2020-2021學(xué)年新高考聯(lián)考協(xié)作體高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年新高考聯(lián)考協(xié)作體高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.命題“Vx€（0,+8）,2*>1"的否定是'勺H（O，+8）,2X?<1M

u

B.命題e（0,+oo）,2、>1"的否定是Bx0e（0,+oo）,仆<1"

C.命題“若a>b,則a2>b2n的逆否命題是“若a2<b2,則a<b"

D.命題“若a>b,則a?>b2，>的逆否命題是“若a?>b2,則a>b"

2.哈的虛部為（）

A.iB.-1C.~iD.1

3.某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)4（-2,2b），

B（|,一遮），則（）

A.曲線C可為橢圓也可為雙曲線B.曲線C一定是雙曲線

C.曲線C一定是橢圓D.這樣的曲線C不存在

4.給出以下四個(gè)命題：

①由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程產(chǎn)=bx+Q必過(guò)樣本點(diǎn)的中心叵，為；

②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明擬合的效果越好；

③對(duì)分類變量x與丫，若它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值A(chǔ)越小，則判斷“X與丫有關(guān)系”的把握程度越大;

④在回歸直線方程9=0.2%+2中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量夕平均增加0.2個(gè)單位；

其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

5.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若直線I上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，貝〃〃d.

②若直線I與平面a平行，則i與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行.

③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行.

④若直線，與平面a平行，則/與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).

A.0B.1

C.2D.3

6.如圖，PA1面ABC,乙ACB90°,且PA=AC=BC=a,則異

面直線PB與AC所成的角的正切值等于()

A.2

B.V2

C.V3

D?苧

7.拋擲兩次骰子，兩個(gè)點(diǎn)的和不等于8的概率為()

8.甲工廠八年來(lái)某種產(chǎn)品年產(chǎn)量與時(shí)間(單位：年)的函數(shù)關(guān)系如圖

所示.現(xiàn)有下列四種說(shuō)法：

①前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；

②前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；

③第三年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn)；

④第三年后該產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變.

其中說(shuō)法正確的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)/(x)取得極大值

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(—1,1)上是單調(diào)遞減的

C.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/Q)取得極小值

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(5,6)上是單調(diào)遞增的

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.集合4={1,2,3,4,5}的真子集個(gè)數(shù)為32

B.“函數(shù)〃x)=x+x-i22恒成立”是“x>2”必要條件

C.已知Ofg">0,則函數(shù)/(X)在定義域上單調(diào)遞增

工2rl

w

D.命題“VxeR,7+兀％20"的否定是'勺沏€R,xg+TTX0<0

11.已知橢圓r：]+3=l(a>b>0)的離心率為圣△力BC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓吐，設(shè)它的三

條邊4B,BC,AC的中點(diǎn)分別為D,E,F,且三條邊所在直線的斜率分別向，k2,k3,且七，k2,

心均不為0?。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.a2：b2=2：1

B.直線4B與直線?！?的斜率之積為一2

C.直線BC與直線0E的斜率之積為-3

111

D.若直線OD,OE,OF的斜率之和為1,則丁+丁+丁的值為一2

笈1K-2?3

12.在正方體4BC0-4&口/中，下列直線或平面與平面AC以平行的有()

A.直線B.直線BBiC.平面為DC1D.平面&BC1

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知近=(1,1,—2),BC=(l,-l,z)，加=0—1,%—1).若821_平面48。，則|而|的最小值

為.

14.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為a的半圓，則此圓錐的體積為.

15.給出下列命題:

①拋物線x=—三、2的準(zhǔn)線方程是％=1;

4

(?4專

②若X€R,則；的最小值是2；

J寸+寓

③sinxdx=2；

④若X?N(3,o2)且p(04X43)=0.4,則P(X>6)=0.1.

其中正確的是(填序號(hào)).

