浙江省杭州市向陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

浙江省杭州市向陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（2009湖南卷文）如圖1，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則A．B．C．D．

圖1參考答案：解析:得，故選A.

或.2.已知等差數(shù)列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，則數(shù)列{bn}的前5項和等于（）A．30 B．45 C．90 D．186參考答案：C【考點】等差數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，解出a1，d，可得an，進而得到bn，然后利用前n項和公式求解即可．【解答】解：設(shè){an}的公差為d，首項為a1，由題意得，解得；∴an=3n，∴bn=a2n=6n，且b1=6，公差為6，∴S5=5×6+=90．故選C．3.一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是的圓，則這個幾何體的體積是（）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.經(jīng)過圓的圓心且斜率為1的直線方程為

（

）

A．

B．

C.

D．參考答案：A5.設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝（）A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx參考答案：答案：C6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則的值為

(A)

(B)

(C)

(D)(7)參考答案：7.設(shè)向量,,則下列結(jié)論中正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．與垂直參考答案：D8.已知平面向量滿足的夾角為60°，若則實數(shù)的值為（

）A.1

B.

C.2

D.3參考答案：D因為所以，即，所以，解得，選D.9.已知，滿足，點為線段上一動點，若最小值為－3，則的面積（

）A．9

B．

C．18

D．參考答案：D設(shè)則所以，所以從而的面積，選D.

10.下列區(qū)間中，函數(shù)，在其上為增函數(shù)的是（A）

(B)(C)

(D)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角α的頂點在坐原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為A，則=

（用數(shù)值表示）參考答案：12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，，點E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小是__________，若，則AE=__________．參考答案：90°

1長方體ABCD﹣A1B1C1D1中以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又，，點在棱上移動則D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），設(shè)E（1，m，0），0≤m≤2，則=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴?=﹣1+0+1=0，∴直線D1E與A1D所成角的大小是90°．∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案為900，1．13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則

.參考答案：4514.已知數(shù)列{an}滿足，，則______．參考答案：10000【分析】化簡遞推關(guān)系式，得，可知數(shù)列是等比數(shù)列，求解即可．【詳解】解：數(shù)列滿足，，可得，可得，數(shù)列是等比數(shù)列，則.故答案為：10000．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查計算能力．15.一個棱長為5的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體棱長的最大值為

.參考答案：16.若三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，適當(dāng)交換這三個數(shù)的位置后變成一個等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為

（寫出一個即可）．參考答案：17.已知向量則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑.（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）【法一】∵的直角坐標(biāo)為，∴圓的直角坐標(biāo)方程為.化為極坐標(biāo)方程是.【法二】設(shè)圓上任意一點，則如圖可得，.化簡得.．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）將代入圓的直角坐標(biāo)方程，得即有.故，∵，∴，即弦長的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分略19.（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判斷函數(shù)F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零點個數(shù)．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用兩函數(shù)在x=0處有相同的切線，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，求導(dǎo)，確定F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣ln2）上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由題意，兩函數(shù)在x=0處有相同的切線．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①當(dāng)﹣3＜t＜﹣2時，f（x）在[t，﹣2]單調(diào)遞減，[﹣2，t+1]單調(diào)遞增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當(dāng)t≥﹣2時，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由題意F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x求導(dǎo)得F'（x）=4ex（x+1）+4ex﹣2x﹣4=2（x+2）（2ex﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由F'（x）＞0得x＞﹣ln2或x＜﹣2，由F'（x）＜0得﹣2＜x＜﹣ln2∴F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣ln2）上單調(diào)遞減﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵F（﹣4）=4e﹣4×（﹣4+1）﹣16+16=﹣12e﹣4＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故函數(shù)F（x）=2f（x）﹣g（x）+2只有一個零點．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.（理）正數(shù)列的前項和滿足：，常數(shù)（1）求證：是一個定值；（2）若數(shù)列是一個周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期；（3）若數(shù)列是一個有理數(shù)等差數(shù)列，求．參考答案：（理）證明：（1）

（1）

（2）：

（3）

（4）

……………4分（2）計算

……………6分根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，寫出數(shù)列的前幾項：，，，，，。。。。當(dāng)時，奇數(shù)項和偶數(shù)項都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列

……………8分所以時，數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項：，，，，，。。。。所以當(dāng)且時，該數(shù)列的周期是2，

……………9分當(dāng)時，該數(shù)列的周期是1，

……………10分（3）因為數(shù)列是一個有理等差數(shù)列，所以

化簡，是有理數(shù)

……………12分設(shè),是一個完全平方數(shù)，設(shè)為，均是非負整數(shù)時，

……………14分時=可以分解成8組，其中只有符合要求，

……………16分此時

……………18分或者，

……………12分等差數(shù)列的前幾項：，，，。。。。

……………14分因為數(shù)列是一個有理等差數(shù)列是一個自然數(shù)，

……………16分此時

……………18分如果沒有理由，猜想：，解答

得2分

21.近年來，某市為了促進生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤額概率；（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a＞0，=600。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時，寫出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值。（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）參考答案：解：（?）由題意可知：。（?）由題意可知：。（?）由題意可知：，因此有當(dāng)，，時，有．22.(本小題滿分13分)如圖，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN∥平面CDE；（II）求二面角E–BC-F的正弦值；（III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.參考答案：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識．考查用空間向量解決立體幾何問題的方法．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力．滿分13分．依題意，可以建立以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）證明：依題意=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因為直線MN平面CD