2024屆貴州省中考數(shù)學(xué)第一輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí) 第五章 第23講《矩形、菱形、正方形》教學(xué)

第五章四邊形第23講矩形、菱形、正方形2024屆中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題課標(biāo)要求1.理解矩形、菱形、正方形、梯形的概念.2.探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理.3.探索并證明矩形、菱形的判定定理.4.正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.考點(diǎn)梳理1

矩形、菱形、正方形矩形菱形平行四邊與特殊平行四邊形之間的關(guān)系正方形性質(zhì)判定面積性質(zhì)判定面積性質(zhì)判定面積從邊、角的角度看從對(duì)角線的角度看中點(diǎn)四邊形性質(zhì)判定面積：S=⑦_(dá)___（a，b分別表示矩形的長(zhǎng)和寬）具有平行四邊的所有性質(zhì)角：四個(gè)角都是①________對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且②________對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有③______條對(duì)稱軸邊：有一個(gè)角是④_______的平行四邊形是矩形（定義）角：有⑤______個(gè)角是直角的四邊形時(shí)矩形對(duì)角線：對(duì)角線⑥_______的平行四邊形是矩形OABCba矩形D直角相等兩三直角相等ab性質(zhì)判定面積：S=?_______=ah（m、n分別兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，a為菱形的邊長(zhǎng)，

h為菱形某一邊上的高）具有平行四邊的所有性質(zhì)邊：四條邊都相等邊ABCaD對(duì)角線對(duì)角線互相⑧______且平分每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有⑨___條對(duì)

稱軸【滿分技法】已知m，n，a，h中任意三個(gè)，可以用等面積法求出另一個(gè).對(duì)角線：對(duì)角線?__________的平行四邊形都是菱形有一組鄰邊⑩________的平行四邊形是菱形（定義）四條邊都?_______的四邊形是菱形Omnh菱形垂直兩相等相等互相垂直

正方形DCBAmOa性質(zhì)正方形具有菱形、矩形的所有性質(zhì)邊：四條邊都?_______角：四個(gè)角都是?_______

對(duì)角線相等且相互垂直平分對(duì)角線

每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，

有?_______條對(duì)稱軸相等直角四正方形DCBAmOa有一組鄰邊?_______，且有一個(gè)角是?______的平行四邊形是正方形（定義）邊：有一組鄰邊相等的?________是正方形角：有一個(gè)角是直角的?________是正方形

對(duì)角線相等的?_________是正方形對(duì)角線

對(duì)角線互相垂直的?_______是正方形【拓展延伸】正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.判定相等直角菱形矩形菱形矩形面積：S=a2=?________（a表示正方形的邊長(zhǎng)，m表示對(duì)角線的長(zhǎng)）

平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系（1）從邊、角的角度看：有一個(gè)角是?________有一組鄰邊相等，且一個(gè)角是直角有一組鄰邊?_________有一個(gè)角是?_________矩形正方形平行四邊形菱形直角相等有一組鄰邊?_________相等直角平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關(guān)系【拓展延伸】對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形（2）從對(duì)角線的角度看：矩形正方形平行四邊形菱形對(duì)角線?_________對(duì)角線互相垂直對(duì)角線相等對(duì)角線?_________相等相互垂直中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的兩條對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系確定（1）任意四邊形

平行四邊形（2）對(duì)角線相等的四邊形

菱形（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形

矩形（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形

正方形

中點(diǎn)四邊形概念：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形判定依據(jù)：三角形的中位線定理【溫馨提示】（1）特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：①平行四邊形

平行四邊形②矩形

菱形③菱形

矩形④正方形

正方形（2）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)是原四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和；

中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形分層突破2基礎(chǔ)能力過(guò)關(guān)特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定重難考點(diǎn)突破特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合例1如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),請(qǐng)?zhí)羁?(1)四邊形BDEF是____________;

(2)若四邊形BDEF是菱形,連接BE,則BA____BC,BE與AC的位置關(guān)系為_(kāi)________;

(3)若四邊形BDEF是矩形,在△ABC中,AB=3,BC=4,則AC=_____;

(4)若四邊形BDEF是正方形,連接BE,且BE=4,則△ABC的面積為_(kāi)____.