16.已知函數(shù)f(X)=(X—2)〃+[磯％-1)2+6(其中￡1€/?)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數(shù)/(%)=(%2+ax—l)e*T,g(x)=(%2+ax)ex—ax-b.

(1)若％=—2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求/'(x)的極小值；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)尸(乃=-40)+93)在(0,+8)上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

18.如圖1,C,。是以4B為直徑的圓上兩點(diǎn)，S.AB=2AD,AC=BC,將△力BC所在的半圓沿直徑

4B折起，使得點(diǎn)C在平面2BD上的射影E在BD上，如圖2.

(1)求證：平面力CDJ■平面BCD；

(2)在線段4B上是否存在點(diǎn)F,使得平面CEF?若存在，求出黑的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖示：已知拋物線螃：/=4譚的焦點(diǎn)為雨，過(guò)點(diǎn)竄作直線修交拋物線。于14、譽(yù)兩點(diǎn)，經(jīng)

過(guò)越、越兩點(diǎn)分別作拋物線。的切線小、%，切線用與鼻相交于點(diǎn)纏.

翎

(2)證明：演鬻±.源考.

20.某科研課題組通過(guò)一款手機(jī)4Pp軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛(ài)好者平均每周的跑步量(簡(jiǎn)稱

“周跑量”)，得到如下的頻數(shù)分布表:

周跑量

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)

(?/周)

人數(shù)100120130180220150603010

(1)補(bǔ)全該市1000名跑步愛(ài)好者周跑量的頻率分布直方圖;

麗

0.048

0.044

0.040

0.036

0.032

0.028><?

:一

0.024蕊U改

?：：＜：＞

0.020.?

■

0.016':二；；：：二

三:;:::綜

0.012?:c:，:充::

0.008

::

:於於梭

0.004皴

送影

O10152025303540455055周網(wǎng)量(kmC?)

(2)根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù))

(3)根據(jù)跑步愛(ài)好者的周跑量，將跑步愛(ài)好者分成以下三類，不同類別的跑者購(gòu)買的裝備的價(jià)格

不一樣，如表:

周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里

類別休閑跑者核心跑者精英跑者

裝備價(jià)格(單位：元)250040004500

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛(ài)好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi)多少元?

21.已知;ICR,函數(shù)f(x)=bix—篝5，其中xC[l,+8).

(I)當(dāng)4=2時(shí)，求f(x)的最小值;

(11)在函數(shù))/=)》的圖象上取點(diǎn)6(弭伍/1)5€/\/*),記線段4P"+1的斜率為％，Sn==+++???+

K1K2

白.對(duì)任意正整數(shù)n,試證明：

Kn

（團(tuán)）Sn＜噌

（團(tuán)）sn＞管2

22.已知橢圓C：的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸為橢圓。的左焦點(diǎn)，7為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.

①證明：平。7分線段PQ(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

②當(dāng)黨最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“VxG(0,+8),2、>1”的否定是6

(O.+oo),2、。±1"所以，4不正確，8正確；

命題的逆否命題，是否定結(jié)果作條件，否定條件作結(jié)論，

所以命題“若a>b,則a?>b2n的逆否命題是“若a?<b2,則a<b"，顯然C、。都不正確.

故選：B.

直接利用全稱命題的否定是特稱命題判斷4、B的正誤；利用逆否命題的關(guān)系判斷C、。的正誤即可.

本題考查命題的否定以及四種命題的逆否關(guān)系，基本知識(shí)的考查.

2.答案：B

解析：解：誓=瑞言=一乂1一。=一1一i的虛部為一L

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共枕復(fù)數(shù)與虛部的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共輾復(fù)數(shù)與虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案:B

解析：解：設(shè)所求圓錐曲線的方程為7n/+九y2=1,

(4m+12n=1,①

根據(jù)已知條件：9「，羨

[-Tn+5n=1,(2)

①—②整理得m=—4n,

(m=1

：.m-n<0或由①②解得[__i.

故選B.

