chapt31-二維隨機(jī)變量及其分布市公開(kāi)課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)條件分布（不講）第四節(jié)隨機(jī)變量獨(dú)立性第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布第1頁(yè)在實(shí)際問(wèn)題中,試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量來(lái)描述.比如：用溫度和風(fēng)力來(lái)描述天氣情況.用身高和體重來(lái)描述人生理特征.經(jīng)過(guò)對(duì)含碳、含硫、含磷量測(cè)定來(lái)研究鋼成份.要研究這些隨機(jī)變量之間聯(lián)絡(luò),就需考慮多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律—多維隨機(jī)變量及其分布.第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第2頁(yè)一、二維隨機(jī)變量及其分布二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量中兩個(gè)主要分布第3頁(yè)一、二維隨機(jī)變量及其分布1.二維隨機(jī)變量P63設(shè)S={e}為隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間，X=X(e)和Y=Y(e)為定義在樣本空間S上二個(gè)隨機(jī)變量，則由它們組成向量(X,Y)稱為樣本空間S上一個(gè)二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.注1）應(yīng)把二維隨機(jī)變量(X,Y)看作一個(gè)整體，因?yàn)閄與Y之間是有聯(lián)絡(luò).2）幾何上二維隨機(jī)變量(X,Y)可看作平面上隨機(jī)點(diǎn).第4頁(yè)二維隨機(jī)變量例子1）對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，令X:彈著點(diǎn)與目標(biāo)水平距離;Y:彈著點(diǎn)與目標(biāo)垂直距離，則(X,Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量.2）觀察某地域氣候情況，令X:該地域溫度；

Y:該地域濕度，則(X,Y)也是一個(gè)二維隨機(jī)變量.第5頁(yè)2.二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)P63(1)定義設(shè)（X,Y）是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y.二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量（X,Y）分布函數(shù)或X和Y聯(lián)合分布函數(shù)第6頁(yè)將二維隨機(jī)變量看作XOY平面上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)，則聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)概率(圖中陰影部分)(2)二元分布函數(shù)幾何意義P63(x,y)(X,Y)第7頁(yè)x1x2y1y2當(dāng)時(shí)(3)一個(gè)主要公式第8頁(yè)1)對(duì)任意(x,y)

R2,xyxy(4)二元分布函數(shù)性質(zhì)P640

F(x,y)

1，且第9頁(yè)xyxy第10頁(yè)

2)F(x,y)關(guān)于x和y是不減函數(shù).即：對(duì)任意y

R,

當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)

F(x2,y)；

對(duì)任意x

R,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)

F(x,y2).

3)F(x,y)關(guān)于x和y均是右連續(xù)，即：第11頁(yè)說(shuō)明：任一含有上述四條性質(zhì)二元函數(shù)F(x,y)皆能夠作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)。4)對(duì)于任意第12頁(yè)例l(P64)已知二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布函數(shù)（1）確定常數(shù)A、B、C（2）求概率(補(bǔ))為解：第13頁(yè)從而得：第14頁(yè)1.二維離散型隨機(jī)變量P65二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取值為有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)時(shí)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.第15頁(yè)2.二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律P65設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取值為(xi,yj),

(i,j=1,2,…),且每對(duì)取值概率為而且pij滿足(＊)則稱(＊)為二維隨機(jī)變量(X,Y)概率分布或分布律，或稱為隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合分布律(1)(2)第16頁(yè)YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………其中二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律表格表示法第17頁(yè)例2.一口袋中5個(gè)球，依次標(biāo)有2，2，2，3，3，在袋中任取一球，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺颍O(shè)每次取球時(shí)，袋中各球取到可能性相同，以X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有數(shù)字，求（X，Y）聯(lián)合分布律。解：(X,Y)可能取值為(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)第18頁(yè)從而得(X,Y)聯(lián)合分布律：1/103/1033/103/10232YX第19頁(yè)3.二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）分布函數(shù)D為XOY平面上某一個(gè)點(diǎn)集第20頁(yè)例（續(xù)例2）求:(2)

(3)分布函數(shù)F(x,y)已求得(X,Y)聯(lián)合分布律：(2)1/103/1033/103/10232YX第21頁(yè)（3）第22頁(yè)例3在箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只作不放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量X、Y以下：求:(1)(X,Y)聯(lián)合分布律；(2)

(3)分布函數(shù)F(x,y)第23頁(yè)(X,Y)可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)解.（1）第24頁(yè)X

Y0101/665/3315/3315/22從而得(X,Y)聯(lián)合分布律：(2)第25頁(yè)（X,Y）（X,Y）x<0或y<0時(shí)0≤x<1且0≤

y<1時(shí)0≤x<1且

y≥1時(shí)11xyo（X,Y）(3)第26頁(yè)（X,Y）x≥1且0≤y<1時(shí)x≥1且

y≥1時(shí)11xyo（X,Y）第27頁(yè)從而得第28頁(yè)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.定義P67對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)F(x,y),假如存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,有則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)概率密度第29頁(yè)2.性質(zhì)P68(1)(2)任一含有性質(zhì)(1)、(2)二元函數(shù)f(x,y)皆能夠作為某二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)概率密度。第30頁(yè)(4)若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，F(xiàn)(x,y)為對(duì)應(yīng)分布函數(shù)，則在幾何上,z=f(x,y)表示空間一個(gè)曲面，上式表示P{(X,Y)

D}值等于以D為底，以曲面z=f(x,y)為頂曲頂柱體體積(3)D是XOY平面上一個(gè)區(qū)域，則第31頁(yè)解：于是例4.已知二維隨機(jī)變量（X,Y）聯(lián)合分布函數(shù)為求(X,Y)聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)第32頁(yè)例5(P68例3)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為(2)(X,Y)分布函數(shù)F(x,y)試求:(1)常數(shù)

k;(3)概率第33頁(yè)解：(1)由得：由此解得：第34頁(yè)(2)由第35頁(yè)(3)xoy第36頁(yè)例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為求（1）常數(shù)C（2）概率P{Y>2X}解：

(1)

xoy于是y=x11D第37頁(yè)即：(2)xoy11y=2xy>2x第38頁(yè)例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為求（X，Y）分布函數(shù)F(x,y)解：oxyxy第39頁(yè)oxyxy第40頁(yè)oxyxyyy第41頁(yè)從而得第42頁(yè)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量中兩個(gè)主要分布1.均勻分布P69設(shè)G為XOY平面上有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量（X,Y）含有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布第43頁(yè)二維均勻分布幾何意義若二維隨機(jī)變量（X,Y）服從區(qū)域G上均勻分布，我們能夠認(rèn)為隨機(jī)點(diǎn)（X,Y）只落在區(qū)域G內(nèi)；且落在G內(nèi)任一子區(qū)域內(nèi)概率只與該子區(qū)域面積成正比，而與子區(qū)域形狀及其在G中位置無(wú)關(guān)第44頁(yè)

2二維正態(tài)分布P70若二維隨機(jī)變量（X,Y）概率密度為其中

1、

2、

1、

2、

都為常數(shù)，且

1>0、

2>0、|

|

<1，則稱(X,Y)

服從參數(shù)為

1,

2,

1,

2,

二維正態(tài)分