例2例1平行四邊形=BE⊥AC516基礎(chǔ)能力過(guò)關(guān)特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定例2如圖,在四邊形ABCD中,AC,BD是它的兩條對(duì)21角線,且交于點(diǎn)O.(1)若OA=OC,OB=OD,請(qǐng)判斷四邊形ABCD是什么特殊圖形,并說(shuō)明理由;(2)在(1)的條件下,添加____________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)條件可使四邊形ABCD成為矩形;

(3)在(1)的條件下,添加_____________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)條件可使四邊形ABCD成為菱形;

解:四邊形ABCD是平行四邊形.理由:在四邊形ABCD中,∵OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形).AC=BD（答案不唯一）AC⊥BD（答案不唯一）例2例1(4)在(1)的條件下,添加__________________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)條件可使四邊形ABCD成為正方形;

(5)在(2)的基礎(chǔ)上,添加___________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)條件可使四邊形ABCD成為正方形;

(6)在(3)的基礎(chǔ)上,添加___________________(寫(xiě)出一個(gè)即可)條件可使四邊形ABCD成為正方形.

AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）AC⊥BD（答案不唯一）AC=BD（答案不唯一）例2例11例3例3如圖,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn),點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上,且EF=BE,EF與CD交于點(diǎn)G,連接DF.(1)求證:DF∥AC;重難考點(diǎn)突破特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合證明:連接BD,交AC于點(diǎn)O,如圖所示,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BO=DO.∵BE=EF,∴OE是△BDF的中位線.∴OE∥DF,即DF∥AC.(2)連接DE,CF,若2AB=BF,點(diǎn)G恰好是CD的中點(diǎn),求證:四邊形CFDE是矩形;

1例3(3)在(2)的條件下,若四邊形CFDE是正方形,且BC=10,直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)為_(kāi)______.

1例31.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,交CB于點(diǎn)E,CD⊥AB于點(diǎn)D,交AE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GF∥BC,交AB于點(diǎn)F,連接EF.(1)求證:CG=CE;證明:∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AGD=90°.∴∠CEA=∠AGD.又∵∠CGE=∠AGD,∴∠CGE=∠CEA.∴CG=CE.對(duì)應(yīng)練習(xí)1例3(2)判斷四邊形CGFE的形狀,并證明;解:四邊形CGFE是菱形.證明:∵GF∥BC,∴∠CEG=∠EGF.由(1)知∠CEA=∠CGE,∴∠CGE=∠EGF.∴∠AGC=∠AGF.又∵AG=AG,∠CAE=∠BAE,即∠CAG=∠FAG,∴△AGC≌△AGF(ASA).∴CG=FG.由(1)知CG=CE,∴CE=FG.∵GF∥BC,即GF∥CE,∴四邊形CGFE是平行四邊形.又∵CG=CE,∴四邊形CGFE是菱形.1例3(3)若AC=3cm,BC=4cm,求線段DG的長(zhǎng)度.

1例3（2016~2023）菱形的證明與計(jì)算命題點(diǎn)2命題點(diǎn)1矩形的證明與計(jì)算命題點(diǎn)3正方形的證明與計(jì)算真題試做31.(2023貴州20,10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使得BD=CB,過(guò)點(diǎn)A,D分別作AE∥BD,DE∥BA,AE與DE相交于點(diǎn)E.下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：命題點(diǎn)1矩形的證明與計(jì)算小星:由題目的已知條件,若連接BE,則可證明BE⊥CD.小紅:由題目的已知條件,若連接CE,則可證明CE=DE.32154(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法,并進(jìn)行證明;32154解:選擇小星.證明:連接BE,如圖1,∵AE∥BD,DE∥BA,∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AE=BD.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE∥BC,∴四邊形AEBC是平行四邊形.∵∠C=90°,∴四邊形AEBC是矩形.∴∠EBC=90°,∴BE⊥CD.

選擇小紅.證明:連接BE,CE,如圖2,∵AE∥BD,DE∥BA,∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AE=BD,AB=DE.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE∥BC,∴四邊形AEBC是平行四邊形.∵∠C=90°,∴四邊形AEBC是矩形.∴AB=CE.∴DE=CE.(任選一位同學(xué)的說(shuō)法進(jìn)行證明即可)

32154

2.(2021貴陽(yáng)19,10分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足為N.(1)求證:△ABN≌△MAD;

32154(2)若AD=2,AN=4,求四邊形BCMN的面積.