根據(jù)某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，設(shè)所求圓錐曲線的方程

為m/+ny2=i,再將己知點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得出關(guān)于血，n的方程組，求解即可.

本題考查了橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，巧設(shè)方程的技巧，準(zhǔn)確解方程是解決本題的關(guān)鍵.

4.答案：C

解析：

本題以命題的真假判斷為載體考查了線性回歸及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本概念，難度不大，熟練掌握相關(guān)

概念是解答的關(guān)鍵.

①回歸直線一定過(guò)樣本中心(五為；

②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明擬合的效果越好；

③對(duì)分類變量x與丫，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越大，“X與丫有關(guān)系”的把握程度越大.

④根據(jù)回歸系數(shù)合的含義可分析真假，

解：①回歸直線一定過(guò)樣本中心叵,歹），滿足回歸直線方程的要求，正確.

②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明擬合的效果越好，正確：

③對(duì)分類變量x與丫，它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越大，“x與丫有關(guān)系”的把握程度越大,

故不正確；

④在回歸直線方程9=0.2%+2中，當(dāng)解釋變量x卷增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量y平均增加0.2個(gè)單位,

故正確；

故選：C.

5.答案：B

解析：如圖19,

圖19

我們借助長(zhǎng)方體模型，棱4兒所在直線有無(wú)數(shù)點(diǎn)在平面4BC0外，但棱A&所在直線與平面4BC0相

交，所以命題①不正確；

所在直線平行于平面4BCD,顯然不平行于BD,所以命題②不正確；

A[B\"AB,&Bi所在直線平行于平面/BCD,但直線ABU平面/BCD,所以命題③不正確；

，與平面a平行，則I與a無(wú)公共點(diǎn)，1與平面a內(nèi)所有直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，所以命題④正確.

6.答案：B

解析：解：如圖，將此多面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，

因?yàn)?C//BD,所以PB與力C所成角的大小即為此正方體體對(duì)角線PB

與棱BD所成角的大小，

在RtAPBD中,Z.PDB=90°,PD=y/2a>DB=a,

所以tan/DBP=竺=VL

DB

故選：B.

將此多面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，將P8與ZC所成角的大小轉(zhuǎn)化為正方體體對(duì)角線PB與棱BC所成角的大

小，在Rt三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可.

本題考查了空間角的求解，主要考查了異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是利用平行找到異面直線所

成的角，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：

本題考查古典概型的計(jì)算與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)拋擲兩次骰子，兩個(gè)點(diǎn)分別為％、y,所有的(x,y)共有36個(gè)，由于滿足兩個(gè)點(diǎn)的和等于8的(x,y)有

5個(gè)，由此可以求得兩個(gè)點(diǎn)的和等于8的概率，再用1減去此概率，即得所求.

解：設(shè)拋擲兩次骰子，兩個(gè)點(diǎn)分別為x、y,貝1<y<6,x,yE.N,

故所有的(x,y)共有36個(gè).

其中，滿足兩個(gè)點(diǎn)的和等于8的(x,y)有：(2,6)、(6,2)、(3,5)、(5,3)、(4,4),共有5個(gè)，

故拋擲兩次骰子，兩個(gè)點(diǎn)的和等于8的概率為《，

故拋擲兩次骰子，兩個(gè)點(diǎn)的和不等于8的概率為1-盤=登，

oo36

故選B.

8.答案：D

解析：

本題考查了函數(shù)圖象的意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖象的變化快慢進(jìn)行判斷.

解：設(shè)產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系為f(x),由圖可知/(3)-/(2)</(2)—。(1),

.?.前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.故①錯(cuò)誤，②正確.

由圖可知從第四年開始產(chǎn)品年產(chǎn)量不發(fā)生變化且/(4)力0,故③錯(cuò)誤，④正確.

故選：D.

