特色題型專練07 最值問題-圓（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之最值問題——圓題型一、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑1．如圖，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，可得四邊形是正方形，由得，則可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，從而求得路徑的長(zhǎng)．【詳解】解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，如圖：則，且，，，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴四邊形為正方形，∴，，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)，∴點(diǎn)的路徑為以為直徑的半圓，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，的半徑為4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線，P為垂足，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，根據(jù)，得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與相切時(shí)，得到的運(yùn)動(dòng)軌跡為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，，連接，∵，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為以與相切時(shí)，與的兩個(gè)交點(diǎn)所夾的，如圖：當(dāng)與相切時(shí)，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為，∴的長(zhǎng)度為：；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，解直角三角形，圓周角定理，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．3．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】作的外接圓，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明點(diǎn)在以為弦的圓上，確定圓心和半徑利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解∶如圖，作的外接圓，連接，四邊形是菱形，，都是等邊三角形，，，，點(diǎn)在以為弦的圓上，為的外接圓弧所對(duì)的圓心角為度，，過點(diǎn)作于根據(jù)垂徑定理,得在在,,即,，故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．4．如圖，在扇形中，，，是弧上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，，分別平分、，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)、分別平分、，求出，連接，證明，得到，得到點(diǎn)路徑為以為弦，所對(duì)圓心角為的圓弧，構(gòu)造，求出，，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，，，，分別平分、，，連接，，，，，，點(diǎn)的路徑為以為弦，所對(duì)圓心角為的圓弧的一部分，過點(diǎn)、、作圓，作圓內(nèi)接四邊形，則，，，，，當(dāng)重合時(shí)，則，，則是等邊三角形點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題根據(jù)題意確定點(diǎn)所經(jīng)過的路徑，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求弧長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為定邊對(duì)定角問題是解題的關(guān)鍵．題型二、將軍飲馬1．如圖，已知的直徑的度數(shù)為，它的另一邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握?qǐng)A周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則，，由，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的值最小，由點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，可求，則，由勾股定理求，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的值最小，∵點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，由勾股定理得，，故選：B．2．如圖，點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為1，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．無法計(jì)算【答案】B【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，對(duì)稱的性質(zhì)；作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，連接，當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，最小，利用勾股定理即可求得最小值．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，連接，則，；∵點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，，∴；∵，∴當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，最小，最小值為線段的長(zhǎng)；在中，，由勾股定理得：，即的最小值為；故選：B．3．如圖，的半徑是8，是的直徑，M為上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為．【答案】16【分析】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂徑定理．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)為的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得，然后求出為直徑，從而得解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)為的最小值時(shí)的位置，由垂徑定理，，∴，∵，為直徑，∴為直徑．則．故答案為：16．4．如圖，在中，直徑，位于點(diǎn)兩側(cè)且垂直于直徑的兩條弦長(zhǎng)分別為，，若點(diǎn)為直徑上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理可得，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，的長(zhǎng)度即為所求，在中應(yīng)用勾股定理，即可求解，本題考查了垂徑定理，兩點(diǎn)之間線段最短，已知弦長(zhǎng)半徑求弦心距，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：找到的等長(zhǎng)線段．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，，是直徑，垂直平分弦，，的最小值，弦心距，弦心距，，，，故答案為：．題型三、兩動(dòng)一定1．如圖，在正方形中，，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，∵，∴，∴，∴，故的長(zhǎng)度最小值為，故選A．2．如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑畫圓，是上一動(dòng)點(diǎn)，是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】本題考查圓外動(dòng)點(diǎn)最小距離問題，勾股定理及軸對(duì)稱最小距離問題，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交圓于一點(diǎn)即為最小距離和的點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交圓于一點(diǎn)即為最小距離和的點(diǎn)，如圖所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：，故選：C．3．如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)（不包括邊界），且，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了正多邊形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)．取中點(diǎn)O，中點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)T，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，從而得出當(dāng)共線時(shí)，的最小值為，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，證明，為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)O，中點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)T，

，∵正六邊形關(guān)于直線對(duì)稱，∴，也關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∵，O為中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)共線時(shí)，，∴的最小值為，∵正六邊形的邊長(zhǎng)為2，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，O為中點(diǎn)，Q為中點(diǎn)，∴，，∴，∴是等邊三角形，

∴，∴，∴的最小值為2．故答案為：2．4．如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為6的正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是.

