常用邏輯用語2024年高考數(shù)專項復習

常用邏輯用語2024年高考數(shù)專項復習知識點一：命題的概念回顧1：什么是命題？例1．判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假.（1）空集是任何集合的子集；（2）若，，則；（3）若，則；（4）；（5）難道正弦函數(shù)不是周期函數(shù)嗎？知識點二：命題的結(jié)構(gòu)回顧2：一種特殊形式的命題例2.（1）若，，則；（2）若，則.例3.將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷其真假.（1）垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；（2）對角線相等的平面四邊形是矩形.解析：有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，但適當?shù)母膶懞罂梢詫懗伞叭魀，則q”的形式，那么就能很清楚地看出其條件和結(jié)論.解：（1）“若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行”，真命題.（2）“若一個平面四邊形的兩條對角線相等，則這個四邊形是矩形”，假命題.知識點三：四種命題四種命題例4.給出如下四個命題：（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；若p，則q.（2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；若q，則p.（3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；若?p，則?q.（4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù).若?q，則?p.分析：（1）與（2）、（3）、（4）的關系.（2）的條件是（1）的結(jié)論，結(jié)論是（1）的條件；（3）的條件是（1）的條件的否定，結(jié)論是（1）的結(jié)論的否定；（4）的條件是（1）的結(jié)論的否定，結(jié)論是（1）的條件的否定.四種命題原命題“若p，則q.”逆命題“若q，則p.”否命題“若?p，則?q.”逆否命題“若?q，則?p.”例5寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四種命題的真假.（1）若，則；（2）若，則；（3）若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等.解析：（1）原命題：若，則；假命題逆命題：若，則；真命題否命題：若，則；真命題逆否命題：若，則.假命題（2）原命題：若，則；真命題逆命題：若，則；假命題否命題：若，則；假命題逆否命題：若，則.真命題（3）原命題：若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等；真命題逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等；真命題否命題：若一個三角形沒有兩條邊相等，則這個三角形沒有兩個角相等；真命題逆否命題：若一個三角形沒有兩個角相等，則這個三角形沒有兩條邊相等.真命題例5答案匯總原命題逆命題否命題逆否命題（1）假真真假（2）真假假真（3）真真真真原命題“若p，則q.”逆命題“若q，則p.”否命題“若?p，則?q.”逆否命題“若?q，則?p.”如果兩個命題互為逆否命題，則它們具有相同的真假性.例6.設原命題：若，則中至少有一個不小于1.寫出其逆命題，并判斷原命題及其逆命題的真假.解析：逆命題：若中至少有一個不小于1，則.很容易判斷逆命題為假命題，如，，.對于原命題，很容易判斷其是真命題，但從正面似乎不大容易說清楚理由.考慮利用逆命題與其同真假來說明.答案：逆命題（從略）是假命題.考慮逆否命題：若都小于1（且），則.顯然是真命題，所以原命題是真命題.反思：如果從正面不容易說明命題“若p，則q”的真假，那么可以考慮先說明其逆否命題的真假.這是有效的“以退為進”的間接做法.練習：寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.（1）若都是偶數(shù)，則是偶數(shù)；（2）若，則關于的方程有實根.參考答案：（1）逆命題：若是偶數(shù)，則都是偶數(shù)；假命題否命題：若不都是偶數(shù)，則是奇數(shù)；假命題逆否命題：若是奇數(shù)，則不都是偶數(shù).真命題（2）逆命題：若關于的方程有實根，則；假命題否命題：若，則關于的方程沒有實根；假命題逆否命題：若關于的方程沒有實根，則.真命題總結(jié)：1、可以判斷真假的陳述句是命題.2、原命題“若p，則q.”逆命題“若q，則p.”否命題“若?p，則?q.”逆否命題“若?q，則?p.”如果兩個命題互為逆否命題，則它們具有相同的真假性.