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：底邊，為曲邊的曲邊梯形的面積的一個矩形的面積。例6已知，計算解因為所以解例7由定積分的估值定理得所以有∴又因為例8比較下列各對定積分的大?。航?1)(2)(2)于是練習(xí)解例9由定積分表示如圖中陰影部分的面積解例10小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．2.注意:3．定積分的幾何意義4.定積分的性質(zhì)利用定積分的性質(zhì)(1)估計積分值；(