【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段和最小原理，圓的最值性質(zhì)．延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，則的最小值是，根據(jù)用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，設(shè)半圓的圓心為點(diǎn)O，連接交于點(diǎn)M，交半圓于點(diǎn)N，∵E是邊長(zhǎng)為6的正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，過點(diǎn)O作于H，

∵邊長(zhǎng)為6的正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，最小值是，且．故答案為：．題型四、折疊圓1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F，連接B'D，則B'D的最小值是（）A．8 B．12 C． D．【答案】D【分析】由折疊可得，BE=B'E=AE，點(diǎn)B′在以E為圓心EA為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)D、B′、E共線時(shí)，B′D的長(zhǎng)度最?。鶕?jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．【詳解】解：如圖，B′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心EA為半徑的圓弧，∴當(dāng)B′點(diǎn)落在DE上時(shí)，B′D取得最小值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB＝8，∴AE＝EB′＝4，∵AD＝BC＝12，∴DE＝＝4，∴DB′＝DE﹣B'E＝4﹣4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，關(guān)鍵是抓住對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．2．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，則的面積最小值為（

）A．3 B．6 C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則過點(diǎn)F作FD⊥AB于D，F(xiàn)D與⊙F的交點(diǎn)為P，則此時(shí)△APB的面積最小，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求出此時(shí)AB，PD的長(zhǎng)即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，F(xiàn)P=FC=2，∴在折疊的過程中，F(xiàn)P的長(zhǎng)度不變?yōu)?，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則過點(diǎn)F作FD⊥AB于D，F(xiàn)D與⊙F的交點(diǎn)為P，則此時(shí)△APB的面積最?。赗t△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB=，∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°，∴△ADF∽△ACB，∴，∴，∴DF=3.2．∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2，∴此時(shí)△APB的面積=×AB×DP=×10×1.2=6．即△APB面積的最小值為6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得出面積最小時(shí)的點(diǎn)P的位置．3．如圖，正方形紙片的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一定點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段（除點(diǎn)A外）上任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，把沿折疊，點(diǎn)A落在處，連接，則的最小值是．

【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，作出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，交于點(diǎn)M，根據(jù)，判定三點(diǎn)都在以B為圓心，以為半徑的圓上弧上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最大值，是定值，此時(shí)取得最小值，解答即可．【詳解】作出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，交于點(diǎn)M，

∵，∴三點(diǎn)都在以B為圓心，以為半徑的圓上弧上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最大值，∵是定值，∴此時(shí)取得最小值，∵正方形紙片的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一定點(diǎn)，，∴，，解得，∴，∵點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，∴，設(shè)與的交點(diǎn)為N，根據(jù)題意，得，，∴，解得，∴，∴，故答案為：．4．如圖，在矩形中，，，P為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．【答案】/0.75【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，根據(jù)折疊可得出，則在以B為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)B、、D三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，然后在中利用正切的定義求解即可．【詳解】解：連接，∵折疊，∴，∴在以B為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，∴當(dāng)B、、D三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，∴．故答案為：．題型五、直角圓1．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為(

)A．3 B． C． D．1【答案】B【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的基本性質(zhì)，圓周角定理以及勾股定理連接，如圖，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理，由為直徑得到，接著由得到點(diǎn)在以為直徑的上，于是當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，最小，如圖，在中利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的最小值【詳解】，，，，，點(diǎn)在以為直徑的上，連接，，在中，，，，由于，是定值，點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，如圖2，，即線段長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．2．如圖，在中，，D是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題．根據(jù)，推出，得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)，求出最小值即可．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，連接，，則：∵，∴，∴，∴，∴的最小值為2．故選A．3．如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，，是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，的最小值是．【答案】【分析】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上最小距離問題，勾股定理，圓周角定理，根據(jù)得到點(diǎn)在為直徑的圓上，連接圓心與點(diǎn)交于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴點(diǎn)在為直徑的圓上，∴連接圓心與點(diǎn)交于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，如圖所示，∵是半圓的直徑，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，矩形中，AB=2，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接BP，并過點(diǎn)C作CHBP，垂足為H．以下結(jié)論：①；②AH的最小值為；③在運(yùn)動(dòng)過程中，BP掃過的面積等于；④在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，其中正確的有（填寫序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】由四邊形是矩形，，得，則，即可證明，可判斷①正確；取的中點(diǎn)，連接，，可求得，由勾股定理求得，因?yàn)椋?，則，即可求得的最小值是，可判斷②正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則與矩形的對(duì)角線重合，可求得掃過的面積為，可判斷③正確；可求得，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，故①正確；如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②正確；如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為以的中點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為的一段圓弧，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則為與矩形的對(duì)角線重合，∴掃過的面積為，故③正確；∵由勾股定理得，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理的應(yīng)用、三角形的面積公式、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．題型六、定角定長(zhǎng)1．如圖，是邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，先求出，從而證明點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上，從而得到，從而得到，得出點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接、，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)Q，連接，則，∴，∴點(diǎn)P在上，，∴．故選：D．2．如圖，等邊邊長(zhǎng)為，E、F分別是邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且．分別連接，交于P點(diǎn)，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，N為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和直角三角形的性質(zhì)．以為邊在外作等邊，取的外心為，求得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵等邊邊長(zhǎng)為，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，以為邊在外作等邊，取的外心為，連接，∵，∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，如圖，∵，，，∴，，∴，∵是的外心，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，由勾股定理得，在中，，∴，∴的最小值為：，故選：B．3．如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．（）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，．（）的最小值為．【答案】【分析】（）如圖，在的垂直平分線上取點(diǎn)，使得，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點(diǎn)，均有，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，過點(diǎn)作于，解直角三角形求出，即可求解；（）連接，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，過點(diǎn)作于，解直角三角形求出，，進(jìn)而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意，準(zhǔn)確找到點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）如圖，在的垂直平分線上取點(diǎn)，使得，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點(diǎn)，均有，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則，∴四邊形為矩形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（）連接，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，過點(diǎn)作于，則，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，已知以為直徑的，A為弧中點(diǎn)，P為弧上任意一點(diǎn)，交于D，連，若，則的最小值為．【答案】/【分析】以為斜邊作等腰直角三角形，連接、，圓周角定理，易得，為等腰直角三角形，得到，進(jìn)而得到點(diǎn)D在點(diǎn)為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值的確定方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，連接、，∵以為直徑的，A為弧中點(diǎn)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D在點(diǎn)為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)，在等腰直角中，，在中，，∴，∵∴當(dāng)C、D、三點(diǎn)共線時(shí)，CD取的最小值，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用一箭穿心，進(jìn)行求解．題型七、切線與勾股定理1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，，的半徑為2（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)的最小值為（）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意連結(jié)、OQ，當(dāng)時(shí)，線段最短，即線段最短，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如答圖，連結(jié)、OQ．