321543.(2020貴陽(yáng)18,10分)如圖,四邊形ABCD是矩形,E是BC邊上一點(diǎn),點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上,且CF=BE.(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF.∴AD=EF.又∵AD∥BC,即AD∥EF,∴四邊形AEFD是平行四邊形.32154(2)連接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四邊形AEFD的面積.32154

4.(2022銅仁)如圖,在矩形ABCD中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)D.(-3,-1)D拓展考法321545.(2023貴陽(yáng)模擬)下面是多媒體上的一道試題:嘉嘉和琪琪分別給出了自己的思路:(1)嘉嘉的思路______,琪琪的思路______;(均選填“正確”或“錯(cuò)誤”)

補(bǔ)充考法在菱形ABCD中,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AB上,AF=CE,連接BD,DF.求證:四邊形BFDE是矩形.嘉嘉:先證明四邊形BFDE是平行四邊形,然后利用矩形的定義即可得證;琪琪:先證明△ADF與△CBE全等,然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證.正確正確32154(2)請(qǐng)按照你認(rèn)為的正確思路進(jìn)行解答.解:(答案不唯一)我選擇嘉嘉的思路.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AF=CE,∴BF=DE.又∵BF∥DE,∴四邊形DFBE是平行四邊形.∵BE⊥CD,∴∠BED=90°.∴四邊形BFDE是矩形.32154命題點(diǎn)2菱形的證明與計(jì)算6.(2020貴陽(yáng)7,3分)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8,則此菱形的周長(zhǎng)是(

)A.5 B.20C.24

D.32B87697.(2018貴陽(yáng)5,3分)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),EF∥CB,交AB于點(diǎn)F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為(

)A.24B.18C.12D.9A87698.(2017貴陽(yáng)18,10分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AB上的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=2DE,連接CE,AF.(1)證明:AF=CE;證明:∵點(diǎn)D,E分別是邊BC,AB上的中點(diǎn),∴DE∥AC,AC=2DE.∵EF=2DE,點(diǎn)D,E,F在一條直線上,∴EF∥AC,EF=AC.∴四邊形ACEF是平行四邊形.∴AF=CE.8769(2)當(dāng)∠B=30°時(shí),試判斷四邊形ACEF的形狀,并說(shuō)明理由.

8769

補(bǔ)充考法876910.(2022貴陽(yáng)8,3分)如圖,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3,則中間小正方形的周長(zhǎng)是(

)A.4B.8C.12D.16命題點(diǎn)3正方形的證明與計(jì)算B12111013

11.(2022貴陽(yáng)21,10分)如圖,在正方形ABCD中,E為AD上一點(diǎn),連接BE,BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,垂足為O,點(diǎn)F在DC上,且MF∥AD.(1)求證:△ABE≌△FMN;12111013

(2)若AB=8,AE=6,求ON的長(zhǎng).12111013

D拓展考法1211101313.(2018遵義)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.(1)求證:OM=ON;證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠DAO=45°,∠OBA=45°.∴∠OAM=∠OBN=135°.∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON.∴△OAM≌△OBN(ASA).∴OM=ON.拓展考法12111013(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為OM的中點(diǎn),求MN的長(zhǎng).

12111013綜合提升訓(xùn)練1.(2023上海)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列說(shuō)法能使四邊形ABCD為矩形的是 (

)

A.AB∥CD

B.AD=BCC.∠A=∠B

D.∠A=∠DC基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練876543219

D876543219

B8765432194.(2023湘潭)如圖,在菱形ABCD中,連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為(

)A.20° B.60°

C.70°

D.80°C8765432195.(2023臺(tái)州)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足為F,則BF的長(zhǎng)為

.

8765432196.(2023齊齊哈爾)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點(diǎn)O.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:

,使四邊形ABCD成為菱形.

(答案不唯一)AD∥BC(或AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)

8765432197.(2023龍東)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,試添加一個(gè)條件

,使得矩形ABCD為正方形.

AB=AD(答案不唯一)8765432198.(2023樂(lè)山)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AB邊上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,連接EF.(1)求證:四邊形ECFD是矩形;(1)證明:∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形ECFD為平行四邊形.又∵∠C=90°,∴四邊形ECFD是矩形.876543219(2)若CF=2,CE=4,求點(diǎn)C到EF的距離.

8765432199.(2023長(zhǎng)春)將兩個(gè)完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)A,E,B,D依次在同一條直線上,連接AF,CD.(1)求證:四邊形AFDC是平行四邊形;(1)證明:由題意,得△ACB≌△DFE,∴AC=DF,∠CAB=∠FDE.∴AC∥DF.∴四邊形AFDC是平行四邊形.87654321918(2)已知BC=6cm,當(dāng)四邊形AFDC是菱形時(shí),AD的長(zhǎng)為

cm.

87654321910.(2023寧波)如圖,以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊BC為邊向外作矩形BCDE,連接AE,AD,設(shè)△AED,△ABE,△ACD的面積分別為S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道(

)A.△ABE的面積

B.△ACD的面積C.△ABC的面積

D.矩形BCDE的面積