9.答案：BC

解析：解：逐一考查所給的選項(xiàng)：

導(dǎo)函數(shù)在x=3左側(cè)為正值，原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)在x=3右側(cè)為正值，原函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)

x=3時(shí)，函數(shù)/(乃不存在極值，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值為負(fù)值，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)遞減的，選項(xiàng)B正確，

導(dǎo)函數(shù)在x=1左側(cè)為負(fù)值，原函數(shù)單調(diào)遞減，導(dǎo)函數(shù)在x=1右側(cè)為正值，原函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)

x=l時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值，選項(xiàng)C正確，

導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(5,6)上的值先負(fù)后正，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(5,6)上先增后減，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象及其與原函數(shù)的關(guān)系考查原函數(shù)的單調(diào)性和極值即可.

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的極值的關(guān)系等知識(shí),

屬于中等題.

10.答案:BD

解析：解：對(duì)于A：集合4={1,2,3,4,5}的真子集個(gè)數(shù)為25-1=31個(gè)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：“函數(shù)/(x)=x+x-i22恒成立”的充要條件為：x20,由于4={x|x22}UB={%[%2

0}，故“函數(shù)f(x)=X+%T22恒成立”是“X22”必要條件，故B正確；

對(duì)于C：已知>0,則函數(shù)/(%)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

x2~xl

3

對(duì)于D：命題ER,x+TCX>的否定是‘勺％0GR,XQ4-nxQV0"；故￡>正確.

故選：BD.

直接利用子集和真子集的個(gè)數(shù)，充分條件和必要條件，恒成立問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性的判定關(guān)系，命

題的否定的應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：子集和真子集的個(gè)數(shù)，充分條件和必要條件，恒成立問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性的

判定關(guān)系，命題的否定，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：ACD

解析：解：因?yàn)闄E圓的離心率為其由e2=可=1一與得與=工，故4正確；

2a2a2a22

設(shè)4(X1，%),B(x2,y2)>D(x0,y0),則{；；；：=短席+葭=1,.+翁=】,

兩式作差得生學(xué)+吟1=0,

a2b2

即(%「%2)(41+%2)+(%-丫2)(%+白2)=0,所以空學(xué)犯蟲垃=-f,

a2b2(%L%2)(%I+%2)。之

因?yàn)?8的斜率/=?。。的斜率女0°=資=告孑，所以k/=—4=—工，

xxX

l~2OXr+X2a22

1II

所以丁=-2k°D，同理可得丁=-2/COE，丁=-2k°F，故B錯(cuò)誤，C正確；

K]K2K3

111

所以丁+丁+丁=-2(koD+koE+k°F),又直線OD,OE,°F的斜率之和為1,

K\K，2凡3

111

即Aoo+々OE+=1，所以丁+丁+丁=-2,故。正確.

叮K2K3

故選：ACD.

由題意的離心率定值及a,b,c之間的關(guān)系求出a,b的關(guān)系，可判斷A正確，設(shè)A,B的坐標(biāo)，求出

的中點(diǎn)。的坐標(biāo)，代入橢圓的方程作差可得直線的斜率，及。。的斜率，可得直線4B與0D的斜率

之積，同理可得直線BC與0E的斜率之積，判斷HIB,C的真假，求出直線OE,OF,。。的斜率，由

斜率之和為1,可得直線4B,BC,AC的斜率的倒數(shù)之和，判斷出。的真假.

本題考查橢圓的性質(zhì)及真假命題的判斷，直線斜率的求法，屬于中檔題.

12.答案：AD

解析：解：對(duì)于4，由于4B〃DiC,且4BC平面4CDi，可得直線〃平

面4CD1；

對(duì)于8,由于當(dāng)8〃。1。，且n平面AC%=5，可得直線不平行平

面ACDi；

對(duì)于C,由于AiDnADi，4。＜=平面4。6,可得平面不與平面ZCDi

平行;

對(duì)于。，由于48〃。也，C\B"D\A,ArB,QBu平面&BG，可得平面48的〃平面4。名.

故選：AD.

利用線線、線面、面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可得解.

本題考查空間中的線線、線面、面面平行的判定定理的應(yīng)用，是綜合題.

13.答案：V5

解析：解：因?yàn)锽P,平面4BC,

所以前1荏，於1月？，

則有西.里=(x-1)+y+2=0,

、廊BC=(x-l)-y-z=o'

解得y=x-1,2x=z

所以不=~BP-BC=(x-2,y+1,-1-z),

所以|而產(chǎn)=Q-2)2+(y+l)2+(-1-z)2

=(X—2)2+(―X)2+(1—2x)2

=6x2+525,

所以|而|的最小值為小.

利用BP_L平面ABC,轉(zhuǎn)化得到兩個(gè)向量垂直，從而利用坐標(biāo)運(yùn)算得到y(tǒng),x,z之間的關(guān)系，然后再

利用模的坐標(biāo)表示求解最值即可.

本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及了空間向量垂直的額坐標(biāo)表示、空間向量模的表示，解題的

關(guān)鍵是得到x,y,z之間的關(guān)系，屬于中檔題.

6a3

14.答案:7r

24

D

解析：解：???圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為a的半圓，

???圓錐的母線長(zhǎng)為a,

設(shè)圓錐的底面半徑為r,

則2口=yrxa,/AI

JI~~-73

圓錐的高為：Ja2—(-)2=~^af、一—，。

圓錐的體積=5x(q)2X兀x=/，

3224

故答案為：叵包.

24

半徑為a的半圓的弧長(zhǎng)是COT,圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，因而圓錐的底面周長(zhǎng)是COT,

利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算，求出半徑，進(jìn)而可得高，即可求出圓錐的體積.

本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)

對(duì)應(yīng)關(guān)系：(1)圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；(2)圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇

形弧長(zhǎng)，正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

15.答案：①④

■興+專

解析：①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4x,所以其準(zhǔn)線方程是x=1正確；②若X6R,則：二

富：+翦+.1=信+罷+工絲鼠當(dāng)且僅當(dāng)/婢+篝=J,即％2=一1時(shí)取等號(hào)，顯然錯(cuò)誤；

③因?yàn)閥=sinx是奇函數(shù)，所以jsinxdx=0,所以③錯(cuò)誤；④若X?N(3,1J2)且P(0WXW3)=

0.4,則P(X26)=0.1正確.

16.答案:(―8,—e)u(-e,0)

解析：解：由題意得/'(%)=(%-l)e"+Q(X-1)=(%-l)(e*+a),

①當(dāng)a>0或a=e時(shí)，令廣(x)=0=x=1,

令f'(x)>0=Q>1；令((%)V0=aV1；

且f(l)=-e+e=0,

???函數(shù)f(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，(舍).

②當(dāng)aV-e時(shí)，令/'(%)=0=%=1或x=ln(—a)；

令((%)>0=>%<1或%>ln(—a)；令/'(%)<0=>1<%<ln(—a)；

且滿足/(1)=0,滿足有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，成立.

③當(dāng)—e<a<0時(shí)，令/''(%)>0nx<ln(—a)或x>1；

令/(乂)<0=>ln(-a)<x<1；

且滿足/(l)=0，滿足有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，成立.

故答案為(—8,—e)U(-e,0).

對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，令/'(x)=0,分情況解方程并討論當(dāng)a取何值時(shí)滿足有兩個(gè)零點(diǎn)，則可求出答案.

本題考查了對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分情況討論求零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.

17.答案:解：(1)由題可得f(x)=(2%+d)ex-r+(x2+ax-Y)ex-l=[x2+(a+2)x4-a-lje^1

因?yàn)?2)=0,所以a=—1,f(x)—(x2—x—l')ex~1,故/''(x)=(7—x—2)e*T

令/'(x)>0,解得x<-2或x>l,所以/(x)在(一8,-2),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一2,1)上單調(diào)遞

減，

所以“X)極小值為/(I)=(1-1-l)e1T=-1.