是的切線，，，當(dāng)時(shí)，，線段最短，即線段最短．，，，，，，．故選：D．2．如圖，在中，，的半徑為1，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先連接根據(jù)勾股定理知可得當(dāng)時(shí)，即線段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)時(shí)，線段最短是關(guān)鍵．【詳解】解：連接如圖：∵是的切線，根據(jù)勾股定理知∴當(dāng)時(shí)，線段最短，∵在中，故選：C．3．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，的半徑為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，切于點(diǎn)，則最小值是．【答案】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)進(jìn)行分析．連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得，要使最小，只需最小即可，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)軸時(shí)，取最小值，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得．要使最小，只需最小，則根據(jù)垂線段最短，當(dāng)軸于時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，在中，，∴，則最小值是．故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)，的直線上，與相切于點(diǎn)Q，則切線長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、勾股定理及圖形與坐標(biāo)，熟練掌握切線的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；連接，由切線的性質(zhì)可知，要使的值為最小，則需滿足為最小值即可，然后根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可知當(dāng)時(shí)為最小值，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵與相切于點(diǎn)Q，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，且，要使的值為最小，則需滿足為最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可知當(dāng)時(shí)為最小值，∴，∴，∴的最小值為；故答案為．題型八、中位線與瓜豆原理1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，半徑為5，P為上任意一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．如圖，連接，取的中點(diǎn)H，連接，利用三角形的中位線定理可得，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)H，連接，．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，，，，，的最小值．故選B．2．拋物線與軸交于兩點(diǎn)（在左側(cè)），其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則線段的最大值與最小值的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查求線段最大值，最小值的問題，關(guān)鍵是把求的最大值，最小值轉(zhuǎn)化成求的最大值，最小值，由三角形中位線定理，把求的最大值，最小值轉(zhuǎn)化成求的最大值，最小值，連接交圓于，延長(zhǎng)交圓于，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，∵拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∵是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)取最大值，最小值時(shí)，取得最大值，最小值，連接交圓于，延長(zhǎng)交圓于，當(dāng)與重合時(shí)，長(zhǎng)最小，當(dāng)與重合時(shí)，長(zhǎng)最大，拋物線，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，∴，∵的半徑是∴長(zhǎng)的最大值是，最小值是，∴的最大值是，最小值是，∴線段的最大值與最小值的比值是，故選：D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作，交x軸于點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)F為中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】如圖所示，連接，取中點(diǎn)H，連接，取中點(diǎn)G，連接，由矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，，證明，則，再證明為的中位線，得到，則點(diǎn)F在以點(diǎn)G為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F在上時(shí)，有最小值，利用勾股定理得到，則．【詳解】解；如圖所示，連接，取中點(diǎn)H，連接，取中點(diǎn)G，連接，∵四邊形為矩形，，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)G為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F在上時(shí)，有最小值，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理等等，正確作出輔助線推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，、，以點(diǎn)為圓心、2為半徑的上有一動(dòng)點(diǎn)．連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．（2）如圖②，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點(diǎn)C在以定點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，的值最小，求出的長(zhǎng)，即得的最小值；（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點(diǎn)M在以定點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，求出的長(zhǎng)，即得的最大值．【詳解】（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，