充分條件與必要條件一、回顧并引入新的概念回顧：判斷下列命題的真假：（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；（3）若，則.說明：如果命題“若p，則q”是真命題，那么稱p可以推出q，并記作pq.如果命題“若p，則q”是假命題，那么p不能推出q，記作pq.進一步，以（3）為例：（3）若，則.解析：這里p是，q是，并且有pq.一方面，條件p足以保證結(jié)論q成立，或者說能夠“充分”保證結(jié)論q成立.另一方面，由于“原命題與其逆否命題等價”，所以“若x不小于1，則x不小于2”，也就是說，成立是成立的“必須要有”前提條件.充分條件與必要條件定義：如果命題“若p，則q”是真命題，那么記作pq.稱p是q的充分條件，稱q是p的必要條件.（1）“若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)”是真命題，則“f(x)是正弦函數(shù)”“f(x)是周期函數(shù)”，“f(x)是正弦函數(shù)”是“f(x)是周期函數(shù)”的充分條件，“f(x)是周期函數(shù)”是“f(x)是正弦函數(shù)”的必要條件.（3）命題“若，則”是真命題，則“”“”“”是“”的充分條件；“”是“”的必要條件.（2）“若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)”是假命題，則“f(x)是周期函數(shù)”“f(x)是正弦函數(shù)”，“f(x)是周期函數(shù)”不是“f(x)是正弦函數(shù)”的充分條件.“f(x)是正弦函數(shù)”不是“f(x)是周期函數(shù)”的必要條件二、例題例1．完成下表pqp是q的什么條件q是p的什么條件x=1在上是增函數(shù)x是無理數(shù)x2是無理數(shù)a>ba+c>b+ca>bac>bc解析：如何判定？——回歸定義！判斷“若p，則q”與“若q，則p”是否為真命題.問題：為什么還要判斷“若q，則p”是否為真命題呢？總結(jié)：在判斷p是q的什么條件時，既要判斷“若p，則q”的真假，也要判斷“若q，則p”的真假，從而根據(jù)定義得出正確的答案.例2．已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，則p是q的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件解析：q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.xOxO3-112PQ從圖中看PQ，pq，但qp，所以選擇（A）.反思：充分條件和必要條件與集合之間的關系.PQ已知PQ，記p：xP，q：xQ.PQ用圖形表示PQ，于是“若xP，則xQ”是真命題，即有pq，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件.問題：（1）若p是q的充分不必要條件，那么集合P，Q是什么關系？（2）若p是q的充要條件，那么集合P，Q是什么關系？例3設，則的一個必要不充分條件是（）.（A）（B）（C）（D）解析：審清題目是關鍵！利用定義確定x>2的必要不充分條件，那么x>2是“pq”中x0x0123根據(jù)題意可知，需要判斷“x>2”?由圖可知，選擇（A）.反思：要先確定x>2是p還是q，才能根據(jù)定義選擇正確答案.三、總結(jié)：（1）定義：若pq，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.若pq，稱p是q的充分必要條件.（2）判斷“若p則q”與“若q則p”的真假，根據(jù)定義確定p是q的什么條件.（3）用集合觀點理解充分條件與必要條件.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞一、邏輯聯(lián)結(jié)詞：且，或，非例：給出如下命題：（1）12是3的倍數(shù)；（2）12是4的倍數(shù)；（3）12是3的倍數(shù)，且12是4的倍數(shù)；（4）12是3的倍數(shù)，或12是4的倍數(shù)；（5）12不是3的倍數(shù)在邏輯、數(shù)學中使用“且”、“或”、“非”三種邏輯聯(lián)結(jié)詞，用它們和比較簡單的命題能夠構(gòu)成相對復雜的命題.例：給出如下命題：（1）p；（2）q；（3）p且q；（記作p∧q）（4）p或q；（記作p∨q）（5）非p.（記作?p）命題的否定二、例題例1將下列各組命題用“且”聯(lián)結(jié)組成新命題：（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等；（2）p：集合A是AB的子集，q：集合A是AB的子集；（3）p：，q：3>4.解析：（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且相等；（2）p∧q：集合A是AB的子集，且是AB的子集；pqp∧q真真真真假假假真假假假假（3）p∧q：，且3>4.（1）p真，q真，p∧q真；（2）p假，q真，p∧q假；（2）p真，q假，p∧q假.