(2)函數(shù)F(x)=-ef(x)+g(x)在(0,+8)上總有零點(diǎn)，

即F(x)=ex-ax-b在(0,+8)上總有零點(diǎn).

若a<0,則/(x)=e*-ax-b在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故F(x)在(0,+8)上總有零點(diǎn)的必要條件是尸(0)<0,即b>1.

以下證明：當(dāng)b>1時(shí)，在F(x)=e*-ax—b(0,+8)上總有零點(diǎn).

①若a<0,由于F(0)=1—b<0,尸(_》=ed-a(-今一b=e~?>0.且尸(x)在(0,+8)上連續(xù)，

故尸(x)在(0,-今上必有零點(diǎn)；

②若a>0,F(0)=1-b<0,

易知e*>/在％e(0,+8)上恒成立，取&=a+b>1,

則F(%o)=~(a+b)=ea+b—a(a+b)—b>(a+b)2—a2—ab—b=ab+b(b-1)=b(a+b-

1)>0,

由于F(0)=1-b<0,F(a+6)>0,

故F(x)在(0,a+b)上必有零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(1,+8).

解析：(1)求出導(dǎo)函數(shù)((x)=[x2+(a+2)x+a-判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，

求解函數(shù)的極值即可.

(2)函數(shù)F(x)=-e/(x)+g(x)在(0,+8)上總有零點(diǎn)，若a<0,推出F(x)在(0,+8)上總有零點(diǎn)的必

要條件是F(0)<0,即b>l.然后證明：當(dāng)匕>1時(shí)，在F(x)=e*-ax-匕(0,+8)上總有零點(diǎn).①若

a<0,②若a20,說(shuō)明尸(x)在(0,a+b)上必有零點(diǎn).求解實(shí)數(shù)b的取值范圍是(1,+8).

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，

考查分類討論思想的應(yīng)用，是難題.

18.答案:(1)證明：:48是圓的直徑,

AD1BD.

???CE-L平面ABD,ADu平面ABC,

CE1AD.

又?；CECBD=E,BD,CEu平面4BD,

AD_L平面BC。.

ADu平面4CD,

二平面AC"1平面BCD.

(2)解：連接4E,CE_L平面ABD,AE,BEtz^ABD,

CE1AE,CE1BE.

在RtAACE和Rt/iBCE中，由AC=BC得4E=BE,

在Rt△力BD中，由4B=24D,得NABD=30°,

???AAED=/.ABE+ABAE=60°,

.,.在RtzMDE中，DE=^AE,

E是BD的三等分點(diǎn)，且CE=\EB.

在線段AB上存在點(diǎn)F,使得AF=^FB,則有FE〃/ID.

vFEc-TffiCEF,40,平面CEF,

AD〃平面CEF.

故在線段上存在點(diǎn)F,使得4D〃平面CEF,此時(shí)受="

rDZ

解析：(1)要證平面ACD_L平面BCD,只要證平面力CD經(jīng)過(guò)平面BCD的一條垂線2D即可，由。是以

為直徑的圓上的點(diǎn)得到AD由CE垂直于底面得到EC垂直于4D,利用線面垂直的判定得到證

明；

（2）在線段48上存在點(diǎn)尸，且FE〃/W.則平面CEF,利用平面幾何的性質(zhì)求得DE=即可

得出結(jié)論.

本題考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判斷，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能

力，解答的關(guān)鍵是明確折疊問(wèn)題中的折疊前后的變量和不變量，是中檔題.

19.答案：（1）蹲|=菅；（2）詳見(jiàn)解析.

解析：試題分析：（1）先利用拋物線的定義求出點(diǎn)域的坐標(biāo)，然后利用直線F過(guò)點(diǎn),就和點(diǎn)徽求出直線

今的方程，然后將直線下和拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與拋物線的定義求出弦箍的長(zhǎng)；（2）先

求出曲線4在點(diǎn),就和點(diǎn)竣的切線方程，并求出兩切線的交點(diǎn)翻的坐標(biāo)，驗(yàn)證:兩:數(shù)=般進(jìn)而得

到蟠?'，■噱.