為的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)C在以定點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，，，所以當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，的值最小，最小值為；故答案為：．（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，

為的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)M在以定點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，，，所以當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形與坐標(biāo)，圓的定義，三角形中位線定理，求圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．題型九、阿氏圓1．如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BP，取BE的中點(diǎn)G，連接PG，通過兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，證明，得到，則，當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，求出DG的長(zhǎng)得到最小值．【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點(diǎn)G，連接PG，∵，，∴，∵G是BE的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，則，當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即DG長(zhǎng)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形和圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)換成，再根據(jù)三點(diǎn)共線求出最小值．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由FB聯(lián)想到給FB構(gòu)造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC補(bǔ)成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，故GF+FB＝GF+FH，易得當(dāng)G、F、H成一直線時(shí)，GF+FB最短．又由于點(diǎn)G為動(dòng)點(diǎn)，易證點(diǎn)G在以AC為直徑的圓上，求點(diǎn)G到PB的最短距離即當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O到BP的垂線段上時(shí)，GQ的長(zhǎng)度．【詳解】延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使CP＝AC，連接BP，過點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點(diǎn)G∴∠AGC＝90°∵O為AC中點(diǎn)∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝

∴OQ＝∴GH最小值為故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°直角三角形性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離，圓上點(diǎn)與直線距離，最短路徑．解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，GH最小，進(jìn)而聯(lián)想到找出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑再計(jì)算．3．已知：等腰中，，，是上一點(diǎn)，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連、，如圖，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．設(shè)半圓與、的切點(diǎn)為、，取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)已知條件證明，得，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求解．【詳解】解：設(shè)半圓與、的切點(diǎn)為、，連接、、、，則，，，所以平分，，，，，，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，在和中，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值,最小值為．故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，點(diǎn)P在第一象限，且，則的最小值為．

【答案】【分析】取一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，與交于點(diǎn)F，連接，首先利用四點(diǎn)共圓證明，再利用相似三角形的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求出的最小值，即可得．【詳解】解：如圖所示，取一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，與交于點(diǎn)F，連接，

∵、，，∴，，以O(shè)為圓心，為半徑作，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)Q，連接，∵，，∴，∴A，P，B，Q四點(diǎn)共圓，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，∵，，∴∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∵，∴∵，即,∴的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．題型十、相切最大1．如圖，直線與以線段為直徑的圓相切于點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題解析：連接BC，∵直線l與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)C，∴∠ACB=90°，當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，則P和C重合，∴∠APB=90°，∵AB=6，AC=3，由勾股定理得：BP=BC=.故選D．2．如圖（4）所示，直線與線段為直徑的圓相切于點(diǎn)，并交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，點(diǎn)在切線上移動(dòng)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，則的度數(shù)為（

）A．° B．°C．° D．°【答案】B【詳解】解：連接BD，∵直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=90°，當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，則P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=，∴∠ABP=30°，∴當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，∠ABP的度數(shù)為30°．故選B．3．如圖,AB是⊙O的直徑,AB=2，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，，點(diǎn)E在切線CD上,則當(dāng)∠AEB最大時(shí),AE=．【答案】30°．【詳解】試題解析：解：連接BD，AP，∵直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=90°，當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，則P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBA=，∴∠ABP=30°，∴當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，∠ABP的度數(shù)為30°．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．4．如圖，半徑為1的與直線相切于點(diǎn)A，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，則的最大值是．【答案】/【分析】在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，則．當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：由圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)是左半圓上的動(dòng)點(diǎn)．如圖，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，則．當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．，，，，∴為等腰直角三角形，∴，，連接，則．∴為等腰直角三角形，∴，，，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于線段和的最值問題，主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理等，能正確作出輔助線，將所求最大值轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)的最大值是解題的關(guān)鍵．題型十一、其它最值1．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段DE的最小值為（）A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2【答案】B【分析】根據(jù)PD⊥AC，PE⊥AB可以確定A，D，P，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定∠BAC=60°，進(jìn)而確定當(dāng)AP⊥BC時(shí)，線段DE取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定∠ADE=45°，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可＝，設(shè)AE=2x，根據(jù)等角對(duì)等邊和勾股定理表示出AB和AP，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出AD，最后代入比例式中計(jì)算即可．【詳解】解：如下圖所示，以AP為直徑作，連接OD，過D作DM⊥AP于M．∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四點(diǎn)共圓，且直徑為AP．∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．∴DE是中60°圓周角所對(duì)的弦．∴當(dāng)直徑最小時(shí)，DE取得最小值．∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，DE取得最小值．∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．∵∠ADE和∠APE都是所對(duì)的圓周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴＝．設(shè)AE＝2x，則PE＝2x．∴．∴OA＝OD＝x，．∴．∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝1