第19講等腰三角形（完整版）2

第19講等腰三角形數(shù)學(xué)1．(2017·麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是____________．2．(2017·臺(tái)州)如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是()A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE100°C3．(2017·河池)已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【解析】設(shè)BD＝x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定義得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．解：設(shè)BD＝x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB于點(diǎn)G，∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12－2x，∴CE＝2CF＝24－4x，∴AE＝12－CE＝4x－12，∴AD＝2AE＝8x－24，∵AD＋BD＝AB，∴x＋8x－24＝12，∴x＝4，∴AD＝81．(2018·預(yù)測(cè))已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是_________．【解析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長(zhǎng)度是4，底邊長(zhǎng)2，即可求得周長(zhǎng)．103．(原創(chuàng)題)如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC＝40°，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是()A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°D【解析】點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連結(jié)DO.∵點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)＝∠DOB＝2∠BCD，∵當(dāng)射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí)，∠BCD＝40°或70°，∴點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)＝∠DOB＝2∠BCD＝80°或140°，故選D.4．(2018·預(yù)測(cè))如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，點(diǎn)D在AC上，DC＝4cm，將線段DC沿BC方向平移7cm得到線段EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在AB，BC上，則△EBF的周長(zhǎng)是__________

cm.【解析】∵CD沿CB平移7cm至EF，∴EF∥CD，CF＝7，∴BF＝BC－CF＝5，EF＝CD＝4，∠EFB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴EB＝EF＝4，∴C△EBF＝EB＋EF＋BF＝4＋4＋5＝13.135．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，若設(shè)腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是___________________．【解析】等腰三角形周長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為x，則2x＞5且2x＜10，即2.5＜x＜5.2.5＜x＜56．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D.求證：AD＝BC.【解析】由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，可求出∠ABC＝∠C＝∠BDC.再據(jù)等角對(duì)等邊及等量代換即可求解．7．如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD＝BC.(1)如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連結(jié)DC，DF，CF，判斷△CDF的形狀并證明；(2)如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE＝BD，直線AE，CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)，即可判斷三角形的形狀；(2)作AF⊥AB于A，使AF＝BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得得出∠APD度數(shù)．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分線，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)在圖中找出與△ABD全等的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)求證：BD＝2EC.解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF＝∠BEC，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠FBE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△FBE≌△CBE(ASA)，∴CF＝2EC，∴BD＝2EC9．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.(1)寫出圖中所有的等腰三角形，不需證明；(2)請(qǐng)你判斷AD與BE是否垂直，并說明理由；(3)如果BC＝12，求AB＋AE的長(zhǎng)．解：(1)△ABD，△EAD，△CDE，△ABC

(2)∵∠BAE＝∠BDE，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，AB＝DB，又∵∠ABE＝∠DBE，∴AD⊥BE

(3)∵∠C＝∠DEC＝45°，∴CD＝DE，∴AE＝DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝1210．(2018·預(yù)測(cè))如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四邊形APBQ的面積．【解析】連結(jié)PQ，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ＝AP＝6，證明△APC≌△AQB得到PC＝QB＝10，說明△PBQ為直角三角形后，利用S四邊形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ求得結(jié)果．11．如圖，以邊長(zhǎng)為20cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn)，在各邊上分別截取4cm長(zhǎng)的六條線段，過截得的六個(gè)端點(diǎn)作所在邊的垂線，形成三個(gè)有兩個(gè)直角的四邊形．把它們沿圖中虛線剪掉，用剩下的紙板折成一個(gè)底為正三角形的無蓋柱形盒子，求它的容積．12．如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE，連結(jié)BE，CD交于點(diǎn)F.(1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：過點(diǎn)A，F(xiàn)的直線垂直平分線段BC.【解析】(1)證得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得結(jié)論；(2)利用垂直平分線的性質(zhì)即可證得結(jié)論．解：(1)∠ABE＝∠ACD，理由：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴點(diǎn)A，F(xiàn)均在線段BC的垂直平分線上，即直線AF垂直平分線段BC13．直線CP是經(jīng)過等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C，并且在三角形的外側(cè)所作的直線，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連結(jié)BE，CE，其中BE交直線CP于點(diǎn)F.(1)若∠PCA＝25°，求∠CBF的度數(shù)；(2)連結(jié)AF，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)M，請(qǐng)判斷△AFM的形狀；(3)求證：EF2＋BF2＝2BC2.解：(1)由題意可知直線CP是線段AE的中垂線，∵∠PCA＝25°，∴∠PCE＝25°，∴∠BCE＝140°，∵CA＝CB，∴CE＝CB，∴∠CBF＝20°(2)△AFM是直角三角形．∵直線CP是線段AE的中垂線，∴FA＝FE，CE＝CA，CF＝CF，∴△ECF≌△ACF，∴∠CEM＝∠CAF，∠CEM＝∠