例2將下列各組命題用“或”聯(lián)結(jié)組成新命題：（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等；（2）p：集合A是AB的子集，q：集合A是AB的子集；（3）p：，q：3>4.解析：（1）p∨q：平行四邊形的對角線互相平分或相等；（2）p∨q：集合A是AB的子集，或是AB的子集；pqp∨q真真真真假真假真真假假假（3）p∨q：，或3>4.（1）p真，q真，p∨q真；（2）p假，q真，p∨q真；（2）p真，q假，p∨q真.例3寫出下列命題的否定：（1）p：平行四邊形的對角線相等；（2）p：集合A是AB的子集；（3）p：3>4.解析：（1）?p：平行四邊形的對角線不相等；（2）?p：集合A不是AB的子集；p?p真假假真（3）?p：3≤4.（1）p真，?p假；（2）p真，?p假；（3）p假，?p真.問題：如何判斷命題p∧q，p∨q，?p的真假？工具：真值表pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真例4判斷下列命題的真假：（1）1是奇數(shù)，且1是素數(shù)；（2）2是素數(shù)，且3是素數(shù)；（3）2≤2；（4）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等；（5）y=sinx不是周期函數(shù).例5已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題為真命題的是（）（A）(?p)∨q（B）p∧q（C）(?p)∨(?q)（D）(?p)∧(?q)例6若命題p∧q的否定是假命題，則（）（A）p和q都是真命題（B）p和q都是假命題（C）p是真命題，q是假命題（D）p是假命題，q是真命題練習：1、將下列各組命題用“且”與“或”聯(lián)結(jié)組成新命題，并判斷它們的真假.（1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}.（2）p：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；q：7≥8.2、寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.（1）；（2）3是的根.三、總結(jié)（1）邏輯聯(lián)結(jié)詞：且(∧)，或(∨)，非(?).（2）用真值表判斷命題p∧q，p∨q，?p的真假工具：真值表pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真全稱量詞與存在量詞一、回顧：下列語句是命題嗎？（1）x>3；（2）2x+1是整數(shù).解析：命題是可以判斷真假的陳述句.問題：如何修改上述語句能使之成為命題？解析：給變量x賦值或給出變量x的取值范圍.第一種修改：（1）任意x(4,5)，都有x>3；（2）對于所有實數(shù)x，都有2x+1是整數(shù).解析：“所有”、“任意”等通常稱為全稱量詞，并用符號表示.含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.（1）x(4,5)，x>3；（2）xR，2x+1Z.全稱命題的一般形式：xM，p(x)."x?M，p(x).第二種修改：（1）存在(4,5)，使得>3；（2）至少有一個實數(shù)，使得2+1是整數(shù).解析：“存在”、“至少有一個”等通常稱為存在量詞，并用符號表示.含有存在量詞的命題稱為特稱命題.（1）(4,5)，>3；（2）R，2+1Z.特稱命題的一般形式：M，p().二、例題例1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素數(shù)都是奇數(shù)；（3）存在兩個相交平面垂直于同一條直線；（4）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).解析：通過量詞來確定命題是全稱命題還是特稱命題.例2判斷下列命題的真假.（1）p：xR，；（2）p：xN，.例3判斷下列命題的真假.（1）p：Z，<1；（2）p：Q，=3.例4寫出下列命題的否定，并判斷真假：（1）p：xR，；（2）p：所有能被3整除的數(shù)都是奇數(shù)；（3）p：R，；（4）p：有的三角形是等邊三角形.例5“a和b都不是偶數(shù)”的否定形式是（）（A）a和b至少有一個是偶數(shù)（B）a和b至多有一個是偶數(shù)（C）a是偶數(shù)，b不是偶數(shù)（D）a和b都是偶數(shù)三、練習：判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）每條直線在y軸上都有截距；（2）每個二次函數(shù)的圖象都與x軸相交；（3）存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°；（4）存在一個四邊形沒有外接圓.答案：（1）假；否定：存在一條直線在y軸上沒有截距；（2）假；否定：存在一個二次函數(shù)的圖象與x軸不相交；（3）假；否定：