試題解析：（1）拋物線。的方程為/=q的則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為事'鯽鵬，

設(shè)點(diǎn)沖猛喊，豌“科卷？，則有展國(guó)i=A?敕=2,

由于點(diǎn)星在第二象限，則礴/:孰將瞰=工代入請(qǐng)=用型得，甯=工，解得磁=一:1,

-現(xiàn)1

F3,''i望44

故點(diǎn),速的坐標(biāo)為j-九/I,故直線F的方程為解=之片書1變形得需=［即

也硯聲4SS

代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得黑/-4工逑外可=廁，由韋達(dá)定理得嬲也唱

（2）設(shè)直線3?的方程為解=/：普工將展=觸％4代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得-4te-4=0，

-4^：MK-MV普怎沏筋對(duì)任意取白盛恒成立，

由韋達(dá)定理得減注,狗=據(jù)，/部&=-4，

將拋物線的方程化為函數(shù)解析式得，津=紀(jì)，則射'=三',

故曲線◎在點(diǎn)盆處的切線方程為承-碉國(guó)我一而3,即理-￡=鱉一或，即竄=遁—直①,

同理可知,

卜=5=躺_

聯(lián)立①②得,J方，故點(diǎn)翻的坐標(biāo)為,二菽=魄亂-養(yǎng)-1徇團(tuán)=i隹k-蜀，

卜="

而言=瓶“臉-鼻￡螳=［聞詢l可-￡小蝸?lái)?xiàng)I=(?同-礴陽(yáng)1-融成，

二,逸舔-.J?=MT，4-方』城竭-融三，=窩/皖_-讖“g同一琉卜@，:￡■'_!_,斯?

考點(diǎn)：1.拋物線的定義；2.焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算；3.切線方程；4.平面向量的數(shù)量積

(2)由頻率分布直方圖得：

[10,25)的頻率為：(0.02+0.024+0.026)X5=0.35,

[25,30)的頻率為0.036x5=0.18,

設(shè)樣本的中位數(shù)為X,

則0.35+(x-25)x0.036=0.5,解得x?29.2.

二樣本的中位數(shù)約為29.2.

(3)依題意知休閑跑者共有：(5x0.02+5x0.024)x1000=220人，

核心跑者共有：(5x0.026+5x0.036+5X0.044+5x0.030)X1000=680人,

精英跑者共有：1000-220-680=100人，

.??估計(jì)該市每位跑步愛(ài)好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi):

就(220x2500+680x4000+100x4500)=3720(元).

解析：(1)由頻數(shù)分布表能補(bǔ)全該市1000名跑步愛(ài)好者周跑量的頻率分布直方圖.

(2)由頻率分布直方圖能求出樣本的中位數(shù).

(3)分別激出休閑跑者、核心跑者、精英跑者的人數(shù)，由此能估計(jì)該市每位跑步愛(ài)好者購(gòu)買裝備平均

需要花費(fèi)多少錢.

本題考查頻率分布直方圖的作法，考查樣本的中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

21.答案：解：(1)2=2時(shí)，/。)=仇》一筆三。21),

求導(dǎo)可得，(x)=--23+；)二誓-1)=光玲>0...(3分)

所以，f⑶在(1,+8)單調(diào)遞增,故/(%)的最小值是/(1)=0....(5分)

(口)依題意，3=必喏詈=111(1+；)....(6分)

(1)由(1)可知，若取4=2,則當(dāng)久>1時(shí)f(x)>0,即

于是ln(l+i)>里辛3=六，即知2<等….(8分)

n，1+-+12n+lk2/

nn

所以Sn=X陶看<￡匕等=等.-(9分)

(ii)取4=3,則/(x)